1、 第 1 页（共 28 页） 2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 13 立体几何 1 （2020广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方 形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( ) A(72 2) B(102 2) C(104 2) D(114 2) 2 （2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰 三角形 研究发现， 该金字塔底面周长除以 2 倍的塔高， 恰好为祖冲之发现的密率 355 113 若 胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的侧棱长为( ) A 2 21h B 2 24 8 h C 2
2、 16 4 h D 2 216 4 h 3 （2020桥东区校级模拟） 已知P为一圆锥的顶点，AB为底面圆的直径，PAPB， 点M 在底面圆周上，若M为AB的中点，则异面直线AM与PB所成角的大小为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 4 （2020梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为 2 的正方形和其内 部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( ) A 2 3 B16 3 C6 D与点O的位置有关 第 2 页（共 28 页） 5 （2020东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD为正四面体，2 2AB ，E，F分 别是AD，BC中点若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一
3、个面都相交的平面去 截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( ) A1 B2 C2 D2 2 6 （2020宜昌模拟）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点M为棱 1 DD的中点，则 平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A 3 B 2 3 C D 4 3 7 （2020龙岩一模）已知四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，SASB， SASB，底面ABCD是等腰梯形，/ /ABCD，且满足222ABADDC，则球O的表 面积是( ) A 4 3 B 8 2 3 C4 D8 8 （2020眉山模拟） 已知腰长为 3， 底边长 2 为的等
4、腰三角形ABC，D为底边BC的中点， 以AD为折痕，将三角形ABD翻折，使BDCD，则经过A，B，C，D的球的表面积为 ( ) A10 B12 C16 D20 9（2020五华区校级模拟） 已知圆锥SO的底面半径为 3， 母线长为 5 若球 1 O在圆锥SO内， 则球 1 O的体积的最大值为( ) A 9 2 B9 C 32 3 D12 10 （2020垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30的平面， 则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) 第 3 页（共 28 页） A 15 256 B 45 256 C 15 64 D 45 64 11（2020内蒙古模拟） 如图：
5、 空间四边形PABC中， 1 3 PMAN PBAC ，4PABC，3MN ， 异面直线PA与BC所成角的余弦值为( ) A 1 4 B 1 64 C 1 64 D 1 4 12 （2020凯里市校级模拟） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如 下问题： “今有阳马， 广五尺， 袤七尺， 高八尺， 问积几何？ “其意思为： “今有底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是 多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( ) A140 立方尺 B280 立方尺 C 280 3 立方尺 D140 3 立方尺 13 （2
6、020龙岩一模）已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧 棱 1 AA， 1 BB， 1 CC分别交于M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则MNQ面积的最小 值为( ) A7 B3 C2 7 D6 14（2020咸阳二模） 正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上， 它的底面边长为6， 高为 3，则它的外接球的表面积为( ) A4 B8 C16 D20 15 （2020重庆模拟）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中，ABCD为平行四边形，E，F分 别在线段DB， 1 DD上， 且 1 1 2 DEDF EBFD ，G在 1 CC上且平面/ /AEF平面
