2020年北京市高考数学模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年北京高考数学模拟试卷年北京高考数学模拟试卷 3 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知命题 p：xR，x4+x0，则p 是（ ） AxR，x4+x0 BxR，x4+x0 Cx0R，x04+x00 Dx0R，x04+x00 2 （4 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 3（4分） 定义在R上的偶函数f （x） 满足： 任意x1， x20， +）（x1x2） ， 有(2)(1

2、) 21 0， 则 （ ） Af（223）f（log31 9）f（1 2 2） Bf（1 2 2）f（log31 9）f（2 23） Cf（log31 9）f（1 2 2）f（223） Df（223）f（1 2 2）f（log31 9） 4 （4 分）已知 = 3 1 2， = 23，clog92，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 5 （4 分）某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 n 的样本， 其频率分布直方图如图所示，其中支出在20，40） （单位：元）的同学有 34 人，则 n 的 值为（ ） A100 B1000 C90

3、 D90 6 （4 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 17 页） A2 B4 3 C2 3 D1 3 8 （4 分）已知 = ， = ， = ，则 + + = 0是 A，B，C 三点构成三角形的 （ ） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 9 （4 分）如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线 yx 等分成八个区域（不含 边界） ，已知数列an，Sn表示数列an的前 n 项和，对任意的正整数 n，均有 an（2Sn

4、 an）1，当 an0 时，点 Pn（an，an+1） （ ） A只能在区域 B只能在区域和 C在区域均会出现 D当 n 为奇数时，点 Pn在区域或，当 n 为偶数时，点 Pn在区域或 10 （4 分）下列关于三次函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） （xR）叙述正确的是（ ） 函数 f（x）的图象一定是中心对称图形； 函数 f（x）可能只有一个极值点； 当0 3时，f（x）在 xx0 处的切线与函数 yf（x）的图象有且仅有两个交点； 第 3 页（共 17 页） 当0 3时，则过点（x0，f（x0） ）的切线可能有一条或者三条 A B C D 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满

5、分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分） 如果 x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x） +a2（1+x） 2+a9 （1+x） 9+a10 （1+x） 10，则 a9 ，a10 12 （5 分） 已知 aR， 复数 = 2+的实部为 1 （i 为虚数单位） ， 则复数 z 的虚部为 13 （5 分）在正项等比数列an中，若 2a51，8a6+2a4a2，则 S6的值为 14（5 分） 已知点 A （0， 2） ， 动点 P （x， y） 的坐标满足条件 0 ， 则|PA|的最小值是 15 （5 分）已知下列命题： 命题“xR，x2+13x“的否定是“x

6、R，x2+13x“ 已知 p，q 为两个命题，若“pq”为假命题“ （p）（q） ”为真命题； “a2”是“a5”的充分不必要条件； “若 xy0，则 x0 且 y0”的逆否命题为真命题 其中所有真命题的序号是 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （13 分）已知向量 =（2sinx，cosx） ， =（3cosx，2cosx） （1）若 xk+ 2，kZ，且 ，求 2sin2xcos2x 的值； （2）定义函数 f（x）= +1，求函数 f（x）的单调递减区间；并求当 x0， 2时， 函数 f（x）的值域 17 （14 分）某市有一家大型共享汽车公司，在

7、市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车， 已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为 3：1监管部门为了了解这两种颜色汽车的质 量决定从投放到市场上的汽车中随机抽取 5 辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽 取的可能性相同 （）求抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率； （）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽 车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则 将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并 规定抽样的次数不超过 n，（nN*） 次 在抽样结束时， 若已取到的黄色次车数以 表示， 第

8、4 页（共 17 页） 求 的分布列和数学期望 18 （15 分）在如图所示的几何体中，EA平面 ABC，DBEA，ACBC，且 BCBD3， AE2，AC32，AF2FB （1）求证：CFEF； （2）求二面角 DCEF 的余弦值 19 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1(0)的四个顶点围成的 四边形面积为22，圆 O：x2+y21 经过椭圆 E 的短轴端点 （）求椭圆 E 的方程； （）过椭圆 E 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆 E 相交于 A，C 和 B，D 四 点，求四边形 ABCD 面积的最小值 20 （15 分）已知 f（x）e

