2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（1）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，集合 Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x1 Dx|0x1 2 （5 分）若复数 z 的虚部小于 0，| = 5，且 + = 4，则 iz（ ） A1+3i B2+i C1+2i D12i 3 （5 分）如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 6 分米，其内有一边长为 1 分米 的正六边形的小孔，现

2、向该圆形图案内随机地投入一飞镖（飞镖的大小忽略不计） ，则该 飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（ ） A 3 24 B 3 24 C1 6 D 3 6 4（5 分） 在ABC 中， H 为BC 上异于B， C的任一点， M 为 AH 的中点， 若 = + ， 则 + 等于（ ） A1 2 B2 3 C1 6 D1 3 5 （5 分）下列函数既是奇函数，又在（0，+）上是减函数的是（ ） A = 2 3 B = 1 3 Cyx2 Dyx3 6 （5 分）某几何体的三视图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） 第 2 页（共 20 页） A1 B2 C3 D6 7

3、（5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ，若存在过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点， 与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A， 且|AF|c，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，3 B （1，2） C2，2） D （2，+） 8 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） A2 B45 5 C4 D16 5 9 （5 分）已知ABC 中， + + 3 = 3且， = 3 4 ，则ABC 是（ ） A正三角形 B直角三角形 C正三角

4、形或直角三角形 D直角三角形或等腰三角形 10 （5 分）函数() = 2 + 3 + 1 2，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最大值为 1 B在( 6 ， 3上单调递增 Cyf（x）的图象关于直线 = 7 12对称 Dyf（x）的图象关于点(7 12 ，0)对称 11 （5 分）已知曲线 yx2+mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为（0，1） 圆 Q 过 A，B，C 三点，当实数 m 变化时，存在一条定直线 l 被 Q 截得的弦长为定值，则此直线 方程为（ ） 第 3 页（共 20 页） Ax0 By0 Cyx1 Dyx+1 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，A

5、BC 是 Rt且 ABBC，CAB30，BC2，点 P 在平面 ABC 的射影 D 点在ABC 的外接圆上，四边形 ABCD 的对角线 = 23，AD CD，若四棱锥 PABCD 的外接球半径为5，则四棱锥 PABCD 的体积为（ ） A43 3 B83 3 C43 D163 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （x+ 1 ） （2x 1 ） 5 的展开式中，常数项为 14 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ，

6、（2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 15 （5 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ax2+bx+1（a，bR） ，当 a0 时，若 f（x）g （x）对任意的 xR 恒成立，则 b 的取值范围是 16（5 分） 在ABC 中， A= 3， 点 D 满足 = 2 3 ， 且对任意 xR， |x + | | 恒成立，则 cosABC 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an满足：a1+a2+a3+ =

7、1 2 (3 1) （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足= 3，求bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，AB BCPA1，AD2，PADDABABC90，点 E 在棱 PC 上，且 CECP（0 1） （1）求证：CDAE （2）是否存在实数 ，使得二面角 CAED 的余弦值为 10 5 ？若存在，求出实数 的 值；若不存在，请说明理由 19 （12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基 第 4 页（共 20 页） 本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人

8、某月（30 天）的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超 出 350 件的部分每件 0.9 元 （1）根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这

9、 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 20 （12 分）已知抛物线 C1：x2py 过点（2，1） ，椭圆 C2的两个焦点分别为 F1，F2，其 中F2与抛物线C1的焦点重合， 过F1与长轴垂直的直线交椭圆C2于A， B两点且|AB|3 （1）求 C1与 C2的方程； （2）若曲线 C3是以原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线 1 与圆 C3相切，且与椭圆 C2交于 M，N 两点，OMN 的面积为 S，求 S 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2+lnx（a

10、R） （1）当 a3 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)， 其参数方程 = = 3 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出这个 定值 五解答题（共五解答题（共 1 小

11、题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|x+2| （1）若不等式 f（x）|m1|有解，求实数 m 的最小值 M； 第 5 页（共 20 页） （2）在（1）的条件下，若正数 a，b 满足 3a+bM，证明：3 + 1 3 第 6 页（共 20 页） 2020 高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x+1）0，集合 Bx|1x1，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x0 Cx|1x

