2021年新高考数学模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 4 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，则 1: =（ ） A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 3 （5 分）已知 a，bR，则“ab0”是“函数 f（x）x|x+a|+b 是奇函数”的（ ）

2、A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量 （单位：吨） ，其频率分布表和频率分别直方图如图：则图中 t 的值为（ ） 分组 频数 频率 0，0.5） 4 0.04 0.5，1） 5 0.08 1，1.5） 15 a 1.5，2） 22 0.22 2，2.5） m 0.25 2.5，3） 14 0.14 3，3.5） 6 0.06 3.5，4） 4 0.04 4，4.5） 2 0.02 合计 100 1.00 第 2 页（共 21 页） A0.15 B0.075 C0.3 D15

3、5（5分） 如图， 在ABC中， ABBC4， ABC30， AD是边BC上的高， 则 的值等 于（ ） A2 B4 C6 D8 6 （5 分）函数 f（x）= 2|1的图象大致是（ ） A B C D 7 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a，b0）的左右焦点分别为 F1、F2，圆 x2+y2b2与 双曲线在第一象限内的交点为 M，若|MF1|3|MF2|，则该双曲线的离心率为（ ） 第 3 页（共 21 页） A2 B3 C2 D3 8 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且 f（x）在（，0）上是减函数，f （2）0，则不等式 xf（x+2）0 的解集是（ ）

4、 A （，22，+） B4，20，+） C （，42，+） D （，40，+） 二多选题（共二多选题（共 3 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知函数 f（x）x，g（x）x4，则下列结论正确的是（ ） A若 h（x）f（x）g（x） ，则函数 h（x）的最小值为 4 B若 h（x）f（x）|g（x）|，则函数 h（x）的值域为 R C若 h（x）|f（x）|g（x）|，则函数 h（x）有且仅有一个零点 D若 h（x）|f（x）|g（x）|，则|h（x）|4 恒成立 10 （5 分）若非零实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是（ ）

5、A 1 B + 2 C 1 2 1 2 Da2+ab2+b 11 （5 分）已知半径为 10 的球的两个平行截面圆的周长分别是 12 和 16，则这两个截面 圆间的距离为（ ） A2 B4 C12 D14 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 12 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 种 13 （5 分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2， 3

6、，5，8，13，21，34，55，即 F（1）F（2）1，F（n）F（n1）+F（n2） （n3，nN*） ，此数列在现代物理“准晶体结构” 、化学等领域都有着广泛的应用若 此数列被 2 整除后的余数构成一个新数列an，则 a2019 ，数列an的前 2019 项的和为 14 （5 分）已知函数 f（x）ex（x1）ax+1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）0， 则 a 的取值范围是 第 4 页（共 21 页） 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点 A （2，0）到渐近线的距离为2，则 b 的值为 四解答题（共四解答题（共

7、 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 16 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 4bcos2 2 =2b+ 3 2asinB （1）求 cosA； （2）若 a25，c5，求 b 17 （12 分）已知等差数列an的前 2m1 项中，奇数项的和为 56，偶数项的和为 48，且 a23（其中 mN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若1，2，是一个等比数列，其中 k11，k25，求数列kn的通项 公式； （3）若存在实数 a，b，使得 (1) 3 对任意 nN*恒成立，求 ba 的最小值 18 （12 分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确

8、保产品质量，决定邀请第三方检 测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标 Z 来衡量产品的质量当 Z8 时，产品为 优等品；当 6Z8 时，产品为一等品；当 2Z6 时，产品为二等品，第三方检测机 构在该产品中随机抽取 500 件，绘制了这 500 件产品的质量指标 Z 的条形图用随机抽 取的 500 件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率 （1）从该企业生产的所有产品中随机抽取 1 件，求该产品为优等品的概率； （2）现某人决定购买 80 件该产品已知每件成本 1000 元，购买前，邀请第三方检测机构 对要购买的 80 件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就