7、1 BDG， 则 1 ( CG CC ) 第 4 页（共 28 页） A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 1 4 16（2020邯郸模拟） 如图一， 在ABC中，ABAC，120A，D为BC中点，DEAC， 将CDE沿DE翻折，得到直二面角CDEB，连接BC，F是BC中点，连接AF，如 图二，则下列结论正确的是( ) AADCD B/ /AFDE CDE 平面ACE D/ /AF平面CDE 17 （2020福清市一模） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 1 AC 平面平面截 此正方体所得的截面有以下四个结论： 截面形状可能是正三角形 截面的形状可能是正方形 截面形状可
8、能是正五边形 截面面积最大值为3 3 则正确结论的编号是( ) A B C D 18 （2020道里区校级一模）已知三棱锥SABC的外接球为球O，SA为球O的直径，且 2SA，若面SAC 面SAB，则三棱锥SABC的体积最大值为( ) A 1 3 B 2 3 C1 D2 19 （2020焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为 1，K是 线段DI上的点，则在原三棱柱中，AKCK的最小值为( ) 第 5 页（共 28 页） A65 B73 C4 5 D89 20 （2020吉林二模）等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，90C，6BD ， 现将ABD沿BD折起，则当直线
9、AD与平面BCD所成角为45时，直线AC与平面ABD所 成角的正弦值为( ) A 3 3 B 2 2 C 3 2 D 2 3 3 21 （2020眉山模拟） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 224ABBCAA，E为 11 AD 的中点，N为BC的中点，M为线段 11 C D上一点， 且满足 111 1 4 MCDC，F为MC的中点 （1）求证：/ /EF平面 1 ADC； （2）求三棱锥 1 CFCN的体积； （3）求直线 1 A D与直线CF所成角的余弦值 第 6 页（共 28 页） 22 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1: 224ABBCAA，
10、E为 11 AD的中点，N为BC 的中点，M为线段 11 C D上一点，且满足 111 1 4 MCDC，F为MC的中点 （1）求证：/ /EF平面 1 ADC； （2）求二面角 1 NACF的余弦值 23 （2020宜昌模拟）如图，在四棱锥MABCD中，ABAD，2ABAMAD， 2 2MBMD （1）证明：AM 平面ABCD； （2） 若/ /CDAB，2CDAB，E为线段BM上一点， 且2BEEM， 求直线EC与平面BDM 所成角的正弦值 24 （2020五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面 APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG 平
11、面APC，2AB （1）求证：平面PAD 平面PBC； 第 7 页（共 28 页） （2）当三棱锥PABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值 25（2020龙岩一模） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是等腰梯形，/ /ABCD， 4AB ，2BCCD，顶点 1 D在底面ABCD内的射影恰为点C （1）求证：BC 平面 1 ACD； （2）若直线 1 DD与底面ABCD所成的角为 4 ，求平面 11 ABC D与平面ABCD所成锐二面角 的余弦值 第 8 页（共 28 页） 2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 13 立体几何 1 （
12、2020广州一模）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方 形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为( ) A(72 2) B(102 2) C(104 2) D(114 2) 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为： 1 442 223(104 2) 2 故选：C 2 （2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰 三角形 研究发现， 该金字塔底面周长除以 2 倍的塔高， 恰好为祖冲之发现的密率 355 113 若 胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的侧棱长为( ) A 2
13、21h B 2 24 8 h C 2 16 4 h D 2 216 4 h 【解答】解：设该金字塔的底面边长为a，则 4 2 a h ，可得： 2 h a 该金字塔的侧棱长 222 222 22162 () 2444 ah hhh 第 9 页（共 28 页） 故选：D 3 （2020桥东区校级模拟） 已知P为一圆锥的顶点，AB为底面圆的直径，PAPB， 点M 在底面圆周上，若M为AB的中点，则异面直线AM与PB所成角的大小为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系不妨设1OB PAPB，OPOBOA，OP 底面AMB 则(0O，0，0)，(0B，1，0)，(