9、xax2，函数 g（x）f（x）+ax2lnx （1）求函数 g（x）图象在（1，g（1） ）处的切线； （2）若 f（x）x+1 在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围 21 （14 分） 设 A， B 均为非空集合， 且 AB， AB1， 2， 3， ， n （n3， nN*） 记 A，B 中元素的个数分别为 a，b，所有满足“aB，且 bA”的集合对（A，B）的个数为 an （1）求 a3，a4的值； （2）求 an 第 5 页（共 17 页） 2020 年北京高考数学模拟试卷年北京高考数学模拟试卷 3 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分

10、小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知命题 p：xR，x4+x0，则p 是（ ） AxR，x4+x0 BxR，x4+x0 Cx0R，x04+x00 Dx0R，x04+x00 【解答】解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论， 即x0R，x04+x00 故选：C 2 （4 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 【解答】解：Ax|2x1，Bx|x22x30x|x1 或 x3， ABx|2x1 故选：A 3（4分） 定义在R上的偶函数f （x） 满足： 任

11、意x1， x20， +）（x1x2） ， 有(2)(1) 21 0， 则 （ ） Af（223）f（log31 9）f（1 2 2） Bf（1 2 2）f（log31 9）f（2 23） Cf（log31 9）f（1 2 2）f（223） Df（223）f（1 2 2）f（log31 9） 【解答】解：任意 x1，x20，+） （x1x2） ，有(2)(1) 21 0， 函数在0，+）上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，函数在（，0）上单调递增，距离对称轴越远，函数值越 小， (223) =f（3） ，(3 1 9) =f（2）f（2） ，(1 2 2) =f（1） ， 则(223)(3 1

12、 9)(1 2 2) 第 6 页（共 17 页） 故选：A 4 （4 分）已知 = 3 1 2， = 23，clog92，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 【解答】解； = 3 1 2（1，2） ， = 2 3 22 = 1 2， 2 3 22 = 1， 1 2 1， clog92log93= 1 2， 则 abc， 故选：A 5 （4 分）某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 n 的样本， 其频率分布直方图如图所示，其中支出在20，40） （单位：元）的同学有 34 人，则 n 的 值为（ ） A100 B1000 C90 D

13、90 【解答】解：由频率分布直方图可知，支出在20，40）的同学的频率为（0.01+0.024） 100.34， = 34 0.34 = 100， 故选：A 6 （4 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， ( )2= 2 2 + 2 = 1 2 1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 第 7 页（共 17 页） 故选：D 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A2 B4 3 C2 3 D1 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何

14、体为： 该几何体为底边为直角三角形，高为 2 的三棱锥体 如图所示： 所以 V= 1 3 1 2 2 1 2 = 2 3 故选：C 8 （4 分）已知 = ， = ， = ，则 + + = 0是 A，B，C 三点构成三角形的 （ ） A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：由向量加法的三角形法则得，当 A、B、C 三点构成三角形时， 有 + + = 0成立，即必要分性成立； 当 + + = 0时，三点共线或 A、B、C 三点能构成三角形， 则充分性不成立 第 8 页（共 17 页） 故选：C 9 （4 分）如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线

15、yx 等分成八个区域（不含 边界） ，已知数列an，Sn表示数列an的前 n 项和，对任意的正整数 n，均有 an（2Sn an）1，当 an0 时，点 Pn（an，an+1） （ ） A只能在区域 B只能在区域和 C在区域均会出现 D当 n 为奇数时，点 Pn在区域或，当 n 为偶数时，点 Pn在区域或 【解答】解：任意的正整数 n，均有 an（2Snan）1， 则 Sn= 1 2（an+ 1 ） ， Sn+1= 1 2（an+1+ 1 +1） ， an+1= 1 2（an+1an+ 1 +1 1 ） ， 即 an+1 1 +1 = an 1 ， an0， an+1 1 +1 0， 解得 a

