1、 2019- -2020 学年第一学期高三期初调研试卷学年第一学期高三期初调研试卷 数学数学 I 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70分分.不需要写出解答过程，请把答案直不需要写出解答过程，请把答案直 接填在接填在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 . 1.已知集合 1,3A ，3,9B ，则AB _. 2.如果复数 2 () 3 bi bR i 的实部与虚部互为相反数，则b等于_. 3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为_. 次数 1 2 3 4 5 得分 33 30 27 29 31 4.已知 4
2、 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料，从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁 饮料的概率是_. 5.根据如图所示的伪代码，当输入的, a b分别为 2，3 时，最后输出的b的值为_. 6.在平面直角坐标系xOy中， 已知双曲线 22 22 1 xy ab ( 0,0ab )的两条渐近线的方程为2yx ， 则该 双曲线的离心率为_ 7.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4的正方形，且 AB3，BC5，M 是 AA1 的中点，则三棱锥 A1MBC1的体积为_ 8.已知等差数列 n a前n项和为 n S，若 15 30S， 7 1a ，
3、则 10 S的值为_. 9.已知 ( )yf x是定义在R上的偶函数，当0,)x时， sin ,0,1) ( ) (1),1,) x x f x f xx ，则 5 6 f _. 10.已知在ABC中，1AC ，3BC .若O是该三角形内的一点，满足( ) ()0OAOBCACB，则 CO AB_. 11.已知sin222cos2 ，则 2 sinsin2_ 12.已知点AB、是圆 22 :4O xy上任意两点，且满足2 3AB .点P是圆 22 :(4)(3)4Cxy上任 意一点，则|PAPB的取值范围是_. 13.设实数1a ，若不等式 | 2x xaa ，对任意的实数1,3x恒成立，则满
4、足条件的实数a的取值 范围是_. 14.在ABC中，若 tantan 3 tantan AA BC ，则sin A最大值为_. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小小题，共计题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC，点P是棱AC的中点. （1）求证： 1 AB /平面 1 PBC； （2）求证：平面 1 PBC 平面 11 AACC. 16.已知函数 7 ( )sinsin 412 f xxx . （1）求函
5、数( )yf x的最小正周期和单调递增区间； （2）当0, x时，试求函数( )yf x的最大值，并写出取得最大值时自变量x的值. 17.已知椭圆C: 22 22 1 (0) xy ab ab 四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为60的菱形的四个顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y kx 交椭圆C于,A B两点，在直线上存在点P,使得 PAB 为等边三角形,求k 的值. 18.某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B两点，30BAC ，小船从A点以v千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇.（水流速度忽略不计） （1）若4v ，2ABkm，运
6、动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在 1小时内（含 1 小时）能与 小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值； （2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进(0)mmt小时后，再游泳匀速直线追赶小 船.已知运动员在岸边跑步速度为 4千米小时，在水中游泳的速度为 2千米小时，试求小船在能与运动员 相遇的条件下v的最大值. 19.已知函数 , ln x f xe g xx （1）设 2 h xg xx，求函数 h x单调增区间； （2）设 0 1x ，求证：存在唯一的 0 x，使得函数 yg x的图象在点 00 ,A x g x处的切线 l与函数 yf x的图象也相切； （3）求证：对任
7、意给定的正数 a，总存在正数 x，使得不等式 ( ) 1 1 f x a x 成立 20.等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b满足： 11 55ba， 52 9ab，当3n时， 1nn Sb ， 且 n S， 1nn Sb ， 2n S 成等比数列， * Nn . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求证：数列 n b中的项都在数列 n a中； （3）将数列 n a、 1 1 nn b b 的项按照：当n为奇数时， n a放在前面：当n为偶数时， 1 1 nn b b 放在前面进 行“交叉排列”，得到一个新的数列： 1 a， 1 2 1 bb ， 23 1 b b
8、， 2 a， 3 a， 3 4 1 b b ，这个新数列的前n和为 n T， 试求 n T的表达式. 选做题选做题: :本题包括三小题，请本题包括三小题，请选定其中两题选定其中两题 ，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答 ，若多做，则按作答，若多做，则按作答 的前两题评分的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 选修选修 4- -2：矩阵与变换：矩阵与变换 21.设变换T是按逆时针旋转 2 的旋转变换，对应的变换矩阵是M. （1）求点 (1,1)P 在T作用下的点 P 的坐标； （2）求曲线 2 :C yx在变换T的作用下所得
9、到的曲线 C 的方程. 选修选修 4- -4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.已知直线的参数方程为 1 1 xt yt （t为参数） ，圆C的参数方程为 cos sin xa ya （0a，为参数） ，点 P是圆C上的任意一点，若点P到直线的距离的最大值为 21 ，求实数a的值. 选修选修 4- -5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知 x、y、z 均为正数，求证： 111xyz yzzxxyxyz 必做题必做题: :第第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写内作答，解答时应写 出文字
10、说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤. 24.袋中装有大小相同的黑球和白球共 9个，从中任取 2个都是白球的概率为 5 12 现甲、乙两人从袋中轮流 摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，每次摸取 1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终 止用 X 表示取球终止时取球的总次数 （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量 X的概率分布及数学期望()E X 25.设集合1,0,1M ，集合 12 ,1,2, nni Ax xx xM in，集合 n A中满足条件 “ 12 1 n xxxm”的元素个数记为 n m S. （1）求 2 2 S和 4 2 S的值； (2)
11、当mn时，求证： 11 322 nnmn m S . 2019 2020 学年第一学期高三期初调研试卷数学学年第一学期高三期初调研试卷数学 I 一、填空题：本大一、填空题：本大题共题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70分分.不需要写出解答过程，请把答案直不需要写出解答过程，请把答案直 接填在接填在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 . 1.已知集合 1,3A ，3,9B ，则AB _. 【答案】1,3,9 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】集合1,3A，3,9B ， 由并集的运算可得1,3,9AB ， 故答案为：1,3,9. 【点睛】本题考查了并集的简单运算，属
12、于基础题. 2.如果复数 2 () 3 bi bR i 的实部与虚部互为相反数，则b等于_. 【答案】1 【分析】根据复数的除法运算化简，结合复数的实部与虚部互为相反数，即可求得b的值. 【详解】复数 2 () 3 bi bR i ， 由复数除法运算化简可得 232623 3331010 biibibb i iii ， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 即 623 0 1010 bb ，解得1b， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题. 3.下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为_. 次数 1 2 3 4 5 得分 33 30 2
13、7 29 31 【答案】4 【分析】 根据表格可计算得五次测试得分的均值，由方差公式即可求得五次测试成绩的方差. 【详解】由表格可知，五次测试得分的均值为 3330272931 30 5 ， 由方差公式可得 22222 2 1 333030302730293031 30 5 s 1 204 5 ， 故这五次测试成绩的方差为 4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了平均数与方差的求法，属于基础题. 4.已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料，从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁 饮料的概率是_. 【答案】 5 6 【分析】先求出从 4 瓶饮料中随机抽出 2 瓶的所
14、有的抽法种数，再求出取出的 2瓶不是果汁类饮料的种数， 利用对立事件的概率即可求得. 【详解】从 4瓶饮料中随机抽出 2瓶，所有的抽法种数为 2 4 C 6（种） ， 取出的 2瓶不是果汁类饮料的种数为 2 2 C 1（种） 所以所取 2 瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 P1 1 6 5 6 故答案为 5 6 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了对立事件的概率，解答的关键是掌握对立事件的 概率和等于 1,属于基础题. 5.根据如图所示的伪代码，当输入的, a b分别为 2，3 时，最后输出的b的值为_. 【答案】2 【分析】根据程序代码，即可求得输出值. 【详解】由程序框图可
15、知，当输入的, a b分别为 2，3 时， 2 35aab ， 5 32ba b ， 所以输出的2b，故答案为：2. 【点睛】本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题. 6.在平面直角坐标系xOy中， 已知双曲线 22 22 1 xy ab ( 0,0ab)的两条渐近线的方程为2yx ， 则该 双曲线的离心率为_ 【答案】5 【分析】 由双曲线的两条渐近线方程是 y2x，得 b2a，从而 22 5caba ，即可求出双曲线的离心率 【详解】双曲线 22 22 1 xy ab ( 0,0ab )的两条渐近线方程是 y2x， 2 b a ，即 b2a， 22 5caba ，5 c e a 故答案为5
16、 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题 7.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4的正方形，且 AB3，BC5，M 是 AA1 的中点，则三棱锥 A1MBC1的体积为_ 【答案】4 【分析】用等体积法将三棱锥 A1MBC1的体积转化为三棱锥 11 CAMB的体积即可. 【详解】在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB3，BC5， A1C1AA1，AC2+AB2BC2，A1C1A1B1， AA1A1B1A1，A1C1平面 A1MB， M是 AA1的中点， 11 11
17、1 3 4 222 A MBAA B SS 3， 三棱锥 A1MBC1的体积： 11111 11 11 3 4 33 AMBCCA MBA MB VVSAC 4 故答案为：4 【点睛】本题考查等体积法求三棱锥的体积，考查学生转化与化归的思想，考查学生基本计算能力，是一 个常考点. 8.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 15 30S， 7 1a ，则 10 S的值为_. 【答案】-5 【分析】根据等差数列的前 n项和公式，结合通项公式及性质即可求得首项和公差，进而代入前 n 项和公式 即可求得 10 S的值. 【详解】由等差数列前 n项和公式可得 115 158 15 1530 2
18、aa Sa ，则 8 2a ， 由等差数列的通项公式可得 1 1 72 61 ad ad ，解得 1 5 1 a d ， 所以 10 10 9 10515 2 S ， 故答案为：-5. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前 n 项和公式的简单应用，属于基础题. 9.已知 ( )yf x 是定义在R上的偶函数，当0,)x时， sin ,0,1) ( ) (1),1,) x x f x f xx ，则 5 6 f _. 【答案】 1 2 【分析】 根据偶函数性质可知55 66 ff ，结合函数解析式可知当1x 时为周期等于 1 的周期函数， 所以5 66 ff ，代入即可求解. 【详解】( )y
19、f x是定义在R上的偶函数， 所以55 66 ff ， 当0,)x时， sin ,0,1) ( ) (1),1,) x x f x f xx ， 即当1x 时为周期等于 1 的周期函数， 即5 66 ff ， 所以 1 sin 662 f ， 故答案为： 1 2 . 【点睛】本题考查了分段函数的求值，偶函数与周期函数的综合应用，属于基础题. 10.已知在ABC中，1AC ，3BC .若O是该三角形内 一点，满足() ()0OAOBCACB，则 CO AB_. 【答案】4 【分析】 根据平面向量数量积的运算律，结合向量的线性运算可得OAOB，画出几何关系图示，即可由平面向 量数量积运算律求得CO
20、 AB . 【详解】因为() ()0OAOBCACB， 则()0OAOBBA，即() ()0OAOBOAOB， 所以 22 0OAOB ，即OAOB， 所以O在AB的垂直平分线上， 由题意可知1AC ，3BC . 设AB中点为M，如下图所示： 由平面向量的线性运算及数量积运算律可得 CO ABCMMOAB CM ABMO AB 1 2 CM ABCACBCBCA 2211 22 CBCA 22 11 314 22 , 故答案为：4. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律及几何中向量的线性运算应用，属于中档题. 11.已知sin222cos2 ，则 2 sinsin2_ 【答案】1 或 8
21、5 【解析】由sin222cos2得sin22(1cos2 )0，即 2 2 sincos4 cos0，所以 cos0或tan2， 当cos0时， 22 sinsin21 cos2sincos1 ， 当tan2时， 222 2 2222 sin2sincostan2tan22 28 sinsin2 sincostan1215 ， 故答案为 1 或 8 5 . 【点睛】在已知tan的值求关于sin,cos的函数值时，有两类问题可通过把待求式转化为tan的式 子快速求值： （1）关于sin,cos的齐次分式：一次齐次式 sincos ( ) sincos ab f cd ，二次齐次式 22 22
22、sinsincoscos ( ) sinsincoscos abc f def ； （2）可化为二次齐次式的代数式： 22 ( )sinsincoscosfabc 22 sinsincoscos 1 abc 22 22 sinsincoscos sincos abc 12.已知点AB、是圆 22 :4O xy上任意两点，且满足2 3AB .点P是圆 22 :(4)(3)4Cxy上任 意一点，则|PAPB的取值范围是_. 【答案】4,8 【分析】 根据题意在坐标系中画出两个圆，结合平面向量的线性运算，由点与圆的位置关系即可判断出取最大值和 最小值时的位置，进而求解. 【详解】根据题意，画出图形关
23、系如下图所： 取AB的中点D，由两个圆的方程可知 22 2,435CPCO ， 则 2 22 431ODOAAD ， 由平面向量线性运算可知2PAPBPD， 当CPOD、 、 、四点共线时，PD取得最小值，此时5 2 12PDCO CP OD ， 当CPOD、 、 、四点共线时，PD取得最大值，此时5 2 14PDCO CP OD ， 所以24,8PD ，即|PAPB的取值范围为4,8， 故答案为：4,8. 【点睛】本题考查了平面向量与圆的综合应用，点和圆位置关系的综合应用，距离最值的求法，属于中档 题. 13.设实数1a ，若不等式 | 2x xaa ，对任意的实数1,3x恒成立，则满足条件
24、的实数a的取值 范围是_. 【答案】 7 1,2, 2 【分析】 根据题意，将不等式变形，转化为两个函数在1,3x内的位置关系，再对a分类讨论，画出函数图像即 可分析a的取值范围. 【详解】对于实数1a ，不等式| 2x xaa ，对任意的实数1,3x恒成立， 则 2a xa x 对于任意的实数1,3x恒成立， 所以函数yxa的图像在1,3x时恒在 2a y x 图像的上方， 当2a时，显然成立； 当12a时， 2a y x 在第四象限，若函数yxa的图像在1,3x时恒在 2a y x 图像的上方， 如下图所示： 此时在1,3x时恒成立，因而12a成立； 当2a时， 2a y x 在第一象限；
25、若函数yxa的图像在1,3x时恒在 2a y x 图像的上方，如 下图所示： 结合图像可知，需满足 2 2 3 3 a a a ， 解不等式可得 7 2 a ， 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为 7 1,2, 2 ， 故答案为： 7 1,2, 2 . 【点睛】本题考查了含参数绝对值不等式的解法，不等式与函数的关系综合应用，数形结合法求参数的取 值范围，属于难题. 14.在ABC中，若 tantan 3 tantan AA BC ，则sin A的最大值为_. 【答案】 21 5 【分析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简， 并由正弦定理将角化为边，代入余 弦定理即可表示出
26、cosA，再由基本不等式即可求得cosA的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得 sin A的取值范围，即可求得sin A的最大值. 【详解】在ABC中， tantan 3 tantan AA BC ， 则 sincossincos 3 cossincossin ABAC ABAC ， 通分化简可得 sincossincossin 3 cossinsin ABCCB ABC ， 由正弦和角公式可得 sinsin 3 cossinsin ACB ABC ， 所以 2 sin 3 cossinsin A ABC ， 由正弦定理代入可得 2 3 cos a bcA ，即 2 3cosabcA ，
27、又由余弦定理 222 2cosabcbcA， 代入可得 22 3cos2cosbcAbcbcA ， 所以 22 22 cos 555 bcbc A bcbc ，当且仅当bc时取等号， 则 2 4 cos 25 A，所以 2 4 1 sin 25 A， 即 2 21 sin 25 A，所以 21 sin 5 A， 则sin A的最大值为 21 5 . 故答案为： 21 5 . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余 弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，
28、共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程明、证明过程或演算步骤或演算步骤. 15.如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBC，点P是棱AC的中点. （1）求证： 1 AB /平面 1 PBC； （2）求证：平面 1 PBC 平面 11 AACC. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【分析】 （1）连接 1 CB，与 1 BC交于O，连接OP，由中位线定理即可证明 1 AB /平面 1 PBC； （2）根据题意可证明BPAC及 1 AAPB，可得PB 平面 11 AACC，再由面面垂直的判定定
29、理可证明 平面 1 PBC 平面 11 AACC. 【详解】 （1）证明：连接 1 CB，与 1 BC交于O，连接OP，如下图所示： 则OP为 1 ABCV的中位线， 所以 1 / /OPAB， 因为OP平面 1 PBC, 1 AB 平面 1 PBC， 所以 1 AB /平面 1 PBC； （2）证明：在ABC中，ABBC，点P是棱AC的中点. 所以BPAC， 因为 1 AA 平面ABC，而PB 平面ABC，可得 1 AAPB 又因为 1 ,AC AA 平面 11 AACC，且 1 ACAAA， 所以PB 平面 11 AACC， 而PB 平面 1 PBC， 所以平面 1 PBC 平面 11 A
30、ACC. 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理应用，线面垂直与面面垂直判定定理的应用，属于基础题. 16.已知函数 7 ( )sinsin 412 f xxx . （1）求函数( )yf x的最小正周期和单调递增区间； （2）当0, x时，试求函数( )yf x的最大值，并写出取得最大值时自变量x的值. 【答案】 （1）2T； 11 2,2, 1212 kkkZ （2） 12 x 时，函数( )yf x的最大值为 3. 分析】 （1）将函数解析式变形，结合正弦和角公式及辅助角公式变形，即可由正弦函数的性质求得最小正周期及 单调递增区间. （2）根据自变量的范围，结合正弦函数的图像与性质即可求得
31、最大值，结合正弦函数的性质即可求得取最 大值时自变量的值. 【详解】 （1）将函数( )yf x的解析式变形，结合正弦和角公式与辅助角公式化简可得 7 ( )sinsin 412 f xxx sinsin 443 xx 33 sincos 2424 xx 1 5 3sin 2 x ， 所以函数( )yf x的最小正周期为2T; 由正弦函数的图像与性质可知 12 5 22, 22 kxkkZ ， 解得 11 22, 1212 kxkkZ ， 所以( )yf x的单调递增区间为 11 2,2, 1212 kkkZ . （2）因为0, x， 则 5517 , 121122 x ， 当 1 5 22
32、x 时，函数( )yf x的最大值为 3， 解得此时 12 x . 【点睛】本题考查了正弦和角公式及辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用， 属于基础题. 17.已知椭圆C: 22 22 1 (0) xy ab ab 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为60的菱形的四个顶点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y kx 交椭圆C于,A B两点，在直线上存在点P,使得 PAB 为等边三角形,求k 的值. 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； （2）0k 或1k 【解析】 （1）求椭圆标准方程，要确定, a b的值，题中已知四个顶点形成的菱形是确定的，而椭圆的顶点为
33、 (,0),(0,)ab ，因此易得, a b； （2）本小题采取解析几何的基本解法， PAB 是等边三角形的条件是三 边相等，或两内角为 60 ，或POAB且3POAO，我们采用POAB且3POAO，由线 段AB的中垂线与直线l相交求得点P的坐标， 计算PO， 直线y kx 与椭圆相交求得A点坐标， 计算AO， 利用3POAO求得k值，由于涉及到AB的垂线因此对k按0k 和0k 分类讨论 试题解析：(1)因为椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的四个顶点恰好是一边长为 2， 一内角为60的菱形的四个顶点, 所以3,1ab, 椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y (2)设 11
34、 ,A x y,则 11 ,Bxy （i）当直线AB的斜率为 0 时，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线的交点为(0,3)P, 又3,3AOPO2 3ABPAPB， 所以 PAB 是等边三角形,所以0k 满足条件； (ii)当直线AB的斜率存在且不为 0 时，设AB的方程为y kx 所以 2 2 1 3 x y ykx ，化简得解得 1 2 3 31 x k 所以 2 2 22 333 1 3131 k AOk kk 又AB的中垂线为 1 yx k ，它l的交点记为 00 (,)P xy 由 30 1 xy yx k 解得 0 0 3 1 3 1 k x k y k 则 2 2 99 (1)
35、 k PO k 因为 PAB 为等边三角形， 所以应有3POAO 代入得到 22 22 9933 3 (1)31 kk kk ，解得0k （舍） ，1k 综上可知，0k 或1k 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交的综合问题 18.某地举行水上运动会，如图，岸边有,A B两点，30BAC ，小船从A点以v千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇.（水流速度忽略不计） （1）若4v ，2ABkm，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在 1小时内（含 1 小时）能与 小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值； （2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步
36、匀速行进(0)mmt小时后，再游泳匀速直线追赶小 船.已知运动员在岸边跑步速度为 4千米小时，在水中游泳的速度为 2千米小时，试求小船在能与运动员 相遇的条件下v的最大值. 【答案】 （1）2； （2） 4 3 3 . 【分析】 （1）设运动员游泳的速度为x千米/小时，结合余弦定理即可表示出 2 x，再由二次函数性质即可求得速度 的最小值. （2）根据余弦定理代入化简变形，可转化为一元二次方程，由一元二次方程有解，即可确定0，进而 求得速度的最大值. 【详解】 （1）设运动员游泳的速度为x千米/小时， 由余弦定理可知 22 2 242 2 4 cos30xttt ， 化简可得 2 2 2 48
37、 31 16434x tt t ， 因为01t ，所以 1 1 t ， 则当 1 3 t ，即 3 3 t 时， 2 x取得最小值，此时2x， 所以为保证在 1 小时内（含 1小时）能与小船相遇，运动员游泳速度的最小值为 2. （2）运动员游泳时间为tm 小时，运动员在岸边跑步的速度为 4 千米小时，在水中游泳的速度为 2 千米 小时， 由余弦定理可知 222 242 4cos30tmmvtm vt ， 整理化简可得 2 2 1284 340 mm vv tt ， 设,0,1 m kk t ， 则上式可化为 22 1284 340kv kv在0,1内有解， 则 2 2 84 34 1240vv
38、 ， 解得 4 3 0 3 v， 当 4 3 3 v 时，代入方程可解得 1 3 k ，满足0,1k， 所以小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值为 4 3 3 . 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的综合应用，二次函数求最值及有解的应用，属于中档题. 19.已知函数 , ln x f xe g xx （1）设 2 h xg xx，求函数 h x的单调增区间； （2）设 0 1x ，求证：存在唯一的 0 x，使得函数 yg x的图象在点 00 ,A x g x处的切线 l与函数 yf x的图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数 a，总存在正数 x，使得不等式 ( ) 1 1 f x a
39、 x 成立 【答案】 （1） h x的单调增区间为（0， 2 2 ； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数)(h x，在函数定义域内由( )0h x 确定其增区间； （2）先求出( )g x在 0 x处的切线方程，设这条切线与( )yf x的图象切于点 11 ( , ( )x f x，由 01 01 01 ()() ()() g xf x kg xfx xx ，得出关于 0 x的方程，然后证明此方程的解在(1,)上存在且唯一 （3）把问题转化为10 x eaxx 在(0, )上有解，令 ( )1 x H xeaxx，则只要 min ( )0H x即 可 【详解】
40、（1）h（x）g（x）x2lnxx2，x（0，+） 令 22 2 22 1 ( )20 xx h xx xx ， 解得 2 0 2 x 函数 h（x）的单调增区间为（0， 2 2 （2）证明：设 x01， 1 ( )g x x ，可得切线斜率 0 1 k x ， 切线方程为： 00 0 1 ln()yxxx x 假设此切线与曲线 yf（x）ex相切于点 B（x1， 1 x e） ，f（x）e x 则 k= 1 x e， 1 1 0 010 ln1 x x ex ke xxx 化为：x0lnx0lnx0x010，x01 下面证明此方程在（1，+）上存在唯一解 令 u（x0）x0lnx0lnx0x
41、01，x01 00 0 1 ()lnu xx x ，在 x0（1，+）上单调递增 又 u（1）1， 1 ( )10u e e ， ( )0u x 在(1,)上有唯一实数解m， 0 (1,)xm， 0 ()0u x，( )u x递减， 0 ( ,)xm时， 0 ()0u x，( )u x递增， 而(1)20u ， 0 ()0u x在(1,)m上无解， 而 22 ()30u ee ， 0 ()0u x在( ,)m 上有唯一解 方程 0 ()0u x在（1，+）上存在唯一解 即：存在唯一的 x0，使得函数 yg（x）的图象在点 A（x0，g（x0） ）处的切线 l与函数 yf（x）的图象也 相切 （
42、3）证明： ( ) 11 1 x f xex xx ， 令 v（x）exx1，x0 v（x）ex10， 函数 v（x）在 x（0，+）上单调递增， v（x）v（0）0 ( ) 11 10 x f xex xx ， 不等式 ( ) 1 1 f x a x ，a0exx1ax0， 即 H（x）exx1ax0， 由对任意给定的正数 a，总存在正数 x，使得不等式 ( ) 1 1 f x a x 成立H（x）min0 H（x）exx1ax，a，x（0，+） H（x）ex1a，令 ex1a0， 解得 xln(1)a0， 函数 H（x）在区间（0，ln(1)a）上单调递减，在区间（ln(1)a，+）上单调递增 H（0）0， min ( )(ln(1)0H xHa 存在对任意给定的正数 a，总存在正数 x，使得不等式 ( ) 1 1 f x a x 成立 【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，考查综合运算能力，转化 与化归思想，本题难度较大 20.等差数列 n a的前n项和为 n S，数列 n b满足： 11 55ba， 52 9ab，当3n时， 1nn Sb ， 且 n S， 1nn Sb ， 2n S 成等比数列， * N
