1、1655 16）31513 1除数除数商商余数被除数 今天是星期日，再过今天是星期日，再过15天就是天就是“六六一一”儿童儿童节了，问节了，问“六六一一”儿童节是星期几？儿童节是星期几？因为，一个星期有因为，一个星期有7天，而天，而157=21，即，即15=721，所以，所以“六六一一”儿童节是儿童节是星期一星期一.解析：解析：1993年的元旦是星期五，年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？年的元旦是星期几？因为，因为，1993年有年有365天，而天，而365=7521，所以，所以，1994年的元旦应该是年的元旦应该是星期六星期六.解析：解析：下一节我们将下一节我们将学习利用余数学习利用
2、余数来解决生活中来解决生活中的问题的问题.以上问题的实质是求用以上问题的实质是求用7去除以总的天去除以总的天数后所得的余数数后所得的余数.在日常生活中，时常要注在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题得的余数问题.第二章第二章 同余同余知识与能力知识与能力 1、理解同余概念与整除概念的联系，、理解同余概念与整除概念的联系，掌握同余的性质及应用掌握同余的性质及应用.2、并能灵活应用同余的基本性质解决、并能灵活应用同余的基本性质解决具体问题具体问题.3、灵活运用同余的性质解决现实生活、灵活运用同余的性质解决现实生活中的实际问题中的实
3、际问题.过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观 2、观察同余与整数之间的关系，并通过实例、观察同余与整数之间的关系，并通过实例深化理解深化理解.1、通过举例，引出同余的、通过举例，引出同余的概念和记号概念和记号.培养学生结合以前所学知识，推导出新的培养学生结合以前所学知识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解知识或性质，有利于深刻理解.重重 点点1、准确理解同余的概念，正确的使用同余的符号、准确理解同余的概念，正确的使用同余的符号.难难 点点2、类比等式的性质，探究证明同余的一些重要性质、类比等式的性质，探究证明同余的一些重要性质.灵活运用同余的性质解决生活、理论中灵活运用同余的
4、性质解决生活、理论中的实际问题的实际问题.125=22175=32225=42275=52325=62375=72 被除数被除数除数除数商商 余数余数12522175322254227552325623757252观察上表有什么规律观察上表有什么规律 通过观察，我们发现这些数被通过观察，我们发现这些数被5整除后，得整除后，得到的到的余数余数是相同的，这种情况我们成为模是相同的，这种情况我们成为模7 7同余同余.一般地，设一般地，设n为正整数，为正整数，a和和b为整为整数数.如果如果a和和b被被n除后余数相同，那么除后余数相同，那么称称a和和b模模n同余，记作同余，记作a b(mod(mod n
5、).若若a和和b被被n除后余数不同，则称除后余数不同，则称a和和b模模n不同余，记作不同余，记作a b(mod (mod n)(1)26和和-14同时被同时被4 4除判断他们的同余性，并用除判断他们的同余性，并用符号表示符号表示.(2)-14和和22同时被同时被4 4除判断他们的同余性，并用除判断他们的同余性，并用符号表示符号表示.(3)26和和22同时被同时被4 4除判断他们的同余性，并用除判断他们的同余性，并用符号表示符号表示.(4)26减去减去-14能否被能否被4整除？整除？264=42,解析：解析：(1)-144=-32由定义知由定义知26和和-14同余，故可写成同余，故可写成26 -
6、14(mod 4)-144=-32,(2)224=52由定义知由定义知-14和和22同余，故可写成同余，故可写成-14 22(mod 4)-14 -26(mod 4)或或22 -14(mod 4)或或264=42,(3)224=52由定义知由定义知26和和4同余，故可写成同余，故可写成26 22(mod 4)26 22(mod 4)或或解析：解析：(4)26-(-14)=40440总结：总结：我们假设在上例中的我们假设在上例中的a=26，b=-14，c=22，n=4.-14 22(mod 4)26 22(mod 4)表示为：表示为：(1)26 -14(mod 4)a b(mod n)b c(m
7、od n)(2)(3)a c(mod n)或或b a(mod n)或或c b(mod n)或或c a(mod n)由以上实例可以总结出如下性质由以上实例可以总结出如下性质:自反性自反性:a a(mod (mod n).).对称性对称性:若若a b(mod(mod n),),则则b a(mod(mod n).).传递性传递性:若若a b(mod(mod n),),b c(mod(mod n),),则则:a c(mod n).).与整数的关系：与整数的关系：a b(mod n)总结：总结：na-b若若a b(mod m),c d(mod m),则则:ax+cy bx+dy(mod m),其中其中x
8、和和y为任给整数为任给整数.ac bd(mod m).an bn(mod m),其中其中 n0.f(a)f(b)(mod m),f(x)为任给的整系数多项式为任给的整系数多项式.xa xb(mod m)，x为任意整数为任意整数.探究探究1、若若ab ac(mod m),且（且（a，n）=1，则，则b c(mod m)2、性质应用性质应用 试求，试求，17是否可以整除是否可以整除191000，若可以整除商若可以整除商是多少？余数是多少？是多少？余数是多少？解：解：因为因为19 2(mod 17),所以所以191000 21000(mod 17)=16250(mod 17)又因为又因为16 -1(