9、检测方案达成以下 协议：从 80 件产品中随机抽出 4 件产品进行检测，若检测出 3 件或 4 件为优等品，则按 每件 1600 元购买， 否则按每件 1500 元购买， 每件产品的检测费用 250 元由企业承担 记 企业的收益为 X 元，求 X 的分布列与数学期望： （3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据 抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是1 2方格图 上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格50 机器人开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，机器人 向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从 k 到 k+1） ，若

10、携出反面，机器人 向前移动两格（从 k 到 k+2） ，直到机器人移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败 第 5 页（共 21 页） 大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移 到第 n 格的概率为 Pn（0n50，nN*） ，试证明PnPn1（1n49，nN*）是等 比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品 19 （12 分） 四边形 ABCD 是菱形， ACEF 是矩形， 平面 ACEF平面 ABCD， AB2AF2， BAD60，G 是 BE 的中点 （）证明：CG平面 BDF （）求二面角 EBFD 的余弦值 20 （12 分）已知两

11、点 F1（3，0） 、F2（3，0） ，设圆 O：x2+y24 与 x 轴交于 A、B 两 点，且动点 P 满足：以线段 F2P 为直径的圆与圆 O 相内切，如图所示，记动点 P 的轨迹 为，过点 F2与 x 轴不重合的直线 l 与轨迹交于 M、N 两点 （1）求轨迹的方程； （2）设线段 MN 的中点为 Q，直线 OQ 与直线 x= 43 3 相交于点 R，求证：2 l； （3）记ABM、ABN 面积分别为 S1、S2，求|S1S2|的最大值及此时直线 l 的方程 第 6 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数 g（x）x2ax+1 （1）求 g（x）0 的解集； （2）已知函数()

12、 = 1 + ，当 a2 时，x1、x2是 yg（x）的两个零点，证明： (1);(2) 1;2 2 （可能用到的参考结论：函数 = 2 + 1 在区间（0，+）上单调递减） 第 7 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷年新高考数学模拟试卷 4 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故

13、选：B 2 （5 分）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ，则 1: =（ ） A 3 2 + 3 2 B 3 2 + 1 2 C 1 2 + 3 2 D1 2 + 3 2 【解答】解：由题意，z1+2i， 则 1: = ;1:2 1: = (;1:2)(1;) (1:)(1;) = 1 2 + 3 2 故选：D 3 （5 分）已知 a，bR，则“ab0”是“函数 f（x）x|x+a|+b 是奇函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：函数的定义域为 R， 若函数 f（x）x|x+a|+b 为奇函数， 则 f（0）b0，

14、 当 b0 时，f（x）x|x+a|，若为奇函数， 则 f（x）x|x+a|f（x）x|x+a|， 即|xa|x+a|，a0， 即函数 f（x）x|x+a|+b 为奇函数的充要条件是 ab0， ab0，a0 或 b0， “ab0”推不出“函数 f（x）x|x+a|+b 是奇函数” ， “函数 f（x）x|x+a|+b 是奇函 数”“ab0” ； 则“ab0”是“函数 f（x）x|x+a|+b 是奇函数”的必要不充分条件 第 8 页（共 21 页） 故选：B 4 （5 分）某市为了解全市居民日常用水量的分布情况，调查了一些居民某年的月均用水量 （单位：吨） ，其频率分布表和频率分别直方图如图：则

15、图中 t 的值为（ ） 分组 频数 频率 0，0.5） 4 0.04 0.5，1） 5 0.08 1，1.5） 15 a 1.5，2） 22 0.22 2，2.5） m 0.25 2.5，3） 14 0.14 3，3.5） 6 0.06 3.5，4） 4 0.04 4，4.5） 2 0.02 合计 100 1.00 A0.15 B0.075 C0.3 D15 【解答】 解： 由频率分布表可知， a1.00 （0.04+0.08+0.22+0.25+0.14+0.06+0.04+0.02） 0.15， 则 t= 0.5 = 0.15 0.5 = 0.3 故选：C 5（5分） 如图， 在ABC中，

