1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”9 17 （12 分） 已知首项为 3 2 的等比数列 n a的前n项和为 * n SnN， 且 2 2S， 3 S， 4 4S 成等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2） 对于数列 n A， 若存在一个区间M， 均有1,2,3 i AM i， 则称M为数列 n A 的“容值区间”.设 1 nn n bS S ，试求数列 n b的“容值区间”长度的最小值. 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，2ABAC， 2 2AD ，2PB，PBAC （1）求证：AC 平面PAB； （2）若45PBA o，点E 在线段
2、PA上，且三棱锥DPCE的体积为 4 9 ，求 PE PA 19 （12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎 的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200户家庭进行调查统计.这 200 户 家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭 数为 60. （1）完成下列22列联表，并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有 关； 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 （2） 在抽取的 200 户家庭的样本中， 按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了 5
3、户， 进一步了解情况，在抽取的 5户中再随机抽取 3 户，求这 3户中恰好有 2 户生二孩的概率. 附： 2 P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中na b cd ）. 20 （12 分）如图，设抛物线 2 1 C xy与 2 2: 20Cypx p的公共点M的横坐标为 0t t ，过M且与 1 C相切的直线交 2 C于另一点A，过M且与 2 C相切的直线交 1 C于另 一点B，记S为MBA的面积. （）求p的值（用t表示） ； （）若 1 ,2
4、4 S ，求t的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直 线与抛物线相切. 21 （12 分）已知函数 2 1 2ln 2 f xxxax， 1 a e . （）讨论 f x的单调性； （）若 f x存在极值，求所有极值之和的取值范围. (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分. 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 22 1: 2Cxyy，以O为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 1 42 sincoscos . （1）求曲线 1
5、 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设点,M 在曲线 2 C上，直线OM交曲线 1 C于点N，求OMON的最小值. 23. （10 分）已知函数( ) | 2|3|f xxx. （1）解不等式( )32f xx； （2）若函数( )f x最小值为M，且23(0,0)abM ab，求 13 211ab 的最小值 2020 届高三数学（文） “大题精练”9（答案解析） 17 （12 分） 已知首项为 3 2 的等比数列 n a的前n项和为 * n SnN， 且 2 2S， 3 S， 4 4S 成等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2） 对于数列 n A， 若存在一个区
6、间M， 均有1,2,3 i AM i， 则称M为数列 n A 的“容值区间”.设 1 nn n bS S ，试求数列 n b的“容值区间”长度的最小值. 【解析】 （1）由题意可知： 324 224SSS ，即 123121234 2aaaaaaaaa， 4 3 1 2 a a ，即公比 1 2 q ，又 1 3 2 a ， 1 31 22 n n a . （2）由（1）可知 1 1 2 n n S .当n为偶数时 1 1 2 n n S ，易知 n S随n增大而增大， 3 ,1 4 n S ，根据勾型函数性质，此时 125 2, 12 nn n bS S .当n为奇数时 1 1 2 n n
7、S ，易知 n S随n增大而减小， 3 1, 2 n S ，根据勾型函数性质，此时 113 2, 6 nn n bS S .又13 25 612 ， 13 2, 6 n b .故数列 n b的“容值区间”长度的最小值为 1 6 . 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，2ABAC， 2 2AD ，2PB，PBAC （1）求证：AC 平面PAB； （2）若45PBA o，点E 在线段PA上，且三棱锥DPCE的体积为 4 9 ，求 PE PA 【解析】 （1）由题知：2ABAC， 2 2BCAD ，满足 222 ABACBC ACAB，又PBAC，ABPBB，AB
8、平面PAB，PB 平面PAB AC 平面PAB （2）如图，取线段AB中点O，连接PO在 PAB 中，由余弦定理可得： 22 2cos2PABPBABP BAPBAPB ，POAB，PBPA，且 1 1 2 POAB， 又AB 平面PAB平面ABCD，PO平面PAB， 由 （1） 知AC 平面PAB， 又AC 平面ABCD，平面PAB 平面ABCD，故有PO平面ABCD， 1112 2 21 3323 D PACP ACDACD VVSPO ， 14 2 39 12 3 33 PCE D PCEPCE D PCAPCA PCA h S VSPE VSPA h S ， 2 3 PE PA 19
9、（12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎 的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200户家庭进行调查统计.这 200 户 家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭 数为 60. （1）完成下列22列联表，并判断能否有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有 关； 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 头胎为男孩 合计 200 （2） 在抽取的 200 户家庭的样本中， 按照分层抽样的方法在头胎生女孩家庭中抽取了 5户， 进一步了解情况，在抽取的 5户中再随机抽取 3 户，求这 3
