2020年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分） （1i） （3i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知 a0.40.3，b0.30.3，c0.30.4，则（ ） Aacb Babc Ccab Dbca 4 （5 分）图 1 为某省

2、 2019 年 1 至 4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1 至 4 月快 递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ “同比”指与去年同月相比） （ ） A2019 年 1 至 4 月的快递业务收入在 3 月最高，2 月最低，差值超过 20000 万元 B2019 年 1 至 4 月的快递业务收入同比增长率不低于 30%，在 3 月最高 C从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率逐月增长 D从两图来看 2019 年 1 至 4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一 致 5 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若“pq”为真命题，则“

3、pq”为真命题 B命题“x0，exx10”的否定是“x00，0 0 1 0” C命题“若 x1，则1 1”的逆否命题为真命题 D “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 第 2 页（共 20 页） 6（5 分） 在锐角ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 a+2b4， asinA+4bsinB 6asinBsinC，则ABC 的面积取得最小值时有 c2（ ） A5+ 5 2 B5+ 5 3 C5 2 35 D5 4 35 7 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62

4、 8 （5 分）在区间2，4上：任取一个实数 x，则使得| 1| 3 2成立的概率为（ ） A3 7 B4 5 C2 3 D1 2 9 （5 分） 设常数 a0， 若9 + 2 + 1对一切正实数 x 成立， 则 a 的取值范围为 （ ） A1 5 ，+ ) B(1 5， + ) C(， 1 5 D(， 1 5) 10 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右顶点分别为 A，B，左焦 点为 F， P 为 C 上一点， 且 PFx 轴， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M （异于 P， F） ， 与 y 轴交于点 N，直线 MB 与 y 轴交于点 H，

5、若 = 3 （O 为坐标原点） ，则 C 的 离心率为（ ） A2 B3 C4 D5 11 （5 分）已知函数 f（x）2|cosx|sinx+sin2x，给出下列三个命题： 函数 f（x）的图象关于直线 = 4对称； 函数 f（x）在区间 4 ， 4上单调递增； 函数 f（x）的最小正周期为 其中真命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分）已知函数 f（x）xlnx+aex有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A(， 1 ) B(0， 1 ) C( 1 ，+ ) D( 1 ，0) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分

6、）分） 13 （5 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 14 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 第 3 页（共 20 页） 优教师，则不同的分配方案共有 种 15 （5 分）抛物线 y24x 上到其焦点的距离为 1 的点的个数为 16 （5 分）如图所示，空间四边形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别是 AD 和 BC 中点，下 列结论正确的是 AEFBEF； EF 与 AB 和 CD 所成的角相等； ADBC； ABCD 三解答题（共三解答题（共 5 小

7、题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知 Sn是公差不为零的等差数列an的前 n 项和，S36，a3是 a1与 a9的等比 中项 （1）求数列an的通项公式； （2） 设数列= (1) 4 421 ( )， 数列bn的前2n项和为P2n， 若|2+ 1| 1 2020， 求正整数 n 的最小值 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面

8、PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）设斜率不为 0 的直线 l 与抛物线 x24y 交于 A，B 两点，与椭圆 2 6 + 2 4 =1 交于 C，D 两点，记直线 OA，OB，OC，OD 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4 （1）若直线 l 过（0，4） ，证明：OAOB； （2）求证：1:2 3:4的值与直线 l 的斜率的大小无关 20 （12 分） 调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝， 分析、 鉴定， 调配、 研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出 n 瓶 外观相同但品质不同的调味品让

9、其品尝， 要求其按品质优劣为它们排序； 经过一段时间， 等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为 一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 现设 n4，分别以 a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种调味品在 第二次排序时的序号，并令 X|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，则 X 是对两次排序的偏 离程度的一种描述 （如第二次排序时的序号为 1，3，2，4，则 X2） （1）写出 X 的所有可能值构成的集合； （2）假设 a1，a2，a3+a4的排列等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求 X 的

10、数学期望； （3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有 X2 （i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立） ； （）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx+ +1 2 2+1，g（x）x3 3(+1) 2 2+3tx+1（t0） （1）当 a= 1 2时，求 f（x）在区间 1 ，e上的最值； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）若 g（x）xexm+2（e 为自然对数的底数）对任意 x0，+）恒成立时 m 的最 大值为 1，求 t 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分

11、 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 5 页（共 20 页） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc

12、1，求函数 f（x）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分） （1i） （3i）在复平

13、面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：（1i） （3i）24i， （1i） （3i）在复平面内对应的点的坐标为（2，4） ，位于第四象限 故选：D 3 （5 分）已知 a0.40.3，b0.30.3，c0.30.4，则（ ） Aacb Babc Ccab Dbca 【解答】解析：0.30.30.30.4，即 bc0，而 = (0.4 0.3) 0.3 = (4 3) 0.31，即 ab， abc， 故选：B 4 （5 分）图 1 为某省 2019 年 1 至 4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1 至 4 月快 递业务收入统计图，

14、下列对统计图理解错误的是（ “同比”指与去年同月相比） （ ） 第 7 页（共 20 页） A2019 年 1 至 4 月的快递业务收入在 3 月最高，2 月最低，差值超过 20000 万元 B2019 年 1 至 4 月的快递业务收入同比增长率不低于 30%，在 3 月最高 C从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率逐月增长 D从两图来看 2019 年 1 至 4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一 致 【解答】解析：由图表易知，从 1 至 4 月来看，该省在 2019 年快递业务量同比增长率先 降低，再增加，再降低，再增加，C 错 故选：C 5 （5

15、 分）下列说法正确的是（ ） A若“pq”为真命题，则“pq”为真命题 B命题“x0，exx10”的否定是“x00，0 0 1 0” C命题“若 x1，则1 1”的逆否命题为真命题 D “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 【解答】解析： “pq”为真，则命题 p，q 有可能一真一假，则“pq”为假，故选项 A 说法不正确； 命题“x0，exx10”的否定应该是“x00，0 0 1 0” ，故选项 B 说法 不正确； 因命题“若 x1，则1 1”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项 C 说法正确； 因 x1x25x60，但 x25x60x1 或 x6，所以“x1”是“x2 5x60”的

16、充分不必要条件，选项 D 说法不正确； 第 8 页（共 20 页） 故选：C 6（5 分） 在锐角ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 a+2b4， asinA+4bsinB 6asinBsinC，则ABC 的面积取得最小值时有 c2（ ） A5+ 5 2 B5+ 5 3 C5 2 35 D5 4 35 【解答】解：由正弦定理，asinA+4bsinB6asinBsinC 即为 a2+4b26absinC， 又 S= 1 2absinC，即有 a 2+4b212S， 由于 a+2b4，即有 a2+4b2（a+2b）24ab164ab， 即有 4ab1612S

17、， 由 4ab2（ :2 2 ）28， 即有 1612S8，解得 S 2 3 当且仅当 a2b2，取得等号 当 a2，b1，S 取得最小值2 3， sinC= 2 3， （C 为锐角） ，则 cosC= 1 4 9 = 5 3 则 c2a2+b22abcosC4+1221 5 3 =5 45 3 故选：D 7 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 【解答】解： ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2， 则 ( ) ( ) = + 2 =2cos ， 4cos ， 2cos ， +412，

18、当且仅当 ，同向， ，反向， ， 反向时，取得最大值 故选：B 8 （5 分）在区间2，4上：任取一个实数 x，则使得| 1| 3 2成立的概率为（ ） A3 7 B4 5 C2 3 D1 2 第 9 页（共 20 页） 【解答】解：在闭区间0，4上等可能的任取一个实数 x， 解不等式| 1| 3 2，得： 1 2 x 5 2， 在闭区间0，4上等可能的任取一个实数 x，使不等式| 1| 3 2成立的概率是： P= 5 2( 1 2) 4(2) = 1 2， 故选：D 9 （5 分） 设常数 a0， 若9 + 2 + 1对一切正实数 x 成立， 则 a 的取值范围为 （ ） A1 5 ，+ )

19、 B(1 5， + ) C(， 1 5 D(， 1 5) 【解答】解：因为：x0，a0， 所以：9x+ 2 29 2 =6a 原不等式 9x+ 2 a+1 恒成立，即可转换为 6aa+1，解得 a 1 5 所以 a 的取值范围为：1 5，+） 故选：A 10 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右顶点分别为 A，B，左焦 点为 F， P 为 C 上一点， 且 PFx 轴， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M （异于 P， F） ， 与 y 轴交于点 N，直线 MB 与 y 轴交于点 H，若 = 3 （O 为坐标原点） ，则 C 的 离心率为（ ）