16、 ABBC4， ABC30， AD是边BC上的高， 则 的值等 第 9 页（共 21 页） 于（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解： = （ + ） = + = | | |cosBAD | |sin30| |cos60 44 1 2 1 2 =4； 故选：B 6 （5 分）函数 f（x）= 2|1的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：由 2|x|10 得|x| 1 2，即 x 1 2，即函数的定义域为x|x 1 2， f（x）= 2|1 = 2|1 = f（x） ，即函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称， 排除 B， 第 10 页（共 21 页） 当 x+，f（x）+，排除

17、 A， 当 0x 1 2时，2|x|10，e xex0，此时 f（x）0，排除 D， 故选：C 7 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a，b0）的左右焦点分别为 F1、F2，圆 x2+y2b2与 双曲线在第一象限内的交点为 M，若|MF1|3|MF2|，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D3 【解答】解：由双曲线的定义可得|MF1|MF2|2a， 若|MF1|3|MF2|，则|MF2|a， 设 M（m，n） ，m0，由双曲线的定义可得 |MF2|= （m 2 ）a， 可得 m= 22 ， 又 2 2 2 2 =1，即 n2b2（ 2 2 1） ， 由|OM|b，可得： m

18、2+n2= 44 2 + 2(422) 2 =b2， 由 b2c2a2， 化为 c23a2， 则 e= = 3 故选：D 8 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）是奇函数，且 f（x）在（，0）上是减函数，f （2）0，则不等式 xf（x+2）0 的解集是（ ） A （，22，+） B4，20，+） C （，42，+） D （，40，+） 【解答】解：根据题意，设 g（x）f（x+2） ，g（x）的图象可以由 f（x）的图象向左平 移 2 个单位得到的， 函数 f（x）是 R 上的奇函数，则函数 g（x）的图象关于点（2，0）对称， 则 g（0）f（2）0，g（4）f（2）0， 则 g

19、（x）的草图如图： 第 11 页（共 21 页） 故 xf（x+2）0xg（x）0 0 () 0或 0 () 0； 则有 x4 或 x2； 即 x 的取值范围为（，42，+） ； 故选：C 二多选题（共二多选题（共 3 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知函数 f（x）x，g（x）x4，则下列结论正确的是（ ） A若 h（x）f（x）g（x） ，则函数 h（x）的最小值为 4 B若 h（x）f（x）|g（x）|，则函数 h（x）的值域为 R C若 h（x）|f（x）|g（x）|，则函数 h（x）有且仅有一个零点 D若 h（x）|f（x）|g（x）|

20、，则|h（x）|4 恒成立 【解答】解：因为函数 f（x）x，g（x）x4， h（x）f（x）g（x）x（x4）（x2）24；故 A 错； h（x）f（x）|g（x）|，x4 时，h（x）x（x4）在区间上单调递增， 所以函数值大于等于零；x4 时，h（x）x（4x）在 x2 处取最大值 4；所以其值域 为 R故 B 对 h（x）|f（x）|g（x）|x|x4|0|x|x4|x2，所以 C 对； 又|x|x4|x（x4）|4；故 D 对； 故选：BCD 10 （5 分）若非零实数 a，b 满足 ab，则下列不等式不一定成立的是（ ） A 1 B + 2 C 1 2 1 2 Da2+ab2+b

21、【解答】解：当 ab0 时， 1 不成立， 第 12 页（共 21 页） 当 0时， + 2不成立， 因为 1 2 1 2 = ; ()2 0，则 1 2 1 2一定成立， 因为 a2b2+ab（ab） （a+b+1）符号不定，故 a2ab2+b 不一定成立 故选：ABD 11 （5 分）已知半径为 10 的球的两个平行截面圆的周长分别是 12 和 16，则这两个截面 圆间的距离为（ ） A2 B4 C12 D14 【解答】解：两个平行截面圆的周长分别是 12 和 16，可得两个半径分别为 6，8， 如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离 OB= 2 12= 102

22、 62=8，OA= 2 22= 102 82=6， 所以平行线间的距离 dOBOA862， 如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离 dOB+OA8+614， 故选：AD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 12 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 81 种 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况， ，对

