1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年广东省高考数学（文科）模拟试卷（年广东省高考数学（文科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）设 aR，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分） “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面 书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图
2、是折扇的示 意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分 的概率是（ ） A B C D 4 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x，则不等式 f（x） 0 的解集为（ ） A B C D 5 （5 分）已知平面向量 、 的夹角为 135，且 为单位向量，则 （ ） A B C1 D 6 （5 分）椭圆 C 的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，过 F2与 x 轴垂直的直线交椭 圆于第一象限的 A 点，点 A 关于坐标原点的对称点为 B，且AF1B120， ，则椭圆方程为（ ） A B 第 2 页
3、（共 19 页） C D 7 （5 分）某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） A B C D 8 （5 分）约公元前 600 年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度如图，金字塔是 正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为 230 米；然后，他站立在沙地上， 请人不断测量他的影子， 当他的影子和身高相等时， 他立刻测量出该金字塔影子的顶点 A 与相应底棱中点 B 的距离约为 22.2 米 此时， 影子的顶点 A 和底面中心 O 的连线恰好与 相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（ ） A115 米 B137.2 米 C230 米 D252.2 米 9 （5 分
4、）为了宣传今年 9 月即将举办的“第十八届中国西部博览会” （简称“西博会” ） ， 组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动在活动中，组委会对会议举办地参与活动 的 1565 岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第 1 组 15，25） 10 第 2 组 25，35） a 第 3 组 35，45） b 第 4 组 45，55） c 第 3 页（共 19 页） 第 5 组 55，65 d 根据以上图表中的数据可知图表中 a 和 x 的值分别为（ ） A20，0.15 B15，0.015 C20，0.015 D15，0.15 10 （5 分）将
5、函数 ycos（2x+） （）的图象向右平移个单位长度单位 后得函数 f（x）图象，若 f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间，上单调递减 Bf（x）在区间，匀上单调递增 Cf（x）在区间，上单调递减 Df（x）在区间，上单调递增 11 （5 分）已知双曲线 C：的一条渐近线被圆（xc）2+y22a2 截得的弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距） ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 12 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 AB 和 DD1的中点，经 过点 B1，E，F 的平面 交 AD 于 G，则 AG（ ） A B C D
6、 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则满足 a10，b18，A 30的三角形解的个数是 14 （5 分）曲线 f（x）（x+1）ex在点（0，f（0） ）处的切线的横纵截距之和为 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PABC2，BAC，则三棱锥 第 4 页（共 19 页） PABC 的外接球的表面积为 16 （5 分）已知在 x（0，1）上恰有一个零点，则正实数 a 的 取值范围为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60
7、分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S416，a33a2 （1）求an的通项公式； （2）设，求bn的前 2n 项的和 T2n 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 ABBC，AD BC， AD4， APABBC2， E 是 AD 的中点， AC 和 BE 交于点 O， 且 PO平面 ABCD （1）证明：平面 PAC平面 PCD； （2）求点 D 到平面 PCE 的距离 19 （12 分）已知函数 f（x）alnxx2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求证：当 a0 时，f（x）（
8、asinx）x2ax 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 N： （x1）2+y21，圆心 N（1，0） ，点 E 在直线 x1 上，点 P 满足，点 P 的轨迹为曲线 M （1）求曲线 M 的方程 （2）过点 N 的直线 l 分别交 M 和圆 N 于点 A、B、C、D（自上而下） ，若|AC|、|CD|、|DB| 成等差数列，求直线 l 的方程 21 （12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线 第 5 页（共 19 页） 上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩
9、并制成频率分布直方图如图所示 （1）求 m 的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比； （2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数 （同一组中的数据以该组区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的
10、交点为 A，曲线 C1与 x 轴的交点为 H，点 M（1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|3x1|+|x+1| （1）解不等式 f（x）5 （2）若函数 f（x）的最小值为 m，且 log4（2a+3b）log2（3m） ， （a0，b0） ，求 ab 的最大值 第 6 页（共 19 页） 2020 年广东省高考数学（文科）模拟试卷（年广东省高考数学（文科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分
11、）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）设 aR，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 a（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：复数在复平面内对应的点位于实 轴上， ，即 a1 故选：C 3 （5 分） “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面 书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示 意图，A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此
12、点取自扇面（扇环）部分 的概率是（ ） A B C D 【解答】解：不妨设 OA1，扇形中心角为 此点取自扇面（扇环）部分的概率 故选：C 第 7 页（共 19 页） 4 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x，则不等式 f（x） 0 的解集为（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x， 则其图象如图： 且 f（）f（）0， 则不等式 f（x）0 的解集为（，）（0，） ； 故选：C 5 （5 分）已知平面向量 、 的夹角为 135，且 为单位向量，则 （ ） A B C1 D 【解答】解
13、：由题意知，平面向量 、 的夹角为 135，且| |1， 所以| |， 1cos1351， +2+1+2（1）+21， 所以1 故选：C 6 （5 分）椭圆 C 的焦点为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，过 F2与 x 轴垂直的直线交椭 圆于第一象限的 A 点，点 A 关于坐标原点的对称点为 B，且AF1B120， ，则椭圆方程为（ ） A B 第 8 页（共 19 页） C D 【解答】 解：由题意设椭圆 C 的方程：+1， （ab0） ，连结 BF2，由椭圆的对称性易得 四边形 AF1BF2为平行四边形， 由AF1B120得F2AF160， 又 AF2F1F2， 设|AF2|
14、+BF1|m， 则|F1F2|m， |AF1|2m， 又 S，解得 m， 又由 2c|F1F2|m2，2a|AF1|+|AF2|3m2，解得 c1，a，b2a2 c22， 则椭圆 C 的方程为： 故选：C 7 （5 分）某程序框图如图所示，若 a4，则该程序运行后输出的结果是（ ） A B C D 第 9 页（共 19 页） 【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上 1 ， S1+（1）+ 故选：B 8 （5 分）约公元前 600 年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度如图，金字塔是 正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为 230 米；然后，他站立在沙地上， 请人不
15、断测量他的影子， 当他的影子和身高相等时， 他立刻测量出该金字塔影子的顶点 A 与相应底棱中点 B 的距离约为 22.2 米 此时， 影子的顶点 A 和底面中心 O 的连线恰好与 相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（ ） A115 米 B137.2 米 C230 米 D252.2 米 【解答】解：当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角 边， 再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到 A 的距离即 为塔高 所以由题意得金字塔塔高为 OAOB+BA115+22.2137.2 米 故选：B 9 （5 分）为了宣传今年 9 月即将举办的“第十八届中
16、国西部博览会” （简称“西博会” ） ， 组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动在活动中，组委会对会议举办地参与活动 的 1565 岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如表： 组号 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 第 10 页（共 19 页） 第 1 组 15，25） 10 第 2 组 25，35） a 第 3 组 35，45） b 第 4 组 45，55） c 第 5 组 55，65 d 根据以上图表中的数据可知图表中 a 和 x 的值分别为（ ） A20，0.15 B15，0.015 C20，0.015 D15，0.15 【解答】解：由频率分布直方图可知，第一组的频率为：0.010