20、A2 B3 C4 D5 【解答】解：不妨设 P 在第二象项，|FM|m，H（0，h） （h0） ， 由 = 3 知 N（0，2h） ， 由AFMAON，得 2 = ; （1） ， 由BOHBFM，得 = :（2） （1） ， （2）两式相乘得1 2 = ; :， 即 c3a，离心率为 3 故选：B 第 10 页（共 20 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）2|cosx|sinx+sin2x，给出下列三个命题： 函数 f（x）的图象关于直线 = 4对称； 函数 f（x）在区间 4 ， 4上单调递增； 函数 f（x）的最小正周期为 其中真命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解

21、：f（x） 2|cosx|sinx+sin2x= 2 + 2， 2 + 2， 3 2 + 2 2 + 2， 2 + 2， 2 + 2) = 0， 2 + 2， 3 2 + 2 22， 2 + 2， 2 + 2) ， ， 其大致图象如图所示， f（x）的图象不关于直线 = 4对称，即错误； f（x）在区间 4 ， 4上单调递增，即正确； f（x）的最小正周期为 2，即错误 所以真命题只有， 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）xlnx+aex有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 20 页） A(， 1 ) B(0， 1 ) C( 1 ，+ ) D( 1 ，0)

22、【解答】解：f（x）1+lnx+aex， 由题意，f（x）1+lnx+aex0 有两个不同的实根， 即 ya 和 = 1+ 在（0，+）上有两个交点， 令() = 1+ ，() = 1 1 记() = 1 1，h（x）在（0，+）上单调递减， 且 h（1）0，所以当 x（0，1时，h（x）0，g（x）0，所以 g（x）在（0，1上 单调递增； 当 x（1，+）时，h（x）0，g（x）0，所以 g（x）在（1，+）上单调递减， 故()= (1) = 1 当 x0 时，g（x）；当 x+时，g（x）0， 当0 1 ，即 1 0时，ya 和 = 1+ 在（0，+）上有两个交点， 故选：D 二填空题（

23、共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 8 【解答】解：二项式( 3 2 ) 4的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 （ 3 ）4 r （2）rxr= 4 （2）rx 44 3 令 x 的幂指数4;4 3 =0，解得 r1， 展开式中的常数项为： T2= 4 1 （2）18 故答案为：8 14 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 81 种

24、【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况， ，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则 第 12 页（共 20 页） 剩下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法； 故答案为：81 15 （5 分）抛物线 y24x 上到其焦点的距离为 1 的点的个数为 1 【解答】解：抛物线方程为：y24x， 焦点 F（1，0） ，准线方程为：x1， 由抛物线的定义可知，抛物线 y24x 上到其焦点的距离为 1 的点到准线的距离也是 1， 而抛物线 y24x 上到准线：x1

25、 的距离为 1 的点只有原点（0，0） ， 所以抛物线 y24x 上到其焦点的距离为 1 的点只有一个， 故答案为：1 16 （5 分）如图所示，空间四边形 ABCD 中，ABCD，E，F 分别是 AD 和 BC 中点，下 列结论正确的是 AEFBEF； EF 与 AB 和 CD 所成的角相等； ADBC； ABCD 【解答】解：如图，连接 AC，取 AC 中点 R，连接 ER，FR， 易知，CDER，ABFR， EF 与 CD 所成角即为REF，EF 与 AB 所成角即为RFE， ABCD， ERFR， REFRFE，故正确； 保持 ABCD，点 D 绕着 AC 旋转，易知均不正确 第 13

26、 页（共 20 页） 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知 Sn是公差不为零的等差数列an的前 n 项和，S36，a3是 a1与 a9的等比 中项 （1）求数列an的通项公式； （2） 设数列= (1) 4 421 ( )， 数列bn的前2n项和为P2n， 若|2+ 1| 1 2020， 求正整数 n 的最小值 【解答】解： （1）公差 d 不为零的等差数列an，由 a3是 a1与 a9的等比中项，可得 1 9= 32，即 a1（a1+8d）（a1+2d）2， 化为 a1d， 又 S33a1+3d6，