23、于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则 剩下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法； 故答案为：81 13 （5 分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，即 F（1）F（2）1，F（n）F（n1）+F（n2） （n3，nN*） ，此数列在现代物理“准晶体结构” 、化学等领域都有着广泛的应用若 第 13 页（共 21 页） 此数列被 2 整除后的余数构成一个新数列an，则 a2019 0 ，数列an的前 2019 项 的和为 1346 【解答】解

24、：“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 此数列被 2 整除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0， 即 a11，a21，a30，a41，a51，a60， 数列an是以 3 为周期的周期数列， a2019a30， 数列an的前 2019 项的和为： a1+a2+a3+a2019673 （a1+a2+a3） 67321346， 故答案为：0，1346 14 （5 分）已知函数 f（x）ex（x1）ax+1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x0）0， 则 a 的取值范围是 0，1） 【解答】解：设 g（x）ex（x1） ，yax1，由题知存在唯一的整数

25、 x0，使得 g（x0） ax01 因为 g（x）xex 当 x0 时，g（x）0，即 g（x）单调递减，g（x）的值域为（1，0） ； 当 x0 时，g（x）min1； 当 x0 时，g（x）0，即 g（x）单调递增，g（1）0 且 g（x）的值域为（1，+ ） ， 直线 yax1 恒过点（0，1） 作出图象：图象中红色直线不满足题意，蓝色直线满足题意， 当且仅当 a0，1）时满足题设 故答案为：0，1） 第 14 页（共 21 页） 15 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点 A （2，0）到渐近线的距离为2，则 b 的值为 2 【

26、解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y x， 则右顶点 A（2，0）到渐近线的距离为 d= 2 2+2 = 2 4+2 = 2， 解得 b2， 故答案为：2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 16 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 4bcos2 2 =2b+ 3 2asinB （1）求 cosA； （2）若 a25，c5，求 b 【解答】解： （1）因为 4bcos2 2 =2b+ 3 2asinB， 所以 2b（1+cosA）2c+ 3 2asinB，即 4bcosA3asinB， 由正

27、弦定理可得，4sinBcosA3sinAsinB， 因为 sinB0， 所以 4cosA3sinA， 又 sin2A+cos2A1 且 sinA0，cosA0， 所以 cosA= 3 5； （2）由余弦定理可得，cosA= 3 5 = 2+2520 10 ， 第 15 页（共 21 页） 整理可得，b26b+50， 解可得，b1 或 b5 17 （12 分）已知等差数列an的前 2m1 项中，奇数项的和为 56，偶数项的和为 48，且 a23（其中 mN*） （1）求数列an的通项公式； （2）若1，2，是一个等比数列，其中 k11，k25，求数列kn的通项 公式； （3）若存在实数 a，b，

28、使得 (1) 3 对任意 nN*恒成立，求 ba 的最小值 【解答】解： （1）由题意，1:21 2 = 56，2:22 2 ( 1) = 48， 因为 a2+a2m2a1+a2m1，所以 ;1 = 7 6，解得 m7 所以 a1+a1316，因为 a1+a13a2+a12，且 a23，所以 a1213 设数列an公差为 d，则 10da12a210，所以 d1 所以 a12，通项公式= + 1( )； （2）由题意，1= 1= 2，2= 5= 6， 设这个等比数列公比为 q，则 = 5 1 = 3那么= 2 3;1， 另一方面= + 1，所以= 2 3;1 1； （3）记= (1) 3 =

29、21 3 ， 则:1 = (+1)21 3+1 21 3 = 22+2+3 3+1 ， 因为 nN*，所以当 n2 时，2n2+2n+32n（n1）+30，即 cn+1cn， 又2 1= 1 3 0，所以当 n2 时，cn的最大值为2= 1 3，所以 1 3 又 c10，当 n1 时，cn0， 所以，当 n1 时，cn的最小值 c10，所以 a0 综上，ba 的最小值为1 3 18 （12 分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检 测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标 Z 来衡量产品的质量当 Z8 时，产品为 优等品；当 6Z8 时，产品为一等品；当 2Z6

