1、第三章第三章 线性代数线性代数在数学建模中的应用举例在数学建模中的应用举例内容提要 n线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教材，给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。n本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。第一节第一节 基因间基因
2、间“距离距离”的表示的表示 在在ABO血型的人群之中，对各种群体的基因的血型的人群之中，对各种群体的基因的频率进行了研究。假设我们用频率进行了研究。假设我们用A、B、AB、O来表来表示这四种基因型，研究得到的数据如下表：示这四种基因型，研究得到的数据如下表：基因的相对频率基因型基因型爱斯基摩人爱斯基摩人f1i班图人班图人f2i英国人英国人f3i朝鲜人朝鲜人f4iABABO0.66700.29140.00000.03160.69000.10340.08660.12000.66020.20900.06120.06960.57230.22080.20690.0000合计1.00001.00001.0
3、0001.0000问题问题 一个群体与另一个群体的接近程度如何？换一个群体与另一个群体的接近程度如何？换句话说，怎样来表示基因间的句话说，怎样来表示基因间的 距离距离 的合的合宜的量度。宜的量度。解解 有人提出利用向量代数的方法。首先用单位向有人提出利用向量代数的方法。首先用单位向量来表示每一个群体。我们取每一种频率的平量来表示每一个群体。我们取每一种频率的平方根，记为方根，记为 。由于对这四种群体的每。由于对这四种群体的每一种有一种有 。kikixf4211kiix 这意味着下列四个向量的每个都是单位向量。这意味着下列四个向量的每个都是单位向量。记记 现在用两个向量的夹角来表示两个对应群体现
4、在用两个向量的夹角来表示两个对应群体间的间的 距离距离 似乎是很合理的。似乎是很合理的。111211314xxxx212222324xxxx313233334xxxx414244344xxxx 如果我们记如果我们记 和和 夹角为夹角为 。由。由得得 故故 。基因间的距离基因间的距离12121212cos 12cos0.91871223.2基因型基因型爱斯基摩人爱斯基摩人f1i班图人班图人f2i英国人英国人f3i朝鲜人朝鲜人f4iABABO023.216.416.823.209.820.416.49.8019.616.820.419.60 由上表可知，最小的基因由上表可知，最小的基因 距离距离
5、是班图是班图人和英国人，说明这两种人群最相似；而最大的人和英国人，说明这两种人群最相似；而最大的基因基因 距离距离 是爱斯基摩人和班图人，说是爱斯基摩人和班图人，说明这两种人群差异最大。明这两种人群差异最大。思考题思考题 有甲、乙、丙三名男生，他们的身高、胸围和有甲、乙、丙三名男生，他们的身高、胸围和体重的数据如下表。这三人哪两人的体型最相似？体重的数据如下表。这三人哪两人的体型最相似？试建立数学模型说明此问题。试建立数学模型说明此问题。男生男生身高（身高（cm）班图人（班图人（cm）英国人（英国人（kg）甲乙丙17516618510493125685483第四节第四节 动物数量按年龄段预测问
6、题动物数量按年龄段预测问题一、问题一、问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其岁，将其分成三个年龄组：第一组，分成三个年龄组：第一组，05岁；第二组，岁；第二组，610岁；第三组，岁；第三组，1115岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存
7、活率分别为组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问头，问15年后农年后农场三个年龄段的动物各有多少头？场三个年龄段的动物各有多少头？二、问题分析与模型建立二、问题分析与模型建立因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活的动物的数量，所以有：)3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2kxxxxkkkk)3,2,1(34)1(3)1(2)(1kxxxkkk于是我们得到递推关系式：)3,2,1(412134)1(2)(3)1(1)(2)1(3)1(2)(1kx