16、n+11 或 0an+11， 故点 Pn（an，an+1）只能在区域和 故选：B 10 （4 分）下列关于三次函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） （xR）叙述正确的是（ ） 函数 f（x）的图象一定是中心对称图形； 函数 f（x）可能只有一个极值点； 当0 3时，f（x）在 xx0 处的切线与函数 yf（x）的图象有且仅有两个交点； 第 9 页（共 17 页） 当0 3时，则过点（x0，f（x0） ）的切线可能有一条或者三条 A B C D 【解答】解：由三次函数的性质可知，f（x）的图象一定是中心对称图形，所以正确； 函数 f（x）的导数为：f（x）3ax2+2bx+c，令 f（

17、x）0，方程的解有 2 个不相等 的实数根时，由 2 个极值点，由重根与无根，则没有极值点，所以说可能只有一个极值 点，不正确； 当0 3时，f（x）在 xx0 处的切线与函数 yf（x）的图象有且仅有两个交点；反 例，函数的对称中心处的切线与函数有 3 个交点，如图： 所以不正确； 当0 3时，则过点（x0，f（x0） ）的切线可能有一条或者三条，正确； 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分） 如果 x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x） +a2（1+x） 2+a9 （1+x） 9+a10 （1+x）

18、 10，则 a9 9 ，a10 1 【解答】解：由 x+x2+x3+x9+x10a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a9（1+x）9+a10 （1+x）10， 左右两边相等可得：a10等式左边 x10的系数 1； a9+a1010 9 =等式左边 x9的系数 1； a101；a9+a1010 9 =a9+10a101a99； 故答案为：9，1 12 （5 分） 已知 aR， 复数 = 2+的实部为 1 （i 为虚数单位） ， 则复数 z 的虚部为 1 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：复数 = 2+， z= 2+ = ()(2) (2+)(2) = (21)(+2) 5 = 21

19、5 +2 5 i， 复数的实部为 1， 21 5 =1，a3， +2 5 = 1， 复数 z 的虚部为：1， 故答案为：1 13 （5 分）在正项等比数列an中，若 2a51，8a6+2a4a2，则 S6的值为 63 4 【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为 q，则 q0； 若 8a6+2a4a2，则 8q4+2q21， 解可得：q2= 1 4或 1 2（舍） ， 又由 q0，则 q= 1 2， 若 2a51，则 a5= 1 2，a1= 5 4 =8， 则 S6= 1(16) 1 = 8(1 1 26) 11 2 = 63 4 ； 故答案为：63 4 14 （5 分）已知点 A（0，2

20、） ，动点 P（x，y）的坐标满足条件 0 ，则|PA|的最小值是 2 【解答】解：动点 P（x，y）所满足的可行域如图： 则|AP|的最小值转化成点 A 到直线 yx 的距离 d= |2| 2 = 2， 第 11 页（共 17 页） 故答案为：2 15 （5 分）已知下列命题： 命题“xR，x2+13x“的否定是“xR，x2+13x“ 已知 p，q 为两个命题，若“pq”为假命题“ （p）（q） ”为真命题； “a2”是“a5”的充分不必要条件； “若 xy0，则 x0 且 y0”的逆否命题为真命题 其中所有真命题的序号是 【解答】解：对于，命题“xR，x2+13x“的否定是 “xR，x2+

21、13x” ，正确； 对于，若“pq”为假命题，则 p 为假命题，且 q 为假命题， p 是真命题，且q 是真命题， “ （p）（q） ”为真命题，正确； 对于，a2 时，a5 不成立，即充分性不成立， a5 时，a2 成立，即必要性成立， “a2”是“a5”的必要不充分条件，错误； 对于，当 xy0 时，有 x0 或 y0， 命题“若 xy0，则 x0 且 y0”是假命题， 它的逆否命题为假命题，错误 综上，正确的命题是 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （13 分）已知向量 =（2sinx，cosx） ， =（3cosx，2cosx） （1