17、100.1， 又第一组的人数为 10， 总人数为：100， 第二组的频率为：0.020100.2， 第二组的人数 a0.210020， 由频率分布直方图可知，x1（0.01+0.02+0.03+0.025）100.015， 故选：C 10 （5 分）将函数 ycos（2x+） （）的图象向右平移个单位长度单位 后得函数 f（x）图象，若 f（x）为偶函数，则（ ） Af（x）在区间，上单调递减 Bf（x）在区间，匀上单调递增 Cf（x）在区间，上单调递减 Df（x）在区间，上单调递增 【解答】解：将函数 ycos（2x+） （）的图象向右平移个单位长度 单位后得函数 f（x）图象， 则 f（x
18、）cos2（x）+cos（2x+） ， 若 f（x）为偶函数，则 k，kZ， 即 +k，kZ， 第 11 页（共 19 页） ，当 k1 时， 即 f（x）cos（2x）cos（2x）cos2x， 当x时，2x，此时 f（x）cos2x 不具备单调性，故 A，B 错误， 当x时，2x，此时 f（x）cos2x 为增函数，故 D 周期， 故选：D 11 （5 分）已知双曲线 C：的一条渐近线被圆（xc）2+y22a2 截得的弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距） ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 【解答】解：如图所示，双曲线的两条渐近线关于 x 轴对称， 取 y与圆相交于点
19、 A，B，|AB|2b， 圆心（c，0）到直线 bxay0 的距离 d 结合垂径定理可得 2a2b2+b2，即 ab 双曲线为等轴双曲线，其离心率 e 故选：B 12 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 AB 和 DD1的中点，经 过点 B1，E，F 的平面 交 AD 于 G，则 AG（ ） 第 12 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：由平面 A1ABB1平面 D1DCC1， 可得平面 B1EF 与平面 D1DCC1的交线与 B1E 平行， 过 F 作 B1E 的平行线交 C1D1于 H， 由 F 为 DD1的中点，可得 H 为 C1D1
20、的四等分点， 连接 B1H，过 E 作 EGB1H，交 AD 于 G， 从而 G 为 AD 的三等分点，则 AG 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则满足 a10，b18，A 30的三角形解的个数是 2 【解答】解：由正弦定理可得， 故 sinB 因为 ab，所以 AB， 故 B 可能为锐角，也可能是钝角，即三角形有两解 第 13 页（共 19 页） 故答案为：2 14 （5 分）曲线 f（x）（x+1）ex在点（0，f（0） ）处的切线的横纵截距之和为
21、 【解答】解：根据条件可得 f（x）（x+2）ex，则 f（0）1，f（0）2， 故切线方程为 y12x，即 2xy+10，则其横纵截距分别为，1， 则横纵截距之和为， 故答案为： 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，PABC2，BAC，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 8 【解答】解：将三棱锥还原成直三棱柱， 则三棱柱的外接球即为求 O，D，D，为上下底面的外心，O 为 DD的中点，AD 为 底面外接圆的半径， 由正弦定理可得：2AD2； 由 OD1，AD1；得 RAO， 所以球 O 的表面积为：4R28 故答案为：8 16 （5 分）已知在 x（0，1）上恰有
22、一个零点，则正实数 a 的 取值范围为 （0，1） 【解答】解：依题意，方程在（0，1）上仅有一个解， 即在（0，1）上仅有一个实数根， 第 14 页（共 19 页） 亦即函数和 h（x）2x2ax 的图象在（0，1）上只有一个公共点， 而 h（x）2x2ax 必经过原点，且其对称轴为， 由图可得当 h（1）g（1）时符合题意，即 2a1，解得 a1， 又a0， 0a1 故答案为： （0，1） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，S416，a33a2 （1）求an的通项公式；
23、（2）设，求bn的前 2n 项的和 T2n 【解答】解： （1）因为等差数列an中，设首项为 a1公差为 d 由题意得，解得， 所以 an2+4（n1）4n6 （2） T2nb1+b2+b3+b2n1+b2n 第 15 页（共 19 页） 所以 bn的前 2n 项的和 T2n为 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 ABBC，AD BC， AD4， APABBC2， E 是 AD 的中点， AC 和 BE 交于点 O， 且 PO平面 ABCD （1）证明：平面 PAC平面 PCD； （2）求点 D 到平面 PCE 的距离 【解答】 （1）证明：AD
24、BC，AD4，BC2，E 是 AD 的中点， 四边形 ABCE 为平行四边形， 又ABBC，ABBC，四边形 ABCE 是正方形，得 CEAD 又CEAEED2，ACCD 又AD4，AC2+CD2AD2，故 CDAC PO平面 ABCD，CD平面 ABCD，CDPO 又ACPOO，AC，PO平面 PAC， CD平面 PAC， 而 CD平面 PCD，平面 PAC平面 PCD； （2）解：由（1）知，四棱锥 PABCE 为正四棱锥， 故 PCPEPA2 又 CE2，PCE 是等边三角形，即 设点 D 到平面 PCE 的距离为 h，得 由 PCPA2，AC，得PAC 为等腰直角三角形，故 PO 第
