1、复习复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy),(00yx切线方程0yy法线方程0yy若平面光滑曲线方程为,0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方
2、程的情况曲线方程为参数方程的情况)(,)(,)(:tztytxzzzyyyxxx000,t上述方程之分母同除以得令,0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(,)(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.)()(00yyt0)(00zzt如个别为0,则理解为分子为 0.M不全为0,)(,)(,)(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数)(,)(,)()(ttttr,则 为 r(t)的矢端曲
3、线,0t而在处的导向量 就是该点的切向量.o)(trTzyxo例例1.求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解:由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy,kz),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在),0,(kRT,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz,且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 时,可表示为处的
4、切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)
5、(),(),(0zzMyxGF例例2.求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0,6(T法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2.方程组两边对 x 求导,得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,d
6、d,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0 zx点 M(1,2,1)处的切向量0110),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(,)(,)(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则 在,)(,)(,)(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.)(,)(,)(000tttTMT证:在 上,)(,)(,)(:
7、tztytx0)(,)(,)(tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量n的平面上,从而切平面存在.n)(),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)(),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(0
8、00zyxFzMTn),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)(),(000 xxyxfx曲面时,),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程,法向量法向量用2211cosyxff将),(,),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的
9、方向角,并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx例例3.求球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程)1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n例例4.确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故000000
10、000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面,),(0000001yxzxzyn),(0002zyxn 21/nn,因此有20y20z21.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0)(00zzt)(,)(,)(000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空
11、间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2)一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)(),()(),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(,),
12、(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量)1,(yxffn思考与练习思考与练习1.如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示:设切点为,),(000zyxM则223yx.求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行)(切
13、点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点,),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P45 2，3，4，5，8，9，10)(0 xxxzM)(0yyyzM2.设 f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为 1.证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证:曲面上任一点的法向量,1F,)()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题备用题(n(l,0nl2.求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0)1()1(9)1(16zyx024916zyx即与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl
