1、高中数学资料共享群 284110736 2020 届高三数学（理）“大题精练”8 17在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos , 2sin x y （0,2 ), 为参数）， 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 2 , xx yy 得到曲线 1 C，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角） （）求曲线C的直角坐标方程和曲线 1 C的极坐标方程； （）若射线:0OA 与曲线 1 C交于点A，射线:0 2 OB 与曲线 1 C交于点B，求 22 11 OAOB 的值 18已知函数 2 3 f xsinx cosx3cos x 2 ()求函数 f x的单调
2、递增区间； ()若 0 3 f x 5 ， 0 x0, 2 ，求 0 cos2x的值 高中数学资料共享群 284110736 19已知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足22 nn Sna。 (1)证明：数列2 n a 是等比数列。并求数列 n a的通项公式 n a。 (2)若数列 n b满足 2 log2 nn ba，设 n T是数列 2 n n b a 的前 n 项和。求证： 3 2 n T 。 20如图，平面四边形ABCD中，4CD ,2ABAD,60BAD , 30BCD ， 将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，平面PBD 平面BCD，E为PD中点. （）求证：PDCE
3、； （）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 高中数学资料共享群 284110736 21甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销5天。两品牌提供的返 利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利5元， 超出10件的部分每件返利7元； 乙品牌每天固定返利20元， 且每卖出一件产品再返利3元。 经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下： （） 现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天， 求这3天的销售量中至少有一天低于10的概 率. （）若将频率视作概率，回答以下问题： 记甲品牌的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； 商场拟在甲、
4、乙两品牌中选择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学 的统计学知识为商场作出选择，并说明理由. 22已知( )sin ()f xax aR,( ) x g xe. (1)若01a,判断函数( )(1)lnG xfxx在0,1上的单调性； (2)设 2 ( )( )2(1),()F xg xmxxk kR,对0,0xm ,有( )0F x 恒成立,求k 的最小值 高中数学资料共享群 284110736 2020 届高三数学（理）“大题精练”8（答案解析） 17在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos , 2sin x y （0,2 ), 为参数）， 在同一平面直角坐标系中
5、，经过伸缩变换 2 , xx yy 得到曲线 1 C，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（为极径，为极角） （）求曲线C的直角坐标方程和曲线 1 C的极坐标方程； （）若射线:0OA 与曲线 1 C交于点A，射线:0 2 OB 与曲线 1 C交于点B，求 22 11 OAOB 的值 【解】（）由曲线C的参数方程为 2 2 xcos ysin (0,2,aa为参数)， 得 22 4xy，所以曲线C的直角方程为 22 4xy； 曲线C经过伸缩变换得到 1 C的参数方程为 4 2 xcos ysin ，得 22 416xy， 所以曲线C的极坐标方程为 2222 416cossin.
6、 （）将0 代入 2222 416cossin 得 22 2 1cossin 164 ，即 22 2 1cossin 164 OA ， 同理 22 22 2 cossin 1sincos22 164164 OB ， 所以22 11115 16416 OAOB . 18已知函数 2 3 f xsinx cosx3cos x 2 高中数学资料共享群 284110736 ()求函数 f x的单调递增区间； ()若 0 3 f x 5 ， 0 x0, 2 ，求 0 cos2x的值 【解】：(1) f x 2 sin 2 3 x 函数 f x的单调递增区间为： 7 , 1212 kkkZ （2） 00
7、23 sin 2 35 f xx , 0 0, 2 x ， 0 24 cos 2 35 x ， 00 22413343 3 cos2cos2 33525210 xx 19已知数列 n a的前 n 项和为 n S，满足22 nn Sna。 (1)证明：数列2 n a 是等比数列。并求数列 n a的通项公式 n a。 (2)若数列 n b满足 2 log2 nn ba，设 n T是数列 2 n n b a 的前 n 项和。求证： 3 2 n T 。 【解】：(1)由22 nn Sna得22 nn San， 当 * nN 时，22 nn San， 当1n 时， 11 22Sa，则 1 2a ， 则当
8、2n， * nN 时， 11 221 nn San 。 ，得 1 222 nnn aaa ， 即 1 22 nn aa ， 所以 1 222 nn aa ，所以 1 2 2 2 n n a a ， 所以2 n a 是以 1 2a 为首项，以 2 为公比的等比数列。 所以 1 24 n n an ，所以 1 22 n n a 。 (2)由 2 1 22 log2log 21 nn ban ， 高中数学资料共享群 284110736 得 2 n n b a 1 1 22 n n n bn a ， 则 231 231 222 n n n T ， 312 121 2222 n nn nn T 1 2
9、， ，得 234122 11 1 1211111142 1 22222242 1 2 n n nnn nn T 122 111133 422242 nnn nn . 所以 1 333 222 n n n T 20如图，平面四边形ABCD中，4CD ,2ABAD,60BAD , 30BCD ， 将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，平面PBD 平面BCD，E为PD中点. （）求证：PDCE； （）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 【解】（）由题意ABD为等边三角形，则2BD ， 在三角形BCD中，4CD ,30BCD ，由余弦定理可求得 2 3BC ， 222 CDBDBC ，即B
10、CBD 又平面PBD 平面BCD，平面PBD平面BCDBD，BC 平面BCD BC平面PBDBCPD 等边三角形PBD中，E为PD中点，则BEPD，且BCBEB PD平面BCE，PDCE （）以B为坐标原点，,BC BD分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系， 高中数学资料共享群 284110736 则0,0,0B，2 3,0,0C，0,2,0D，0,1, 3P， 33 0, 22 E 2 3,2,0CD ，0,1,3PD 设, ,mx y z 是平面PCD的法向量，则 0m CD ， 0m PD 2 320 30 xy yz 取1, 3,1m 3 33 2 5 22 cos, 553 m BE
11、m BE mBE 所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为 2 5 5 . 21甲、乙两品牌计划入驻某商场，该商场批准两个品牌先进场试销5天。两品牌提供的返 利方案如下：甲品牌无固定返利，卖出10件以内（含10件）的产品，每件产品返利5元， 超出10件的部分每件返利7元； 乙品牌每天固定返利20元， 且每卖出一件产品再返利3元。 经统计，两家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下： （） 现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天， 求这3天的销售量中至少有一天低于10的概 率. （）若将频率视作概率，回答以下问题： 记甲品牌的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； 商场拟在甲、乙两品牌中选
12、择一个长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学 的统计学知识为商场作出选择，并说明理由. 【解】（）设A为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量中至少有一天低于 10件的事件，则 1221 2323 3 5 C CC C9 C10 P A . 高中数学资料共享群 284110736 另法：设A为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量中至少有一天低于10件 的事件，则A为从乙品牌试销售的5天中抽取3天，这3天的销售量都不低于10件的事件， 则 3 3 3 5 C19 111 C1010 P AP A . （）设甲品牌的日销售量为随机变量，则甲品牌的日返利额X（单位：元）与
13、的 关系为： 5 ,010 50710 ,11 X .当6时，30X ；当7时，35X ；当10时， 50X ；当12时，64X ； 故X的分布列为 X30355064 P 2 5 1 5 1 5 1 5 2111 3035506441.8 5555 E X （元） 设乙品牌的日销售量为随机变量，乙品牌的日返利额Y（单位：元）与的关系为： 203Y，且的分布列为 691213 P 1 5 1 5 2 5 1 5 则 1121 69121310.4 5555 E （件） 则 3203203 10.42051.2E YEE （元） 因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额，所以如果仅从日返
14、利额的角度考 虑，商场应选择乙品牌长期销售. 高中数学资料共享群 284110736 另法：乙品牌的日返利额Y（单位：元）的取值集合为38,47,56,59，分布列为 Y38475659 P 1 5 1 5 2 5 1 5 则 1121 3847565951.2 5555 E Y （元） 22已知( )sin ()f xax aR,( ) x g xe. (1)若01a,判断函数( )(1)lnG xfxx在0,1上的单调性； (2)设 2 ( )( )2(1),()F xg xmxxk kR,对0,0xm ,有( )0F x 恒成立,求k 的最小值 【解】（1） 1G xasinxlnx.
15、1 1Gxacosx x 1 1acosx x 又0,1x，因此 1 1 x ，而cos 11ax，所以 0Gx ，故 G x在0,1单调递 增. （2）由题意知， 2 21 x F xemxxk 22 x Fxemx，设 22 x t xemx，则 2 x txem， 由于0m，故 0tx ， 0,x时， t x单调递增，又 01t ，2220t lnmln ， 因此 t x在0,2ln存在唯一零点 0 x，使 0 0t x，即 0 0 220 x emx， 且当 0 0,xx， 0t x ， 0Fx ， F x单调递减； 0, xx， 0t x ， 0Fx ， F x单调递增； 故 0 2 000 210 x min F xF xemxxk， 高中数学资料共享群 284110736 故 0 00 2 0 000 0 2 2112 22 x xx xe kexxex x ， 设 12 2 x x Z xex ,0,ln2x 1 1 2 x x Zxe ，又设 1 10 22 xx xx k xekxe 故 k x在0,2ln上单调递增， 因此 1 00 2 k xk， 即 0Zx ， Z x在0,2ln 单调递增， 1,2ln2Z x ，又12 242lnln，所以2k ， 故所求k的最小值为2.