12、1 Dx|0x1 【解答】解：集合 Ax|x（x+1）0x|1x0， 集合 Bx|1x1， ABx|1x1 故选：C 2 （5 分）若复数 z 的虚部小于 0，| = 5，且 + = 4，则 iz（ ） A1+3i B2+i C1+2i D12i 【解答】解：设 za+bi（a，bR，b0） ， 由已知可得 2 + 2= 5 2 = 4 ，解得 = 2 = 1(0)， izi（2i）1+2i 故选：C 3 （5 分）如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 6 分米，其内有一边长为 1 分米 的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖（飞镖的大小忽略不计） ，则该 飞镖落在圆形图案的

13、正六边形小孔内的概率为（ ） A 3 24 B 3 24 C1 6 D 3 6 【解答】解：因为 S正六边形6 1 2 11sin60= 33 2 ，S圆（6）236， 所以该飞镖该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为 P 33 2 36 = 3 24， 第 7 页（共 20 页） 故选：B 4（5 分） 在ABC 中， H 为BC 上异于B， C的任一点， M 为 AH 的中点， 若 = + ， 则 + 等于（ ） A1 2 B2 3 C1 6 D1 3 【解答】解：M 为 AH 的中点，且 = + ， = 1 2 = + = 2 + 2 ，且 B，H，C 三点共线， 2+21， + = 1

14、2 故选：A 5 （5 分）下列函数既是奇函数，又在（0，+）上是减函数的是（ ） A = 2 3 B = 1 3 Cyx2 Dyx3 【解答】解：Ay= 2 3 ，则函数为偶函数，不满足条件 By= 3 为减函数，当 x0 时，函数为增函数，不满足条件 C函数为偶函数，不满足条件， D函数既是奇函数，又在（0，+）上是减函数，满足条件， 故选：D 6 （5 分）某几何体的三视图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） A1 B2 C3 D6 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：根据几何体的三视图，该几何体为两个四棱柱的组合体， 所以 = 2 1 2 (1 + 2)

15、2 = 6， 故选：D 7 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F（c，0） ，若存在过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点， 与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A， 且|AF|c，则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A （1，3 B （1，2） C2，2） D （2，+） 【解答】 解： 设AOF， 根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点 A， 且|AF|c， AFO2，BOM， 若存在过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点，需保证BOMAFO BOMAFO，则 2， 3 根据双曲线的渐近线为 y x，则 tan =

16、 ， 3 根据双曲线 C 的离心率 e= =1 + ( ) 21 + 3 = 2， 根据双曲线 C 的离心率 e1， 1e2 故选：B 8 （5 分） 设变量 x， y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 则 z （x3） 2+y2 的最小值为 （ ） 第 9 页（共 20 页） A2 B45 5 C4 D16 5 【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件 + 1， 2 2， + 1 0， 的可行域， 可发现 z（x3）2+y2的最小值是（3，0）到 2xy20 距离的平方 取得最小值：( 62 4+1) 2 = 16 5 故选：D 9 （5 分）已知ABC 中， + + 3 =

17、 3且， = 3 4 ，则ABC 是（ ） A正三角形 B直角三角形 C正三角形或直角三角形 D直角三角形或等腰三角形 【解答】解：由 + + 3 = 3，得： : 1; = 3， 即 tan（A+B）= 3， A+B120，C60， 又 sinBcosB= 3 4 ， sin2B= 3 2 ， 则 2B60或 2B120，即 B30或 B60， 若 B30，则 A90，tanA 不存在，不合题意； 若 B60，则 AC60，ABC 为正三角形 第 10 页（共 20 页） 故选：A 10 （5 分）函数() = 2 + 3 + 1 2，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最大值为 1 B在

18、( 6 ， 3上单调递增 Cyf（x）的图象关于直线 = 7 12对称 Dyf（x）的图象关于点(7 12 ，0)对称 【解答】解：f（x）= 1 2(1 2) + 3 2 2 + 1 2 =sin（2x 6）+1， 最大值为 2，A 错， x( 6 ， 3时，2x 6（ 2， 2） ，显然单调递增，故 B 成立， = 7 12时，2x 6 =，sin0，C 不成立， 图象的对称中心为（7 12，1）故 D 不成立， 故选：B 11 （5 分）已知曲线 yx2+mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为（0，1） 圆 Q 过 A，B，C 三点，当实数 m 变化时，存在一条定直线 l