14、1M，0，0)，(0P，0，1)，(0A，1，0)， (1AM ，1，0)，(0PB ，1，1)， cosAM， 11 222 PB ， AM， 3 PB ， 异面直线AM与PB所成角的大小为 3 故选：C 4 （2020梅河口市校级模拟）如图，某几何体的三视图是由三个边长为 2 的正方形和其内 部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( ) 第 10 页（共 28 页） A 2 3 B16 3 C6 D与点O的位置有关 【解答】解：如图： 还原后的几何体，是由棱长为 2 的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为 8，四棱 锥的底面是边长为 2 的正方形，顶点O在平面 11 ADD A上，高
15、为 2，所以四棱锥的体积为 18 42 33 ，所以该几何体的体积为 816 8 33 ， 故选：B 5 （2020东宝区校级模拟）如图，已知四面体ABCD为正四面体，2 2AB ，E，F分 别是AD，BC中点若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去 截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( ) A1 B2 C2 D2 2 【解答】解：把正四面体补为正方体，如图， 根据题意，/ /KLBC，/ /LMGH， 第 11 页（共 28 页） , KLAL LMBL BCABADAB ， 所以KLAL，LMBL， 故2 2KLLMALBL， 2 ()2 2
16、KLLM SKL LM 截面 ，当且仅当KLLM时成立， 故选：C 6 （2020宜昌模拟）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点M为棱 1 DD的中点，则 平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为( ) A 3 B 2 3 C D 4 3 【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r， 由 O ACMMAOC VV ，即 111 11 22 2 122 333 23 AMCAOC SdS ， 2 ACM d S ， 1 2 236 2 ACM S， 故 2 6 d ，又 22 1dr， 2 1 3 r， 所以截面的面积为 2 3 r ， 故选：A 7 （2020龙岩一模
17、）已知四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，SASB， SASB，底面ABCD是等腰梯形，/ /ABCD，且满足222ABADDC，则球O的表 面积是( ) 第 12 页（共 28 页） A 4 3 B 8 2 3 C4 D8 【解答】解：底面ABCD是等腰梯形，/ /ABCD，且满足222ABADDC， 可知底面ABCD的外心为AB的中点O，到顶点的距离为 1， 因为SASB，SASB，2AB ， 所以2SASB，AB的中点O到S的距离为 1， 所以O是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为 1， 所以球O的表面积是： 2 414 故选：C 8 （2020眉山模拟） 已知腰长为 3， 底
18、边长 2 为的等腰三角形ABC，D为底边BC的中点， 以AD为折痕，将三角形ABD翻折，使BDCD，则经过A，B，C，D的球的表面积为 ( ) A10 B12 C16 D20 【解答】解：如图所示， 由题意可得：DB，DC，DA两两相互垂直 222 318AD 设经过A，B，C，D的球的半径为R 则 222 411810R 球的表面积10 故选：A 9（2020五华区校级模拟） 已知圆锥SO的底面半径为 3， 母线长为 5 若球 1 O在圆锥SO内， 则球 1 O的体积的最大值为( ) A 9 2 B9 C 32 3 D12 第 13 页（共 28 页） 【解答】解：设圆锥SO的轴截面为等腰S
19、AB，则球 1 O的体积最大时，球 1 O的轴截面是 SAB 的内切圆，所以 11 () 22 SAB SAB SOSASBAB r ， 解得： 3 2 r ，所以球 1 O的体积的最大值为 3 439 ( ) 322 ， 故选：A 10 （2020垫江县校级模拟）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30的平面， 则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A 15 256 B 45 256 C 15 64 D 45 64 【解答】解：画大圆O，设半径为R，取半径OB的中点A，过A做截面，CD为直径，取 中点E，连接OE，OE 截面CD，由题意可得30OAE， 所以 33 13 2224
20、AEOARR， 在三角形OAC中， 222 2cosOCOAACOAACOAC，即 222 ()2cos150 22 RR RACAC， 整理可得： 22 42 330ACR ACR， 解得： 2 31248315 84 RR ACR ， 所以 331515 444 CEACAERRR ， 所以所得截面的面积与球的表面积的比为 2 2 15 () 15 4 464 R R ， 故选：C 11（2020内蒙古模拟） 如图： 空间四边形PABC中， 1 3 PMAN PBAC ，4PABC，3MN ， 异面直线PA与BC所成角的余弦值为( ) 第 14 页（共 28 页） A 1 4 B 1 64