22、）若 xk+ 2，kZ，且 ，求 2sin2xcos2x 的值； （2）定义函数 f（x）= +1，求函数 f（x）的单调递减区间；并求当 x0， 2时， 函数 f（x）的值域 【解答】解（1）由 可得23 + 22 = 0， 因为 x 1 2 + ， 所以 cosx0， 第 12 页（共 17 页） 故 tanx= 3 3 ， 故 sin2xcos2x= 221 2+1 = 1 4； （2）f（x）= +123sinxcosx+2cos2x+1= 32 +cos2x+2， 2sin（2x+ 6）+2， 令1 2 + 2 2x+ 6 3 2 + 2可得， 6 + 2 3 + ， 故函数的单调递

23、减区间为k + 6 ， + 2 3 ，kZ， 因为 x ,0， 1 2 -，所以 2x+ 6 , 6 ， 7 6 -， 所以 sin（2x+ 6） , 1 2 ，1-， 故函数的值域1，4 17 （14 分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车， 已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为 3：1监管部门为了了解这两种颜色汽车的质 量决定从投放到市场上的汽车中随机抽取 5 辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽 取的可能性相同 （）求抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率； （）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽 车中随机地抽

24、取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则 将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并 规定抽样的次数不超过 n，（nN*） 次 在抽样结束时， 若已取到的黄色次车数以 表示， 求 的分布列和数学期望 【解答】解： （）黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为 3：1 任取 1 辆汽车取到蓝色汽车的概率为1 4， 从投放到市场上的汽车中随机抽取 5 辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量 XB（5，1 4） ， 抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率： P（X2）= 5 2(1 4) 2(3 4) 3 = 5 512 （） 的可能取值

25、为 0，1，2，n， 第 13 页（共 17 页） P （0） = 1 4， P （1） = 3 4 1 4， P （2） = ( 3 4) 2 1 4， ， P （n1） = ( 3 4) 1 1 4， P （n） = (3 4) ， 的分布列为： 0 1 2 n1 n P 1 4 3 4 1 4 (3 4) 2 1 4 (3 4) 1 1 4 (3 4) E（）= 3 4 1 4 + 2 (3 4) 2 1 4 + + ( 1) (3 4) 1 1 4 + (3 4) ， 3 4E（）= ( 3 4) 2 1 4 + 2 (3 4) 3 1 4 + + ( 1) (3 4) + (3 4)

26、 +1， ，得： 1 4E（）= 3 4 1 4 + (3 4) 2 1 4 + (3 4) 3 1 4 + + (3 4) 1 1 4 + (3 4) 1 4 E（）= 3 4 + (3 4) 2 + (3 4) 3 + + (3 4) = 3 4,1( 3 4) - 13 4 33(3 4) 18 （15 分）在如图所示的几何体中，EA平面 ABC，DBEA，ACBC，且 BCBD3， AE2，AC32，AF2FB （1）求证：CFEF； （2）求二面角 DCEF 的余弦值 【解答】证明： （1）AC32，BC3，ACBC，AB33， AF2FB，FB= 3， 又 cosB= = 3 33

27、 = 1 3， CF2BC2+BF22BCBFcosB6， CF2+BF2BC2，CFAB， EA平面 ABC，CF平面 ABC，CFEA 第 14 页（共 17 页） 解： （）连结 DF，在 RtEAF 中，EF= 2+ 2= 4 + 12 =4， 在 RtDBF 中，DF= 2+ 2= 3 + 9 =23， 在直角梯形 EABD 中，ED= 2+ ( )2= 27 + (3 2)2=27， ED2EF2+DF2，DFEF， CF平面 EABD，DFCF， EFCFF，DF平面 EFC，DFEC， 过 D 作 DGEC 于 G，则 EC平面 DFG， 连结 FG，则 ECFG， DGF 是

28、二面角 DCEF 的平面角， 在 RtEFC 中，FG= = 46 22， 在 RtDFG 中，cos = = 215 15 ， 二面角 DCEF 的余弦值为215 15 19 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1(0)的四个顶点围成的 四边形面积为22，圆 O：x2+y21 经过椭圆 E 的短轴端点 （）求椭圆 E 的方程； （）过椭圆 E 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆 E 相交于 A，C 和 B，D 四 点，求四边形 ABCD 面积的最小值 【解答】解： （）由题意可知： 2 = 22 = 1 2= 2+ 2 ，解得 = 2 = 1 =