19、 被 Q 截得的弦长为定值，则此直线 方程为（ ） Ax0 By0 Cyx1 Dyx+1 【解答】解：由题意知，圆与 y 轴由两个交点，设为 C，D，yx2+mx2 与 x 轴交于 A， B，设两点 A（x，y） ，B（x，y） 则由 x2+mx20 得，x+xm，xx2， 由题意得：圆 Q 过 A，B，C 的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0， 令 y0，则 x2+Dx+F0 与 x2+mx20 等价， 所以 Dm，F2， 所以圆的方程：x2+y2+mx+Ey20， 由（0，1）在圆上，所以 E1， 所以圆的方程为：x2+y2+mx+y20， 令 x0，可得：y2+y20， 解得：y1，或

20、2， 第 11 页（共 20 页） 即圆与 y 轴的交点（0，1） ， （0，2） ， 所以过 A，B，C 的圆在 y 轴的弦长为定值 3， 故选：A 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABC 是 Rt且 ABBC，CAB30，BC2，点 P 在平面 ABC 的射影 D 点在ABC 的外接圆上，四边形 ABCD 的对角线 = 23，AD CD，若四棱锥 PABCD 的外接球半径为5，则四棱锥 PABCD 的体积为（ ） A43 3 B83 3 C43 D163 3 【解答】解在三棱锥 PABC 中，ABC 是 Rt且 ABBC，CAB30，BC2， PC2BC4，BP= 16 4 =23

21、， 取 BC 中点 E，则 PEBEDE2， 点 P 在平面 ABC 的射影 D 点在ABC 的外接圆上， 四边形 ABCD 的对角线 = 23，ADCD， cosBEDcosBEB= 4+412 222 = 1 2， BEDBEPPED120，PDPBBD23， BCCD2， 设球心为 O，则 OE平面 BPDC， OD2，四棱锥 PABCD 的外接球半径为5， OE= 5 4 =1，四棱锥 PABCD 的高 PD2OE2， 四棱锥 PABCD 的体积为： V= 1 3 四边形 = 1 3 (1 2 ) = 1 3 1 2 4 23 2 = 83 3 故选：B 第 12 页（共 20 页）

22、二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） （x+ 1 ） （2x 1 ） 5 的展开式中，常数项为 40 【解答】解： （x+ 1 ） （2x 1 ） 5（x+1 ） （ 32x 580x3+80x401 +10 1 3 1 5） ， 常数项为40+8040， 故答案为：40 14 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ，

23、 （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 （17，15） 【解答】解：由题意可得第一组的各个数和为 3，第二组各个数和为 4， 第三组各个数和为 5，第四组各个数和为 6， ，第 n 组各个数和为 n+2，且各个数对无重复数字， 可得第 30 组各个数和为 32， 则第 30 组第 16 个数对为（17，15） 故答案为： （17，15） 15 （5 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ax2+bx+1（a，bR） ，当 a0 时，若 f（x）g （x）对任意的 xR 恒成立，则 b 的取值范围是 1 【解答】解：由 a0，则 （x）f（x）g（x）exbx1，所以 （x）exb， （i）

24、当 b0 时，（x）0，函数 （x）在 R 上单调递增， 又 （0）0，所以当 x（，0）时，（x）0，与函数 f（x）g（x）矛盾， （ii）当 b0 时，由 （x）0，得 xlnb；由 （x）0，得 xlnb， 所以函数 （x）在（，lnb）上单调递减，在（lnb，+）上单调递增， 第 13 页（共 20 页） 当 0b1 时，lnb0，又 （0）0，（lnb）0，与函数 f（x）g（x）矛盾； 当 b1 时，同理 （lnb）0，与函数 f（x）g（x）矛盾； 当 b1 时，lnb0，所以函数 （x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单 调递增，（x）（0）0，故 b1 满足题意 综上所

25、述，b 的取值的范围为1 故答案为：1 16（5 分） 在ABC 中， A= 3， 点 D 满足 = 2 3 ， 且对任意 xR， |x + | | 恒成立，则 cosABC 513 26 【解答】解：根据题意，在ABC 中，点 D 满足 = 2 3 ，设 AD2t，则 AC3t， 又由 = ，若对任意 xR，|x + | |恒成立，必有 BDAC，即 ADB= 2； 又由A= 3，则 AB2AD4t，BD= 3AD23t， 则 BC= 2+ 2= 13t， ABC 中，AB4t，AC3t，BC= 13t， 则 cosABC= 2+22 2 = 513 26 ； 故答案为：513 26 三解答