30、 时，产品为二等品，第三方检测机 构在该产品中随机抽取 500 件，绘制了这 500 件产品的质量指标 Z 的条形图用随机抽 第 16 页（共 21 页） 取的 500 件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率 （1）从该企业生产的所有产品中随机抽取 1 件，求该产品为优等品的概率； （2）现某人决定购买 80 件该产品已知每件成本 1000 元，购买前，邀请第三方检测机构 对要购买的 80 件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下 协议：从 80 件产品中随机抽出 4 件产品进行检测，若检测出 3 件或 4 件为优等品，则按 每件 1600 元

31、购买， 否则按每件 1500 元购买， 每件产品的检测费用 250 元由企业承担 记 企业的收益为 X 元，求 X 的分布列与数学期望： （3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖“活动，客户可根据 抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是1 2方格图 上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格50 机器人开始在第 0 格，客户每掷一次硬币，机器人 向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从 k 到 k+1） ，若携出反面，机器人 向前移动两格（从 k 到 k+2） ，直到机器人移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格（失败 大本营）时，游

32、戏结束，若机器人停在“胜利大本营“，则可获得优惠券，设机器人移 到第 n 格的概率为 Pn（0n50，nN*） ，试证明PnPn1（1n49，nN*）是等 比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买：该款产品 【解答】 解： （1） 根据条形图可知， 优等品的频率为121:87:42 500 = 1 2， 用频率估计概率， 则任取一件产品为优等品的概率为 P= 1 2 （2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为1 2， 由题意 X（16001000）80250447000 或 X（15001000）80250439000 P（X47000）= 4 4(1 2) 4 + 4 3(1 2) 4 = 5

33、16 P（X39000）= 4 0(1 2) 4 + 4 1(1 2) 4 + 4 2(1 2) 4 = 11 16 故 X 的分布列为： 第 17 页（共 21 页） X 47000 39000 P 5 16 11 16 所以数学期望 EX47000 5 16 +39000 11 16 =41500 （3）机器人在第 0 格为必然事件，P01，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第 1 格， 其概率 P1= 1 2机器人移到第 n（2n49）格的情况只有两种： 先到第 n2 格，又出现反面，其概率1 2Pn 2， 先到第 n1 格，又出现正面，其概率1 2Pn 1 所以 Pn= 1 2Pn1+

34、1 2Pn2， 故 PnPn1= 1 2（Pn1Pn2） ， 所以 1n49 时，数列PnPn1为首项 P1P0= 1 2，公比为 1 2的等比数列 所以 P1P0= 1 2，P2P1= ( 1 2) 2，P3P2= (1 2) 3，PnPn1= (1 2) 以上各式累加，得 Pn1= 1 2 + ( 1 2) 2 + ( 1 2) 3 + + ( 1 2) = 1 21( 1 2) 1(1 2) Pn= 2 3 + 1 3 ( 1 2) （n0，1，2，49） 获胜概率 P49= 2 3 + 1 3 ( 1 2) 49 失败概率 P50= 1 2P48= 1 3 1 ( 1 2) 49 =1

35、 3 1 + (1 2) 49 P49P50= 2 3 + 1 3( 1 2) 49 1 31 + ( 1 2) 49 =1 3 1 (1 2) 480，所以获胜概率更大， 故此方案能吸引顾客购买该款产品 19 （12 分） 四边形 ABCD 是菱形， ACEF 是矩形， 平面 ACEF平面 ABCD， AB2AF2， BAD60，G 是 BE 的中点 （）证明：CG平面 BDF （）求二面角 EBFD 的余弦值 第 18 页（共 21 页） 【解答】 （ I） 证法一：设 ACBDO，BF 的中点为 H，因为 G 是 BE 的中点， ， = 1 2 = ， OCGH 是平行四边形CGOH，C

36、G平面 BDF， OH平面 BDF， CG平面 BDF 证法二：因为 G 是 BE 的中点，2 = + = + = ， CGDF， CG平面 BDF，DF平面 BDF， CG平面 BDF （ II） 设 EF 的中点为 N，ACEF 是矩形，ONAC，平面 ACEF平面 ABCD， ON面 ABCDONAC，ONBD 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 以 O 为原点，OB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 Y 轴，ON 所在直线为 Z 轴 建立空间 直角坐标系， AB2，AF1，BAD60， 则 = (2，0，0)， = (1， 3，1)， = (0， 23，0) 第 19 页（共