21、 C 1 64 D 1 4 【解答】解：如图，过N作/ /NDBC，交AB于D，并连接MD，则 ANAD ACAB ， 1 3 PMAN PBAC ， 1 3 PMAD PBAB ， / /MDAP， 2 3 MD PA ， 1 3 DN BC ， 84 , 33 MDDN，且3MN ， MDN为异面直线PA与BC所成角或其补角， 在MDN中，根据余弦定理得， 6416 9 1 99 cos 84 64 2 33 MDN ， 异面直线PA与BC所成角的余弦值为 1 64 故选：C 12 （2020凯里市校级模拟） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如 第 15 页（共 28 页）
22、 下问题： “今有阳马， 广五尺， 袤七尺， 高八尺， 问积几何？ “其意思为： “今有底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是 多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为( ) A140 立方尺 B280 立方尺 C 280 3 立方尺 D140 3 立方尺 【解答】解：由题意可得：这个四棱锥的体积 1280 75 8 33 立方尺， 故选：C 13 （2020龙岩一模）已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧 棱 1 AA， 1 BB， 1 CC分别交于M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则
23、MNQ面积的最小 值为( ) A7 B3 C2 7 D6 【解答】解：如图，以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴， 建立空间直角坐标系，设(0M，1，)a，( 3N，0，)b，(0Q，1，)c， 不妨设N为直角，( 3,1,)MNba，( 3, 1,)QNbc， ()()20MN QNba bc， 22 11 | |4()4() 22 SMNQNbabc 222 1 164()() ()() 2 babcba bc 1 161643 2 故选：B 14（2020咸阳二模） 正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上， 它的底面边长为6， 第 16 页（共 28 页）
24、高为 3，则它的外接球的表面积为( ) A4 B8 C16 D20 【解答】 解： 正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上， 它的底面边长为6， 高为 3， 设它的外接球的半径为R，球心为O，底面ABCD的中心为M 设OMx 则 222 ( 3)Rx，3Rx 解得： 2 4R 可得球的表面积为16 故选：C 15 （2020重庆模拟）如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中，ABCD为平行四边形，E，F分 别在线段DB， 1 DD上， 且 1 1 2 DEDF EBFD ，G在 1 CC上且平面/ /AEF平面 1 BDG， 则 1 ( CG CC ) A 1 2 B 1 3 C 2
25、3 D 1 4 【解答】解：四棱柱 1111 ABCDABC D中，ABCD为平行四边形， E，F分别在线段DB， 1 DD上，且 1 1 2 DEDF EBFD ， 1 / /EFBD，平面 11/ / ADD A平面 11 BCC B， 第 17 页（共 28 页） G在 1 CC上且平面/ /AEF平面 1 BDG，/ /AFBG， 11 1 3 CGDE CCDD 故选：B 16（2020邯郸模拟） 如图一， 在ABC中，ABAC，120A，D为BC中点，DEAC， 将CDE沿DE翻折，得到直二面角CDEB，连接BC，F是BC中点，连接AF，如 图二，则下列结论正确的是( ) AADC
26、D B/ /AFDE CDE 平面ACE D/ /AF平面CDE 【解答】解：在ABC中，ABAC，120A，D为BC中点，DEAC， 将CDE沿DE翻折，得到直二面角CDEB，连接BC，F是BC中点，连接AF， DEAE，DECE， AECEE，DE平面ACE 故选：C 17 （2020福清市一模） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 1 AC 平面平面截 此正方体所得的截面有以下四个结论： 截面形状可能是正三角形 截面的形状可能是正方形 截面形状可能是正五边形 截面面积最大值为3 3 则正确结论的编号是( ) A B C D 【解答】解：对当截此正方体所得截面为 11
27、B CD时满足，故正确 第 18 页（共 28 页） 对，由对称性得截面形状不可能为正方形，故错误 对，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故错误 对，当截面为正六边形时面积最大，为 2 3 623 3 4 ，故正确 故选：A 18 （2020道里区校级一模）已知三棱锥SABC的外接球为球O，SA为球O的直径，且 2SA，若面SAC 面SAB，则三棱锥SABC的体积最大值为( ) A 1 3 B 2 3 C1 D2 【解答】解：如图， 连接OC，OB，则 SABCS OBCA OBC VVV ， 两三棱锥高的和的最大值为2SA 要使三棱锥SABC的体积最大，则OBC面积最大为 111 sin1