26、题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an满足：a1+a2+a3+ = 1 2 (3 1) （1）求an的通项公式； （2）若数列bn满足= 3，求bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）Sna1+a2+a3+an，a1+a2+a3+ = 1 2 (3 1)， n1 时，a11， 第 14 页（共 20 页） n2 时，= ;1= 3;1，对 n1 也成立， = 3;1，nN*； （2）由= 3，= ( 1)(1 3) ;1， Tnb1+b2+bn= 1 3 + 2 (1 3) 2 + ( 1)(1 3) ;1 1

27、 3 = (1 3) 2 + 2 (1 3) 3 + ( 2)(1 3) 1 + ( 1)(1 3) 得2 3 = 1 3 + (1 3) 2 + (1 3) 1 ( 1)(1 3) ， 2 3 = 1 31;( 1 3) 1 1;(1 3) ( 1)(1 3) ， = 3 4 (2+1 4 )(1 3) ;1 18 （12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ADBC，AB BCPA1，AD2，PADDABABC90，点 E 在棱 PC 上，且 CECP（0 1） （1）求证：CDAE （2）是否存在实数 ，使得二面角 CAED 的余弦值为 10 5 ？若存在

28、，求出实数 的 值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）证明：过点 C 作 CFAB 交 AD 于点 F， ABBC1，AD2，DABABC90， 四边形 ABCF 为正方形，且 AFFD1，AC= 2 在 RtCFD 中，CD= 2，在ACD 中，CD2+AC24AD2，CDAC PAD90，PAAD， 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PA平面 PAD， PA平面 ABCD，PACD PA，AC平面 PAC，且 PAACA， CD平面 PAC，又 AE平面 PAC，CDAE 第 15 页（共 20 页） （2）由题知，PA，AB，AD 两两垂直， 以点 A

29、 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如 图所示， 则 A （0， 0， 0） ， P （0， 0， 1） ， C （1， 1， 0） ， D （0， 2， 0） ， = （1， 1， 0） ， = （0， 2， 0） 假设存在实数 （01） ，使得二面角 CAED 的余弦值为 10 5 ， 设 E（x，y，z） ， = ，（x1，y1，z）（1，1，1） ， E（1，1，） ，则 =（1，1，） CD平面 PAC，平面 AEC 的一个法向量为 n= =（1，1，0） 设平面 AED 的法向量为 m（a，b，c） ， 则 = 0 = 0 即 (1 )

30、 + (1 ) + = 0 = 0 令 c 1 ， 则 a = 1 ， b 0 ， m= ( 1，0，1) = 1 1（，0，1） ， 1 1; 0，可取 m（，0，1） ， |cosm，n|= | | = 2+(1)22 = 10 5 ，化简得 328+40， （0，1） ，= 2 3， 存在实数 = 2 3，使得二面角 CAED 的余弦值为 10 5 19 （12 分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基 本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数 记录结果中随机抽取 10 天的数据，整理如下： 甲公司员工 A：410，

31、390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工 B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 0.65 元，乙公司规定每天 350 件以内（含 350 件）的部分每件 0.6 元超 第 16 页（共 20 页） 出 350 件的部分每件 0.9 元 （1）根据题中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 （单位：元） ，求

32、 的分布列和数学期望； （3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 【解答】解： （1）由题意知： 甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为： 1 10 (410 + 390 + 330 + 360 + 320 + 400 + 330 + 340 + 370 + 350) = 360， 众数为 330 （2） 设乙公司员工 B1 天的投递件数为 X， 则 X 的可能取值为 340， 360， 370， 420， 440， 当 X340 时， = 340 0.6 = 204，( = 204) = 1 10， 当 X360 时， = 350 0.6 + (360 350

33、) 0.9 = 219，( = 219) = 3 10， 当 X370 时， = 350 0.6 + (370 350) 0.9 = 228，( = 228) = 1 5， 当 X420 时， = 350 0.6 + (420 350) 0.9 = 273，( = 273) = 3 10， 当 X440 时， = 350 0.6 + (440 350) 0.9 = 291，( = 291) = 1 10， 的分布列为 204 219 228 273 291 P 1 10 3 10 1 5 3 10 1 10 () = 204 1 10 + 219 3 10 + 228 1 5 + 273 3

34、10 + 291 1 10 = 242.7 （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为 360300.657020（元） 由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为： 242.70.6304368.6（元） 20 （12 分）已知抛物线 C1：x2py 过点（2，1） ，椭圆 C2的两个焦点分别为 F1，F2，其 中F2与抛物线C1的焦点重合， 过F1与长轴垂直的直线交椭圆C2于A， B两点且|AB|3 （1）求 C1与 C2的方程； （2）若曲线 C3是以原点为圆心，以|OF1|为半径的圆，动直线 1 与圆 C3相切，且与椭圆 第 17 页（共 20 页） C2交于 M，N