9、mod 17),所以所以16250 （-1）250(mod 17),所以所以17不能整除不能整除191000，余数为余数为1总结总结 在遇到很大的数时，我们很难直观判断余在遇到很大的数时，我们很难直观判断余数是几，这时我们就要把被除数变小，降次，反数是几，这时我们就要把被除数变小，降次，反复进行这个过程，直至求出结果复进行这个过程，直至求出结果.如被除数为如被除数为Ab（假设（假设 Ab是一个很大的数）是一个很大的数）,除除数为数为C,若若C除以除以A余数为余数为D,则则Ab Db(mod C);反复反复进行此过程直到求出结果进行此过程直到求出结果.同余定义同余定义 一般地，设一般地，设n为正
10、整数，为正整数，a和和b为整数为整数.如果如果a和和b被被n除后余数相同，那么称除后余数相同，那么称a和和b模模n同余，同余，记作记作a b b(mod (mod n).若若a和和b被被n除后余数不同，除后余数不同，则称则称a和和b模模n不同余，记作不同余，记作a b(mod (mod n)由以上实例可以总结出如下性质由以上实例可以总结出如下性质:自反性自反性:a a(mod (mod n).).对称性对称性:若若a b(mod(mod n),),则则b a(mod(mod n).).传递性传递性:若若a b(mod(mod n),),b c(mod(mod n),),则则:a c(mod(m
11、od n).).与整数的关系：与整数的关系：a b(mod n)na-b同余性质同余性质若若a b(mod m),c d(mod m),则则:ax+cy bx+dy(mod m),其中其中x和和y为任给整数为任给整数.ac bd(mod m).an bn(mod m),其中其中 n0.f(a)f(b)(mod m),f(x)为任给的整系数多项式为任给的整系数多项式.xa xb(mod m)，x为任意整数为任意整数.1、若若ab ac(mod m),且（且（a，n）=1，则，则b c(mod m)2、ba(mod 10)，那么，那么b的可能值是（的可能值是（）（2009年江西省六校联考年江西省六
12、校联考）1、设、设a、b、n(n0)为整数，若为整数，若a和和b被被n除的余除的余数相同，则称数相同，则称a和和b对模对模n同余，记作同余，记作ab(mod n).已知已知)12222(21120202032032202120020CCCCCaDA2008 B2009 C2010 D2011 2、求使、求使2n+1能被能被3整除的一切自然数整除的一切自然数n.则2-1(mod3).2x(-1)x(mod3).2n+1 (-1)n+1(mod3).当当n为奇数时，为奇数时，2n+1能被能被3整除；整除；当当n为偶数时，为偶数时，2n+1不能被不能被3整除整除.解解3、求求2999最后两位数码最后
13、两位数码.又又 2999的最后两位数字为的最后两位数字为88.212=4096 -4(mod100).2999=(212)83 23 (-4)83 23(mod100).46=212=4096 -4(mod100).483=(46)13 45 (-4)13 25 -(46)3 -(-4)3 64(mod100).2999 (-4)83 23 (-646)23 -2 9 -512 88(mod100).解解 考虑用考虑用100除除2999所得的余数所得的余数.1、2006年年“五一节五一节”是星期一，同年是星期一，同年“国庆节国庆节”是星期是星期（）.日日2、有一个数能被、有一个数能被5 5整除
14、，但除以整除，但除以4 4余余3 3，这个，这个正整数最小是正整数最小是（）.154、一个数除以、一个数除以3余余2，除以，除以4余余1，那么这个，那么这个数除以数除以12，余数是，余数是（）.5、判定判定288和和214对于模对于模37是否同余是否同余?解：解：288-214=74=372.288214（mod37）.3、一个整数去除、一个整数去除300，262，205，所得余数，所得余数相同，这个整数是相同，这个整数是（）.A、19B、9C、15D、12AA、1B、2C、3D、5D分析分析：若将结果乘出若将结果乘出，结果会很大不利结果会很大不利于计算于计算，工作量大繁琐工作量大繁琐，所以利
15、用学习的所以利用学习的同余的性质可以使同余的性质可以使“大数化小大数化小”，减少计减少计算量得出结果算量得出结果.6、求乘积求乘积4188141616除以除以13所得的所得的余数余数.解：解：4182（mod13），），8148（mod13），），16164（mod13），），根据同余的性质根据同余的性质5可得：可得：41881416162846412（mod13）答：）答：乘积乘积4188141616除以除以13余数是余数是12.分析：分析：求自然数的个位数字即是求这个自求自然数的个位数字即是求这个自然数除以然数除以1010的余数问题的余数问题.解：解：210024256256(mod 10)，3101342531125313(mod 10)，4102(22)10042666(mod 10)，2100310141026365(mod 10)，即自然数即自然数210031014102的个位数字是的个位数字是5.7、求自然数、求自然数210031014102的个位数字的个位数字.