28、 1 1 222 OBOCBOC 三棱锥SABC的体积最大值为 111 2 323 故选：A 第 19 页（共 28 页） 19 （2020焦作一模）某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为 1，K是 线段DI上的点，则在原三棱柱中，AKCK的最小值为( ) A65 B73 C4 5 D89 【解答】解：将展开图折成立体图形，如图， 然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如图所示 因为8AJ ，3CJ ，所以 22 3873AC ，即AKCK的最小值为73 故选：B 20 （2020吉林二模）等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，90C，6BD ， 现将ABD
29、沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为45时，直线AC与平面ABD所 成角的正弦值为( ) A 3 3 B 2 2 C 3 2 D 2 3 3 【解答】解：设E为BD中点，连接AE、CE， 由题可知AEBD，CEBD， 第 20 页（共 28 页） 所以BD 平面AEC， 过A作AOCE于点O，连接DO，则AO 平面BDC， 所以ADO即为直线AD与平面BCD所成角的平面角， 所以 2 sin 2 AO ADO AD ，可得3 2AO ， 在AOE中可得3OE ， 又 1 3 2 OCBD，即点O与点C重合，此时有AC 平面BCD， 过C作CFAE于点F， 又BD 平面AEC，所以BDC
30、F， 所以CF 平面ABD， 从而CAE即为直线AC与平面ABD所成角， 33 sin 33 3 CE CAE AE 故选：A 21 （2020眉山模拟） 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 224ABBCAA，E为 11 AD 的中点，N为BC的中点，M为线段 11 C D上一点， 且满足 111 1 4 MCDC，F为MC的中点 （1）求证：/ /EF平面 1 ADC； （2）求三棱锥 1 CFCN的体积； （3）求直线 1 A D与直线CF所成角的余弦值 第 21 页（共 28 页） 【解答】 （1）证明：在长方体 1111 ABCDABC D中，建立如图所示空间直角
31、坐标系， 由 1 224ABBCAA，E为 11 AD的中点，N为BC的中点，M为线段 11 C D上一点，且满 足 111 1 4 MCDC， 得(0D，0，0)，(1E，0，2)，(0F， 7 2 ，1)， 1(2 A，0，2)，(0C，4，0)， 1 (2,0,2)DA ，(0DC ，4，0)，( 1EF ， 7 2 ，1) 设平面 1 ADC的一个法向量为( , , )nx y z 由 1 220 40 n DAxz n DCy ，取1z ，得(1,0, 1)n ， 0EF n ，且EF 平面 1 ADC， / /EF平面 1 ADC； （2）解：设F到平面 1 CC N的距离为d，则
32、 1 2 d 111 11111 1 2 33226 CFCNF CC NCC N VVSd ； （3）解：由（1）知， 1 (2,0,2)DA ， 又 1 (0,1) 2 CF ， 1 1 1 210 cos, 5| |5 2 2 2 DA CF DA CF DACF 直线 1 A D与直线CF所成角的余弦值 10 5 第 22 页（共 28 页） 22 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1: 224ABBCAA，E为 11 AD的中点，N为BC 的中点，M为线段 11 C D上一点，且满足 111 1 4 MCDC，F为MC的中点 （1）求证：/ /EF平面 1 ADC；
33、 （2）求二面角 1 NACF的余弦值 【解答】解： （1）证明：作 1 DD的中点H，连接EH，FH， 又E为 11 AD的中点， EH为 11 A DD的中位线， 1 / /EHAD， 又F为MC的中点， FH为梯形 1 D DCM的中位线， / /FHCD， 在平面 1 ADC中， 1 ADCDD，在平面EHF中，EHFHH， 平面 1 / /ADC平面EHF， 又EF在平面EHF内， 第 23 页（共 28 页） / /EF平面 1 ADC （2）以点D为坐标原点，DA，DC， 1 DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 1 7 (1,4,0),(2,0
34、,2),(0,4,0),(0,1) 2 NACF， 设平面 1 ACN的一个法向量为( , , )mx y z， 则 1 1 (, ,)(1 , 4 , 2 )420 (, ,)(2 , 4 , 2 )2420 mA Nxyzxyz mA Cxyzxyz ， 可取(0,1,2)m ， 同理可求得平面 1 A FC的一个法向量为(3,2,1)n ， 2 70 cos, |35 m n m n m n ， 又二面角 1 NACF的平面角为钝角，故二面角 1 NACF的余弦值为 2 70 35 23 （2020宜昌模拟）如图，在四棱锥MABCD中，ABAD，2ABAMAD， 2 2MBMD （1）证