37、21 页） 平面 BEF 的法向量为1 = (1，1，1)，平面 BDF 的法向量为2 = (2，2，2)， 1 = 0 1 = 0 231 = 0 1 31+ 1= 0令 z11，则1 = (1，0，1)， 由2 = 0 2 = 0 22 = 0 2 32+ 2= 0 2 = (0，1，3) 设二面角 EBFD 的大小为 则 = |1， 2 | = | 3 22 | = 6 4 ， 则二面角 EBFD 的余弦值是 6 4 20 （12 分）已知两点 F1（3，0） 、F2（3，0） ，设圆 O：x2+y24 与 x 轴交于 A、B 两 点，且动点 P 满足：以线段 F2P 为直径的圆与圆 O

38、 相内切，如图所示，记动点 P 的轨迹 为，过点 F2与 x 轴不重合的直线 l 与轨迹交于 M、N 两点 （1）求轨迹的方程； （2）设线段 MN 的中点为 Q，直线 OQ 与直线 x= 43 3 相交于点 R，求证：2 l； （3）记ABM、ABN 面积分别为 S1、S2，求|S1S2|的最大值及此时直线 l 的方程 【解答】 （1）解：依题意：设|PF2|的中点为 C，切点为 T，由图可知 OC 为F1PF2的中 位线， 所以|1| + |2| = 2| + 2|2| = 2 2 = 423， 所以点 P 的轨迹为椭圆，所以 a2，c= 3，b1 第 20 页（共 21 页） 所以方程为

39、 2 4 + 2= 1 （2）证明：设直线 yk（x3） （k0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） 所以 2 4 + 2= 1 = ( 3) ，整理得2+ 42( 3)2= 4， 变形为(1 + 42)2 832 + 122 4 = 0， 所以1+ 2= 832 1+42，1 2= 1224 1+42 点 Q 的横坐标0= 1+2 2 = 432 1+42 点 Q 的纵坐标0= (0 3) = (4 32 1+42 3) = 3 1+42 直线 OQ 为 = 1 4与直线 x= 43 3 相交于点 R，所以 R（43 3 ， 3 3） 由2 = ( 3 3 ， 3 3)，直线 l 的方

40、向向量（1，k） ， 所以2 = 0，即：2 l； （3）在（2）的基础上设点 M 和 N 在 x 轴的上下两侧， 所以1= 1 2 | ，2= 1 2 | | = 1 2 | |1 2| = 1 2 |+ | 由1 = (1 3) 2= (2 3) ，所以1+ 2= (1+ 2 23)，代入1+ 2= 832 1+42， 所 以 |1 2| = 1 2 4 |(8 32 1+42 23)| = 43 | 1+42 | = 43 | 1 4+1 | 4 3 1 4 = 3， 当且仅当 4k= 1 ，即 k= 1 2时，|S1S2|的最大值为3， 直线方程为 = 1 2( 3) 21 （12 分

41、）已知函数 g（x）x2ax+1 （1）求 g（x）0 的解集； （2）已知函数() = 1 + ，当 a2 时，x1、x2是 yg（x）的两个零点，证明： (1);(2) 1;2 2 （可能用到的参考结论：函数 = 2 + 1 在区间（0，+）上单调递减） 第 21 页（共 21 页） 【解答】解： （1）x2ax+10，a24 0 时，解得2a2，g（x）0 的解集为； 0，解得 a2 或 a2 时，由 x2ax+10，解得 x= 24 2 x2ax+10，解得; 2;4 2 x +24 2 g（x）0 的解集为x|; 2;4 2 x +24 2 （2）证明：当 a2 时，x1、x2是 yg（x）的两个零点， x1+x2a，x1x21 不妨设 0x11x2 函数() = 1 + ，要证明：(1