25、16 页（共 19 页） ECD 是直角三角形，且 CEED2， 得 由 VPDCEVDPCE，得，即 h 点 D 到平面 PCE 的距离为 19 （12 分）已知函数 f（x）alnxx2 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）求证：当 a0 时，f（x）（asinx）x2ax 【解答】解： （1）函数 f（x）alnxx2，定义域为（0，+） ， 所以； 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减； 当 a0 时， 令 f（x）0，则，解得，f（x）在单调递增； 令 f（x）0，则，解得；f（x）在单调递减； 综上，当 a0 时，f（x）在（0，+）单调递减； 当 a0 时，f
26、（x）在单调递增，在单调递减； （2）要证当 a0 时，f（x）（asinx）x2ax， 只须证：a（lnx+xx2）+（sinx1）x20， 而（sinx1）x20，因此，只要证：lnx+xx20 设 g（x）lnx+xx2， 则 当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增； 第 17 页（共 19 页） 当 x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减； 所以 g（x）g（1）0，即 lnx+xx20； 所以当 a0 时，f（x）（asinx）x2ax 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 N： （x1）2+y21，圆心 N（1，0） ，点 E 在直线 x1 上，点
27、 P 满足，点 P 的轨迹为曲线 M （1）求曲线 M 的方程 （2）过点 N 的直线 l 分别交 M 和圆 N 于点 A、B、C、D（自上而下） ，若|AC|、|CD|、|DB| 成等差数列，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）设 p（x，y） ，由，得 E（1，y） ， 则， 由，得（x1，y） （2，y）（x+1，0） （2，y） ，即2x+2+y22x+2， 化简得：y24x， 所以点 P 的轨迹曲线 M 的方程为：y24x； （2）由|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，得|AC|+|DB|2|CD|4， 所以弦长|AB|AC|+|CD|+|DB|6， 当斜率不存在时，直线 l
28、 的方程为：x1，交点 A（1，2） ，B（1，2） ，此时|AB|4 6，不符合题意， 当斜率存在时，设直线 l 的方程为：yk（x1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立方程，消去 y 得：k2x2（2k2+4）x+k20， ，x1x21，显然16（k2+1）0 恒成立， 由抛物线的定义可知，|AB|x1+x2+26， ，解得：k， 直线 l 的方程为 y 21 （12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线 上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方
29、图如图所示 （1）求 m 的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比； 第 18 页（共 19 页） （2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数 （同一组中的数据以该组区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1） 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，m1（0.004+0.006+0.02+0.03+0.024） 100.016， 50 名学生中数学成绩在70，100的概率为： （0.03+0.024+0.016）100.7， 故高一年级所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比估计为 70%； （2）这 50 名学生数学成绩的平均数为：0.0
30、445+0.0655+0.265+0.375+0.24 85+0.169576.2， 设这 50 名学生数学成绩的中位数为 x， 0.04+0.06+0.20.5，0.04+0.06+0.2+0.30.5， 中位数落在70，80这组， 0.04+0.06+0.2+（x70）0.030.5， 解得 x76.7， 故这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数估计值分别为 76.2，76.7 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标
31、方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A，曲线 C1与 x 轴的交点为 H，点 M（1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 【解答】解： （1）曲线 C1的极坐标方程为 cosm，转换为直角坐标方程为：xm 曲线 C2的极坐标方程为 2转换为直角坐标方程为 3x2+4y212，整理得 ， 第 19 页（共 19 页） 转换为参数方程为（ 为参数） （2） 曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A （2cos，） ， M （1， 0） ， H （2cos， 0） 所以
32、所以 lABC|AM|+|MH|+|AH| 2， 当时，AMH 的周长 l 的最大值为 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|3x1|+|x+1| （1）解不等式 f（x）5 （2）若函数 f（x）的最小值为 m，且 log4（2a+3b）log2（3m） ， （a0，b0） ，求 ab 的最大值 【解答】解： （1）当 x1 时，f（x）（3x1）（x+1）5，解得，可 知满足题意； 当时，f（x）（3x1）+x+15，解得，无解； 当时，f（x）3x1+x+15，解得，可知满足题意； 综上，不等式的解集为； （2）函数，可得，即， 又 log4（2a+3b）log2（3m） ， 2a+3b16， ，当且仅当“”时取等号 故 ab 的最大值为
