1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 r数学语言描述:一一、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例.设有半径为 r 的圆,nA逼近圆面积 S.n如图所示,可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当 n 无限增大时,nA无限逼近 S.,0,N正整数当 n N 时,SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 (刘徽割圆术).)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放数列的极限数列的极限问题问题:
2、当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:“无限接近无限接近”的含义：的含义：只要只要 n 足够大，足够大，nxn11 可以小于任意给定的小正数。可以小于任意给定的小正数。,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1
3、000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)(时时只要只要 1 Nn.成立成立有有从而从而 nxn11无论它多么小，无论它多么小，,1 n有有目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项).若数列nx及常数 a 有下列关系:,0,N正数当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a,目
4、录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,)1(,43,34,21,21nnnnnxnn1)1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,)1(,1,1,11n1)1(nnx趋势不定收 敛发 散定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么小不论它多么小),),如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;.1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .3有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,那末就称常数那
5、末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx ,limaxnn 或或).(naxn 不等式不等式 axn都成立都成立,收敛于收敛于a,记为记为)(NN ;.2的过程的过程刻划了刻划了不等式不等式 nNnx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa,),(,内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 aaxNnn:定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在 axnnlim.,0,0 axNnNn恒有恒有时时使使.)(落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个N目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知
6、,)1(nnxnn证明数列nx的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此,取,1N则当Nn 时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N目录 上页 下页 返回 结束 例例3.
7、设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln)1(qn亦即因此,取qNlnln1,则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.1nq目录 上页 下页 返回 结束 例1 limsin0.nnn证明：证证0,1 sin0 ,nn要11 sin,nnn只要1 ,NnN 故取则当时111 sin0 sin nnnnn成立.由极限的定义可知:1limsin0.nnn小结小结（1）用定义证数列极限存在时）用定义证数列极限存在时,关键是任关键是任意给定意给定 0 寻找寻找 N,使当使当 n N 时，时，成立成立|ax
8、n（2）为了找到上述）为了找到上述 N，常常先将，常常先将|axn 适当放大为适当放大为)(|naxn 再令再令,)(n并从中能方便的解出并从中能方便的解出),(n此时取此时取,)(即可即可 N（3）有时为了方便，在不妨碍）有时为了方便，在不妨碍 可以任意小可以任意小的前提的前提下，可事先设下，可事先设 小于某个正数。小于某个正数。目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1,2abnax从而2banx同理,因,limbxnn故存在 N2,使当
9、n N2 时,有2banx1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真!nx满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明数列),2,1()1(1nxnn是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取,21则存在 N,2121axan但因nx交替取值 1 与1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.nx目录
10、上页 下页 返回 结束 2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设,limaxnn取,1,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.aaxn)(,1axn有数列目录 上页 下页 返回 结束 3.收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若,limaxnn且,0a,NN则,时当Nn 有0nx)0()0(证证:对 a 0,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起,0nx,limaxnn且0a则)0(.)0(用反证
11、法证明)O目录 上页 下页 返回 结束 00 ()(0,),nnnnxyxynNNnN若或当时 lim,lim ,nnnnxayb且存在 则limlim (limlim).nnnnnnnnaxybaxyb目录 上页 下页 返回 结束 在数列 xn:x1,x2,xn,中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为.knx目录 上页 下页 返回 结束*,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列knx是数列nx的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn 时,有axn现取正整数 K,使
12、,NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*NKnNxKnx目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，),2,1()1(1nxnn;1lim12kkx1lim2kkx发散!夹逼准则;单调有界准则;*柯西审敛准则.则原数列一定发散.说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则夹逼准则(准则1)(P50),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件(2),0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ay
13、an,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则.1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11lim1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由目录 上页 下页 返回 结束 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx(证明略)ab目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设,),
14、2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.(P53P54)证证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目录 上页 下页 返回 结束 11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知目录 上
15、页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e,e)1(lim1nnn e 为无理数,其值为590457182818284.2e 即有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n内容小结 目录 上页 下页 返回 结束*3.柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N,使当NnNm,时,mnxx证证:“必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时,有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性”证明从略.,N有柯西 目录 上页 下页
16、返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;*柯西准则目录 上页 下页 返回 结束 收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.)1(:nnx反例目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此
17、处nnxlim目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P30 1,*3(2),*4 P56 4(1),(3)4(3)提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx目录 上页 下页 返回 结束 2.设,),2,1(0iai证证:显然,1nnxx证明下
18、述数列有极限.)1()1)(1()1)(1(12121211nnaaaaaaaaanx),2,1(n即nx单调增,又nkkknaaax11)1()1(1111a1(1)nkkaa211)1()1(1)1()1(11kaa)1()1(111naa1nnx lim存在“拆项相消拆项相消”法法刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,