8、xxxxxxkkkkkkk即：)3,2,1()1()(kLxxkk其中100010001000,04100021340)0(xL三、模型求解(MATLAB)0(1)(xPPDxnn四、结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中头，其中05岁岁的有的有14375头，占头，占86.47%；610岁的有岁的有1375头，占头，占8.27%；1115岁的有岁的有875头，占头，占5.226%。15年间动物总增长为年间动物总增长为13625头，总增长率为头，总增长率为454.16%。15第八节第八节 常染色体遗传模型常染色体遗传模型1、亲体基因遗传方式与
9、问题、亲体基因遗传方式与问题1）遗传方式）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和和a控制的，那么就有三种基因对，记为控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，的金鱼草开红花，Aa型开粉红型开粉红色花，而色花，而aa型的开白花。型的
10、开白花。16 又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是的，基因是AA或或Aa的人，眼睛为棕色；基因是的人，眼睛为棕色；基因是aa型型的人，眼睛是蓝色。这里的人，眼睛是蓝色。这里Aa和和AA都表示了同一外部都表示了同一外部特征，我们认为基因特征，我们认为基因A支配基因支配基因a，也可以认为基因，也可以认为基因a对于对于A是隐性的，当一个新体的基因型为是隐性的，当一个新体的基因型为Aa，而另，而另一个亲体的基因为一个亲体的基因为aa，那么后代可以从，那么后代可以从aa型中得到型中得到基因基因a，从，从Aa型中或得到型中或得到A，或得到，或得到a
11、，且是等可能，且是等可能性的得到。这样，后代基因型为性的得到。这样，后代基因型为Aa或或aa的可能性相的可能性相等。等。17 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因的概率，如表后代形成每种基因的概率，如表1-2所示。所示。基因型的概率分布基因型的概率分布后代后代基因型基因型父体父体 母体（母体（n-1代）基因型代）基因型AA-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA1000Aa010aa0001 2121414121212118 2）问题）问题 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型AA，Aa
12、和和aa。农场计划采用。农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？种植物的任一代的三种基因型分布如何？2、模型构造、模型构造1）假设）假设 （1）设）设an，bn和和cn分别表示第分别表示第n代植物中基因型代植物中基因型为为AA，Aa和和aa的植物总数的百分率，的植物总数的百分率，n=0，1，2，x(n)为第为第n代植物的基因型分布：代植物的基因型分布：19()nnnnaxbc当当n=0时时 表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分表示植物基因型的
13、初始分布（即培育开始时的分布）。布）。显然有显然有.1000cba0(0)00axbc20 （2）第）第n-1代与第代与第n代的基因型分布关系是通过代的基因型分布关系是通过表表2-3确定的。确定的。2）建模）建模 根据假设（根据假设（2），先考虑第），先考虑第n 代中的代中的AA型。由型。由于第于第n-1代的代的AA型与型与AA型结合，后代全部是型结合，后代全部是AA型；型；第第n-1代的代的Aa与与AA型结合，后代是型结合，后代是AA型的可能性型的可能性为为 ；而第；而第n-1代的代的aa型与型与AA型的结合，后代不型的结合，后代不可能是可能是AA型。型。21因此当因此当n=1，2，时时，1
14、110211nnnncbaa21）（即即2742111nnnbaa类似考虑第类似考虑第n 代中的代中的Aa型和型和aa型，分别可推出型，分别可推出）（284,2111nnncbb）（294.0nc将（将（4-27），（），（4-28）和（）和（4-29）式相加，得）式相加，得.111nnnnnncbacba根据假设（根据假设（1），有），有.1000cbacbannn22将（将（4-27），（），（4-28）和（）和（4-29）式联立得）式联立得 1121nnnbaa,2111nnncbb.0nc用矩阵形式表示为用矩阵形式表示为)1()(nnMxx）（）（304,2,1n其中其中0001210