35、 两点，OMN 的面积为 S，求 S 的取值范围 【解答】解： （1）由已知设抛物线 C1的方程为 x2py，p0， 则 p4， 则 C1的方程为 x24y， 则 F2（0，1） ，不妨设椭圆 C2的方程为 2 2 + 2 2 =1，ab0， 由 2 2 + 2 2=1 = 1 ，可得 x 2 ， |AB|= 22 =3，由 a2b2+1， 解得 a2，b= 3， 故椭圆 C2的方程为 2 4 + 2 3 =1， 易知|OF1|1， C3的标准方程为 x2+y21 （2）直线 l 与 C3相切，可得圆心到直线 l 的距离为 1， S= 1 2 |MN|1= | 2 ， 当直线 l 的斜率不存在

36、时，其方程为 x1，易知两种情况所得的三角形的面积相等， 由 2 4 + 2 3 = 1 = 1 ，可得 y26 3 ， 不妨设 M（1，26 3 ） ，N（1， 26 3 ） ，则|MN|= 46 3 此时 S= 26 3 ； 当直线 l 的斜率存在时，不妨设直线方程为 ykx+m， 则 | 1+2 =1 即 m2k2+1， 由 2 4 + 2 3 = 1 = + ，可得（3k2+4）x2+6kmx+3m2120， 由36k2m24（3k2+4） （3m212）48（4+3k2m2）48（2k2+3）0 恒成立， 设 M（x3，y3） ，N（x4，y4） ， x3+x4= 6 32+4，x3

37、x4= 3212 32+4 ， S= | 2 = 1 21 + 2 (3+ 4)2 434= 1 21 + 2 第 18 页（共 20 页） ( 6 32+4) 2 4 3212 32+4 = 1 21 + 248(2 2:3) 32:4 = 22:3 32:4 ， 令 3k2+4t（t4） ，则 k2= 4 3 ， S= 23 3 2 21 2 = 23 3 (1 ) 21 + 2， 令1 =n，则 n（0，1 4， 易知 yn2n+2 在区间（0，1 4上单调递减，故 3 2 S 26 3 ， 综上OMN 的面积 S 的取值范围为3 2， 26 3 21 （12 分）已知函数 f（x）ax

38、2+lnx（aR） （1）当 a3 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 f（x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）ax2+lnx 的导数为 f（x）2ax+ 1 ， a3 时，可得 f（x）3x2+lnx，导数 f（x）6x+ 1 ， 即有切线的斜率为 k7，切点为（1，3） ， 切线方程为 y37（x1） ，即 y7x4； （2）f（x）的导数为 f（x）2ax+ 1 = 22+1 ，x0， 若 a0，则 f（x）0，f（x）在 x0 递增，即有 f（x）没有两个零点； 若 a0，f（x）0 解得 x= 1 2， 可得

39、 x（0， 1 2） ，f（x）0，f（x）递增；在 x（ 1 2，+） ，f（x）0， f（x）递减， f（x）在 x= 1 2处取得极大值，且为最大值 1 2 +ln 1 2 = 1 2（ln（ 1 2）1） ， 由 x0，x0，f（x）0，当 x1 时， （xlnx）1 1 0， 即有 xlnx1，即 xlnx，当 x+时，f（x）ax2+lnxax2+x0， 要使函数 f（x）有两个零点，只需满足条件：f（ 1 2）0， 即有 ln（ 1 2）10，可得 1 2e，由 a0， 第 19 页（共 20 页） 可得 1 2a0， 则 a 的范围是（ 1 2，0） 四解答题（共四解答题（共

40、1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 E 经过点 P(1， 3 2)， 其参数方程 = = 3 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 E 的极坐标方程； （2）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证： 1 |2 + 1 |2为定值，并求出这个 定值 【解答】解： （ I）将点(1， 3 2)代入曲线 E 的方程， 得 1 = ， 3 2 = 3，解得 a 24， 所以曲线 E 的普通方程为 2 4 + 2 3 = 1， 极坐标方程为2(1 4 2 +1 3 2) = 1 （）不妨设点 A，B 的极坐标分别为(1，)，(2， + 2)，10，20， 则 (1 41 22 +1 31 22) = 1， (1 42 22( +