27、可得 a1d1， 所以数列an是以 1 为首项和公差的等差数列， 故综上= ， ； （2）由（1）可知= (1) 4 421 = (1)( 1 21 + 1 2+1)， 所以= 1 1 3 + 1 3 + 1 5 1 5 1 7 + 1 23 + 1 21 + 1 21 + 1 2+1 = 1 + 1 2+1， 所以|2+ 1| = 1 4+1 1 2020 2019 4 ， 故 n 的最小值为 505 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是

28、直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 第 14 页（共 20 页） 成二面角的正弦值 【解答】 （1）证明：取 BC 中点 M，连接 PM，AM， 因为四边形 ABCD 为菱形且BAD120 所以 AMBC， 因为 PBPC，所以 PMBC， 又 AMPMM， 所以 BC平面 PAM，因为 PA平面 PAM， 所以 PABC 同理可证 PADC， 因为 DCBCC， 所以 PA平面 ABCD （2）解：由（1）得 PA平面 ABCD， 所以平面 PAF平面 ABCD，平面 PAF平面 ABCDAF 所以点 B 到直线 AF 的距离即为点 B

29、 到平面 PAF 的距离 过 B 作 AF 的垂线段， 在所有的垂线段中长度最大的为 AB2， 此时 AF 必过 DC 的中点， 因为 E 为 PB 中点，所以此时，点 E 到平面 PAF 的距离最大，最大值为 1 以 A 为坐标原点，直线 AF，AB，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz 则(0，0，0)，(3，1，0)，(0，1，1)，(0，2，0)， 所以 = (3，1，0)， = (0，1，1)， = (0，2，0)， 平面 PAF 的一个法向量为 = (0，2，0)， 设平面 AEC 的法向量为 = (，)， 则 = 3 + = 0 = + = 0 ， 第 15

30、页（共 20 页） 取 y1，则 = ( 3 3 ，1， 1)， ， = | | | = 21 7 ， 所以 ， = 27 7 ， 所以面 PAF 与面 EAC 所成二面角的正弦值为27 7 19 （12 分）设斜率不为 0 的直线 l 与抛物线 x24y 交于 A，B 两点，与椭圆 2 6 + 2 4 =1 交于 C，D 两点，记直线 OA，OB，OC，OD 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4 （1）若直线 l 过（0，4） ，证明：OAOB； （2）求证：1:2 3:4的值与直线 l 的斜率的大小无关 【解答】证明： （1）设直线方程为 ykx+4，A（x1，y1） ，B（x2，y2）

31、， 由 x124y1，x224y2，两式相乘可得（x1x2）216y1y2， 由 = + 4 2= 4 可得 x24kx160， 则 x1x216，y1y216，x1x2+y1y20， 即 =0，OAOB； （2）设直线 ykx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ， = + 2= 4 可得 x24kx4m0，x1+x24k，x1x24m， k1+k2= 1 1 + 2 2 = 1 4 + 2 4 =k， 联立 ykx+m 和椭圆 2x2+3y212，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2120， 36k2m24（2+3k2） （3m212）0，

32、即 4+6k2m2， 第 16 页（共 20 页） x3+x4= 6 2+32，x3x4= 3212 2+32 ， k3+k4= 3 3 + 4 4 = 3+ 3 + + 4 =2k+m（ 1 3 + 1 4）2k+ (3+4) 34 2k 62 3212 = 8 24， 则1:2 3:4 = 2;4 8 与直线 l 的斜率的大小无关 20 （12 分） 调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝， 分析、 鉴定， 调配、 研发，周而复始、反复对比对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出 n 瓶 外观相同但品质不同的调味品让其品尝， 要求其按品质优劣为它们排序； 经过一段时间，

33、等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为 一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分 现设 n4，分别以 a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种调味品在 第二次排序时的序号，并令 X|1a1|+|2a2|+|3a3|+|4a4|，则 X 是对两次排序的偏 离程度的一种描述 （如第二次排序时的序号为 1，3，2，4，则 X2） （1）写出 X 的所有可能值构成的集合； （2）假设 a1，a2，a3+a4的排列等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求 X 的数学期望； （3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，

34、都有 X2 （i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立） ； （）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由 【解答】解： （1）X 的可能值集合为0，2，4，6，8， 在 1，2，3，4 中奇数与偶数各有两个， 所以 a2，a4中的奇数个数等于 a1，a3中的偶数个数， 因此|1a1|+|3a3|与|2a2|+|4a4|的奇偶性相同， 从而 X（|1a1|+|3a3|）+（|2a2|+|4a4|）必为偶数，X 的值非负，且易知其值不大 于 8 由此能举出使得 X 的值等于 0，2，4，6，8 各值的排列的例子 （2）可用列表或树状图列出 1，2，3，4