15、0211M()nnnnaxbc23 由由(4-30)式进行递推，便得到第式进行递推，便得到第n代基因型分代基因型分布的数学模型布的数学模型）（314)0()2(2)1()(xMxMMxxnnnn 它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定。确定。3、模型求解、模型求解 为为 了计算了计算Mn，将，将M对角化，即求出可逆对角化，即求出可逆矩阵矩阵P和对角阵和对角阵D，使，使1 PDPM因而有因而有 1PPDMnn24其中其中01nD20013nnn2n30 对于（对于（4-30）式中的）式中的M，易求得其特征值和，易求得其特征值和特征向量分别为特征向量分别
16、为11212030011e2110e 3121e 25因此因此 0000210001D100210111)(321eeeP通过计算，得通过计算，得P-1=P，因此有，因此有)0(1)0()(xPPDxMxnnn260001002101110000)21(0001100210111cban00011)(000)21()21(0)21(1)21(11cbacbaxnnnnnnnn即即10000010011()()2211()()220nnnnabcbcbc27所以有所以有100100111()(),2211()(),4 32220nnnnnnnabcbbcc（）式中可得到从时)324(,0)21(
17、,nn,0,0,1nnncba即在极限情况下，培育的植物都是即在极限情况下，培育的植物都是AA型。型。28 4、模型讨论、模型讨论 若在上述问题中，不选用基因型若在上述问题中，不选用基因型AA的植物的植物与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相同基因型植物结合，那么后代具有三种基因型同基因型植物结合，那么后代具有三种基因型的概率由下表的概率由下表2-4给出：给出：29表表2-4 相同基因型结合的后代基因型的概率分布相同基因型结合的后代基因型的概率分布后代基因后代基因型型父体父体-母体的基因型母体的基因型AA-AAAa-Aaaa-aaAA10Aa00aa0
18、141214130于是有于是有)0()(xMxnn其中其中141002100411MM的特征值为的特征值为21,1,132131 通过计算，可以解出与通过计算，可以解出与1，2相对的两个线性相对的两个线性无关的特征向量无关的特征向量e1和和e2，和与，和与3相对应的特征向量相对应的特征向量e3，即，即 1011e1002e1213e从而得从而得.02101110211,1112001011PP3200002101110211)21(00010001111200101cban于是，于是，)0(1)(xPPDxnn000111)21(2100)21(00)21(211cbannn即得。即得。33,
19、)21(21,)21(,)21(210100010bccbbbaannnnnn所以时,0)21(,nn000021,0,21bccbbaannn 因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅有基因型况下，后代仅有基因型AA和和aa。34思考题：思考题：一种植物的基因型为一种植物的基因型为AA,Aa和和aa。研究人员。研究人员采用将同种基因型的植物相结合的方法培育后代，采用将同种基因型的植物相结合的方法培育后代，开始时这三种基因型的植物所占的比例分别为开始时这三种基因型的植物所占的比例分别为20%，30%，50%。问经过若干代培育后这三
20、种。问经过若干代培育后这三种基因型的植物所占的比例是多少？基因型的植物所占的比例是多少？35思考题：思考题：将某树群的树分成三类：幼树将某树群的树分成三类：幼树树龄为树龄为010年，成树年，成树树龄为树龄为1040年，老树年，老树树树龄在龄在40年以上。年以上。在没有采伐的条件下，假定在每一个单位在没有采伐的条件下，假定在每一个单位时间时间2年内：年内：(1)幼树中的幼树中的 成长为成树，每一棵幼树平成长为成树，每一棵幼树平均繁殖均繁殖 棵新树。棵新树。(2)成树中的成树中的 长成老树，每一棵成树平均长成老树，每一棵成树平均繁殖一棵新树。繁殖一棵新树。211515136 (3)老树的老树的 要老死，每一棵老树平均繁殖要老死，每一棵老树平均繁殖 棵新树。棵新树。若在第若在第k个单位时间内，幼树、成树、老树砍个单位时间内，幼树、成树、老树砍伐的数量分别为伐的数量分别为 ，试在没有砍，试在没有砍伐及有砍伐两种情况下分别建立树群增长的数学伐及有砍伐两种情况下分别建立树群增长的数学模型。模型。50151)(),(),(321kukuku
