1、2222123|aa aaaa2222123|bb bbbb1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的对角线的长度。二、距离与夹角二、距离与夹角|ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式cos,|a ba bab1 1223
2、 3222222123123;a ba ba baaabbb2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，夹角在什么范围内？时，夹角在什么范围内？锐角和钝角锐角和钝角1cos,0 a b,10cos a b Pb a OOPxayb 除此之外除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向量量(这个这个平面的法向量平面的法向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置.
3、n 这样，点这样，点O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点。内的任意一点。a b、一、平面的法向量一、平面的法向量A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线的有向线段所在直线垂直于平面垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那么向量，那么向量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量.n n n n 给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,A,以向量以向量 为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的.n n 几
4、点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l问题：如何求平面的法向量？),()1(zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。
5、nxyz解：设平面的法向量为（，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（，），（，）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1(,1,1),2n3|2n 12 2(-33 3ABC求平面的单位法向量为，）线线面面平平行行 面面面面平平行行 二、平行关系：二、平行关系：111222(,),(,),laa b cua b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;laua abbc clmabml/baba /lua/l0 uaua u v /vuvu /巩固性训练巩固性训练11.1.设设 分别是直线分别是直线l l1 1,l l2
6、 2的方向向量的方向向量,根据下列根据下列条件条件,判断判断l l1 1,l l2 2的位置关系的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行平行垂直垂直平行平行1.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交巩固性训练巩固性训练2例例1 1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-AABCD-
7、A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别是分别是C C1 1C C、B B1 1C C1 1的中点的中点,求证求证:MN:MN平面平面A A1 1BDBD典型例题典型例题分析分析:证明线面问题证明线面问题,可利用三可利用三种方法种方法:一是证明一是证明 与平面与平面A1 1BD的法向量垂直的法向量垂直;二是在平二是在平面面A1 1BD内找一向量与内找一向量与 平行平行;三是证明三是证明 可以用平可以用平面面A1 1BD中的两不共线向量线中的两不共线向量线性表示性表示.MN MN MN DNMABCD!B!C!A!例例1 1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-AAB
8、CD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别是分别是C C1 1C C、B B1 1C C1 1的中点的中点,求证求证:MN:MN平面平面A A1 1BDBD法法1:1:建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,则可求得则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A0),A1 1(1,0,1),B(1,1,0).(1,0,1),B(1,1,0).于是于是11(,0,)22MN 设平面设平面A A1 1BDBD的法向量是的法向量是
9、则则 得得(,)nx y z 100,n DAn DB 且且00 xzxy (1,1,1)n 取取x=1,x=1,得得y=-1,z=-1,y=-1,z=-1,111(,0,)(1,1,1)0,22MNnMNnMNA BD 又又平平 面面DNMABCD!B!C!A!xzyDNMABCD!B!C!A!法法2:1,MNDAMN 1 1平平面面A A B BD D111111111112211(),22MNC NC MC BCCD ADDDA 法法3:11111111111112211()()221111111()02222222MNC NC MD AD DDBBAD AA DDBDABADADBDA
10、BDDABD 即即 可用可用 与与 线性表示线性表示,故故 与与 是共面向量是共面向量,MN,MN平面平面A A1 1BDBD1,DA DB MN DB 1DA MN 例例1 1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别是分别是C C1 1C C、B B1 1C C1 1的中点的中点,求证求证:MN:MN平面平面A A1 1BDBD1111111-,:/:/ABC DA B C DA BDC B D在 正 方 形中求 证平 面平 面变 式1CABCD1D1A1B111111111:,/./.ADCB DABCB DAB
11、DCB D先建系 然后证明平面同理证明平面从而证明平面平面分析例例2 2 已知平面已知平面 经过三点经过三点A(1,2,3)A(1,2,3)、B(2,0,-1)B(2,0,-1)、C(3,-2,0),C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量.解解:A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)设平面设平面 的法向量是的法向量是依题意依题意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,则则x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是(1,2,4),(2,4,3)ABAC (,)nx y z 00n ABn AC 且且2402430 xyzxyz (2,1,0)n 201120112011合作愉快