10、户中恰好有 2 户生二孩的概率. 附： 2 P Kk 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中na b cd ）. 【解析】 （1）因为头胎为女孩的频率为 0.5，所以头胎为女孩的总户数为200 0.5100. 因为生二孩的概率为 0.525，所以生二孩的总户数为200 0.525105. 22列联表如下： 生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 10 合计 105 95 200 2 2 200(60 5545 40)6
11、00 4.5113.841 105 95 100 100133 K ， 故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关. （2）在抽取的 200 户家庭的样本中， 按照分层抽样的方法在头胎生女孩的家庭中抽取了 5 户，则这 5 户家庭中，生二胎的户数为 3，分别记为 , ,A B C，不生二孩的户数为 2，分别记为, a b.从这 5 户家庭中随机抽取 3户有 ( , ,)A B C，( , , )A B a， ( , , )A B b，( , )B C a，( , , )B C b，( , , )A C a，( , , )A C b，( , , )A a b，( , , )B a b，
12、( , , )C a b， 共 10 种情况， 其中恰好有 2户生二孩的有( , , ),( , , ),( , ),( , ),( , ),( , )A B aA B bB C aB C bA C aA C b，故 6 种情况，故所求概率为 63 105 . 20 （12 分）如图，设抛物线 2 1 C xy与 2 2: 20Cypx p的公共点M的横坐标为 0t t ，过M且与 1 C相切的直线交 2 C于另一点A，过M且与 2 C相切的直线交 1 C于另 一点B，记S为MBA的面积. （）求p的值（用t表示） ； （）若 1 ,2 4 S ，求t的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一
13、个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直 线与抛物线相切. 【解析】 （）因点M在抛物线 1 C: 2 xy上,故 2 ,0M t tt ，又点M在抛物线 2 C： 2 20ypx p上,故 2 2 2tpt,则 3 2 t p （） 设点 11 ,A x y,直线MA的方程为 2 yk xtt， 联立方程组 2 2 (), , yk xtt xy 消 去y,得 22 0xkxktt， 则 2 22 420kkttkt ， 因此2kt=， 即直线MA 的方程为 2 2ytxt 则直线MA的斜率 223 11 22 111 3 2 ytytt kt yxtyt t t ，从而 2 1
14、 2 t y ,即 2 , 42 tt A ，同 理,直线MB的方程为 2 22 tt yx,点 2 , 2 4 t t B ，因此 2 2 3 11 2224 tttt MBt ，点 2 , 42 tt A 到直线MB： 2 0 22 tt xy的距 离 22 2 22 9 2 422 8 1 1 4 2 tttt t d t t ，故MBA的面积 2 23 2 9 11 327 8 1 22 2432 1 4 t ttt SMB d t ，即 3 27 32 t S ，因为 1 ,2 4 S ，即 3 127 2 432 t ，解得 2 4 , 3 3 t . 21 （12 分）已知函数
15、2 1 2ln 2 f xxxax， 1 a e . （）讨论 f x的单调性； （）若 f x存在极值，求所有极值之和的取值范围. 【解析】 （）定义域：0,， 2 2 2 axxa x x fx x . 当1a 时， 0fx ， f x在0,单调递增； 当 1 1a e 时， 令 0f x ， 11xa ， 则 f x在0,11 a，11,a 单调递增，在11,11aa单调递减. （）由（I）知，当1a 是， f x没有极值点.当 1 1a e 时， f x有两个极值点，分 别记为 12 ,x x，则 12 2xx， 12 x xa. 22 12111222 11 2ln2ln 22 fx
16、fxxxaxxxax 2 12121212 1 22ln 2 xxx xxxax x ，又 12 2xx， 12 x xa，所以 12 1 424lnln2 2 f xf xaaaaaa，且 1 ,1a e ，设 ln2g aaaa ， ln0g aa， g a在 1 ,1 e 单调递减. max 11112 ln22g eeee a e g ， min 13g ag.所以所有极值之和的取 值范围为 2 3,2 e . (二)、选考题：共 10 分. 请考生从 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 计分. 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 22 1: 2Cx
17、yy，以O为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 1 42 sincoscos . （1）求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）设点,M 在曲线 2 C上，直线OM交曲线 1 C于点N，求OMON的最小值. 【解析】 （1）将 222 sin xy y 代入 22 2xyy得，2sin，所以曲线 1 C的极坐标方 程为2sin. 曲线 2 C的方程可化为 222 sincoscos1, 4 2 ， 即 2 10xyxx， 得 1 0y xx x ， 所以 2 C的直角坐标方程为 1 0yxx x ； （2）由（1）及题设条件知， 2
18、1 sincoscos OM ，2sinON，其中 , 4 2 ， 所以 22 22 2 4sin4tan sincoscostan1 OMON a ， 令t a n1t， 因为, 4 2 ， 所以tan1，所以0t ，所以 2 22 4111 484 2816 t OMONtt ttt ， 当且仅当1t ， 即t a n2， , 4 2 时等号成立.所以OMON的最小值为4. 23. （10 分）已知函数( ) | 2|3|f xxx. （1）解不等式( )32f xx； （2）若函数 ( )f x最小值为M，且23(0,0)abM ab ，求 13 211ab 的最小值. 【解析】 （1）当2x时，2332xxx ，即 3 5 x ，无解；当23x 时， 2332xxx ， 即 7 3 x， 得 7 3 3 x； 当3x 时，2332xxx ， 即1x ， 得3x .故所求不等式的解集为 7 , 3 . （2） 因为( ) |2|3| |(2)(3)| 5f xxxxx， 所以235(0,0)abab， 则213(1)9ab ， 1311313(1)3(21)16 213(1)10 2119 21192119 ba ab ababab 当且仅当 211, 235, 0,0, ab ab ab 即 5 , 8 5 4 a b 时取等号.故 13 211ab 的最小值为16 9