35、的一共 24 种排列， 计算每种排列下的 X 值，在等可能的假定下，得到 X 0 2 4 6 8 第 17 页（共 20 页） P 1 24 3 24 7 24 9 24 4 24 EX= 0 1 24 + 2 3 24 + 4 7 24 + 6 9 24 +8 4 24 =5 （3） （）首先 P（X2）P（X0）+P（X2）= 4 24 = 1 6，将三轮测试都有 X2 的 概率记做 p， 由上述结果和独立性假设，得 p= 1 63 = 1 216 （）由于 p= 1 216 5 1000是一个很小的概率， 这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有 X2 的结果的可能性很小， 所以我们认为该

36、品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx+ +1 2 2+1，g（x）x3 3(+1) 2 2+3tx+1（t0） （1）当 a= 1 2时，求 f（x）在区间 1 ，e上的最值； （2）讨论函数 f（x）的单调性； （3）若 g（x）xexm+2（e 为自然对数的底数）对任意 x0，+）恒成立时 m 的最 大值为 1，求 t 的取值范围 【解答】解： （1）当 a= 1 2时，f（x）= 1 2lnx+ 1 4 2+1， f（x）= 1 2 + 1 2 = (1)(+1) 2 ， （x0） ， 当 x 1 ，1)时，f（x）0，f（x）单调

37、递减，当 x（1，e时，f（x）0，f（x） 单调递增， 故当 x1 时，f（x）取得最小值 f（1）= 5 4， f（e）= 2+2 4 ，f（1 ）= 3 2 + 1 42， f（e）f（1 ） ， 故函数的最大值为 f（e）= 2+2 4 ， （2）f（x）= 1 + ( + 1) = (+1)2+1 ， 当 a+10 即 a1 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在（0，+）上单调递增， 当a+10即a1时， 若x (0， 1 1+)， f （x） 0成立， 故f （x） 在 （0， 1 1+） 上单 第 18 页（共 20 页） 调递增， 若 x ( 1 1+， + )，f（x）0

38、成立，故 f（x）在（ 1 1+，+）上单调递减， （3）g（x）xexm+2 对任意 x0，+）恒成立时 m 的最大值为 1， x3 3(+1) 2 2+3tx+1xexm+2 对任意 x0，+）恒成立， mxexx3+ 3(1+) 2 23tx+1（exx2+ 3(+1) 2 3）x+1 对任意 x0，+）恒成 立，且 m 的最大值为 1， 令 g（x）exx2+ 3(+1) 2 3， 由题意可知，g（x）0 恒成立，则 g（0）13t0 且 t0， 所以 0t 1 3， g（x）ex2x+3（t+1） ，x0， 令 h（x）ex2x+3（t+1） ，x0， h（x）ex2， 当 x（0，

39、ln2）时，h（x）ex20，h（x）单调递减，当 x（ln2，+）时，h （x）ex20，h（x）单调递增， 故 h（x）minh（ln2）+ 3 2( + 1) 220， 故 g（x）单调递增，g（x）g（0）13t0 0t 1 3 即 t 的取值范围（0，1 3 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参

40、数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 【解答】解： （1）曲线 C1的极坐标方程为 cosm，转换为直角坐标方程为：xm 曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2转换为直角坐标方程为 3x 2+4y212，整理得 第 19 页（共 20 页） 2 4 + 2 3 = 1， 转换为参数方程为 = 2 = 3 （ 为参数） （2） 曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A（2cos， 3） ，M（1，0） ， H（2cos， 0） 所以 所 以 lABC |AM|+|M

41、H|+|AH| = 3 + 1 2 +(2 1)2+ (3)2= 3 + 1 2 + 2 =23( 3) + 3， 当( 3) = 1时，AMH 的周长 l 的最大值为 23 + 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x）的最小值； （2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 【解答】解： （1）因为 abc1， 所以 f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|2|x+1|+|x1|， 法 1：由上可得：() = 3 1， 1， + 3， 11， 3 + 1， 1. 所以，当 x1 时，函数 f（x）的最小值为 2； 法 2：f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|x+1|+|x+1|+|x1|x+1|+|x+1x+1|2+|x+1|2， 当且仅当(