35、明：AM 平面ABCD； （2） 若/ /CDAB，2CDAB，E为线段BM上一点， 且2BEEM， 求直线EC与平面BDM 所成角的正弦值 第 24 页（共 28 页） 【解答】 （1）证明：在四棱锥MABCD中，ABAD，2ABAMAD， 2 2MBMD 222 ABAMBM， 222 ADAMDM， ABAM，ADAM， ADABA，AM平面ABCD （2）解：ABAD，AM 平面ABCD， 以A为原点，AD为x轴，AM为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系， / /CDAB，2CDAB，E为线段BM上一点，且2BEEM，2ABAMAD， 2 2MBMD (0E， 4 3 ， 2) 3
36、，(2C，0，1)，(2D，0，0)，(0B，0，2)，(0M，2，0)， (2EC ， 4 3 ， 1) 3 ，(2BD ，0，2)，(0BM ，2，2)， 设平面BDM的法向量(mx，y，) z， 则 220 220 m BDxz m BMyz ，取1x ，得(1m ，1，1)， 设直线EC与平面BDM所成角为， 则直线EC与平面BDM所成角的正弦值为： |1159 sin 53| |53 3 9 m EC mEC 第 25 页（共 28 页） 24 （2020五华区校级模拟）如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面 APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG
37、 平面APC，2AB （1）求证：平面PAD 平面PBC； （2）当三棱锥PABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值 【解答】 （1）证明：因为平面ABCD 平面APBQ，平面APBQ平面ABCDAB， 四边形ABCD为为正方形，即BCAB，BC 平面ABCD， 所以BC 平面APBQ， 又因为AP平面APBQ，所以APBC， 因为BG 面APC，AP平面PAC， 所以APBG， 因为BCBGB，BC，BG 平面PBC， 所以AP 平面PBC， 第 26 页（共 28 页） 因为AP平面PAD， 所以平面PAD 平面PBC （2）解： 1 11 3 23 P ABCCAPB
38、 VVPA PB BCPA PB ， 求三棱锥PABC体积的最大值，只需求PA PB的最大值 令PAm，PBn， 由（1）知APPB， 所以 22 4mn，当且仅当2mn， 即2PAPB 时， 22 112 () 3323 P ABCmin mn Vmn 以AB中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则 (0A，1，0)，(0B，1，0)，(0C，1，2)，(1P，0，0) 设 1 ( , , )nx y z为平面APC的一个法向量， 则 1 1 0 220 n APxy n BPxz ， 可取1x ，则 1 (1, 1,1)n ， 因为四边形APBQ为平行四边形，APB为等腰直角三角形， 所
39、以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为 2 (1, 1,0)nBP， 所以 1 cosn， 12 2 12 6 3| | n n n nn ，所以 1 sinn， 2 3 3 n ， 即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为 3 3 第 27 页（共 28 页） 25（2020龙岩一模） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是等腰梯形，/ /ABCD， 4AB ，2BCCD，顶点 1 D在底面ABCD内的射影恰为点C （1）求证：BC 平面 1 ACD； （2）若直线 1 DD与底面ABCD所成的角为 4 ，求平面 11 ABC D与平面ABCD所
40、成锐二面角 的余弦值 【解答】解： （1）证明：如图，连接 1 D C，则 1 DC 平面ABCD， BC 平面ABCD， 1 BCDC， 在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CGAB于点G， 4AB ，2BCCD，/ /ABCD， 则3AG ，1BG ， 22 213CG ， 2222 932 3AGAGCGAGCG， 因此满足 222 16ACBCAB，BCAC， 又 1 DC，AC 平面 1 ADC， 1 DCACC， BC平面 1 ADC （2）解：由（1）知AC，BC， 1 D C两两垂直， 1 DC 平面ABCD， 1 4 D DC ， 1 2DCCD， 第 28 页（共 28
41、 页） 以C为坐标原点，分别以CA，CB， 1 CD，所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0C，0，0)，(2 3A，0，0)，(0B，2，0)， 1(0 D，0，2)， ( 2 3AB ，2，0)， 1 ( 2 3AD ，0，2)， 设平面 11 ABC D的法向量(nx，y，) z， 由 1 2 320 2 320 AB nxy AD nxz ，取1x ，得(1, 3, 3)n ， 又 1 (0CD ，0，2)为平面ABCD的一个法向量， 设平面 11 ABC D与平面ABCD所成锐二面角为， 则 1 1 |2 321 cos 7| |2 7 CD n CDn 平面 11 ABC D与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 21 7