29、 1 ， 第 15 页（共 17 页） 椭圆 E 的方程为： 2 2 + 2= 1； （）易知椭圆 E 的右焦点坐标为（1，0） ， 当直线 AC 的斜率不存在或为 0 时，S四边形ABCD= 1 2 | | = 1 2 2 22 = 22= 2， 当直线 AC 的斜率存在时，不妨设为 k （k0） ，则直线 BD 的斜率为 1 ，直线 AC 的 方程为：yk（x1） ， 联立方程 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，消去 y 得： （2k2+1）x24k2x+2（k21）0， 右焦点在椭圆 E 内，故此方程的0， 设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 则有1+ 2= 42 22+1

30、，12 = 2(21) 22+1 ， |AC|= 1 + 2 |1 2| = 22(2+1) 22+1 ， 将 k 替换为 1 ，得|BD|= 22(2+1) 2+2 ， S四边形ABCD= 1 2 | | = 4(2+1) (22+1)(2+2)， 令 t1+k2，则 t1， S四边形ABCD= 42 22+1 = 4 (1 1 2) 2+9 4 16 9 ，当 t2，即 k1 时，等号成立， 2 16 9 ， 四边形 ABCD 的面积的最小值为16 9 20 （15 分）已知 f（x）exax2，函数 g（x）f（x）+ax2lnx （1）求函数 g（x）图象在（1，g（1） ）处的切线；

31、 （2）若 f（x）x+1 在 x0 时恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）g（x）exlnx，g（1）e，() = 1 ，g（1）e1， 故 g（x）在（1，g（1） ）处切线方程 y（e1）x+1， （2）令 h（x）exax2x1，则 h（x）ex12ax，h（0）h（0）0， 令 k（x）exx1，则 k（x）ex1， 当 x0 时，k（x）0，函数单调递增，当 x0 时，k（x）0，函数单调递减， 第 16 页（共 17 页） 故当 x0 时，k（x）取得最小值 k（0）0，即 exx+1， 故 h（x）x2axx（12ax） ， 当 a 1 2时，h（x）0，函数

32、h（x）单调递增，h（x）h（0）0，即 f（x）x+1， 当 a 1 2时，由 x0 时，由 e xx+1 可得 ex1x， h（x）ex1+2a（e x1）ex（ex1） （ex2a） ， 故当 x（0，ln2a）时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）0，f（x） x+1 不成立， 综上 a 的范围（，1 2 21 （14 分） 设 A， B 均为非空集合， 且 AB， AB1， 2， 3， ， n （n3， nN*） 记 A，B 中元素的个数分别为 a，b，所有满足“aB，且 bA”的集合对（A，B）的个数为 an （1）求 a3，a4的值； （2）求 an 【解答】解： （

33、1）当 n3 时，AB1，2，3，且 AB， 若 a1，b2，则 1B，2A，共1 0种； 若 a2，b1，则 2B，1A，共1 1种， 所以 a3= 1 0 + 1 1 = 2； 当 n4 时，AB1，2，3，4，且 AB， 若 a1，b3，则 1B，3A，共2 0种； 若 a2，b2，则 2B，2A，这与 AB矛盾； 若 a3，b1，则 3B，1A，共2 2种， 所以 a4= 2 0 + 2 2 = 2 （2）当 n 为偶数时，AB1，2，3，n，且 AB， 若 a1，bn1，则 1B，n1A，共2 0 （考虑 A）种； 若 a2，bn2，则 2B，n2A，共2 1 （考虑 A）种； 若 a= 2 1，b= 2 + 1，则 2 1B， 2 + 1A，共2 22（考虑 A）种； 若 a= 2，b= 2，则 2B， 2A，这与 AB矛盾； 第 17 页（共 17 页） 若 a= 2 + 1，b= 2 1，则 2 + 1B， 2 1A，共2 2 （考虑 A）种； 若 an1，b1，则 n1B，1A，共（考虑 A）2 2种， 所以 an= 2 0 + 2 1 + + 2 22 + 2 2 + + 2 2 = 22 2 21； 当 n 为奇数时，同理得，an= 2 0 + 2 1 + + 2 2 = 22， 综上得，= 2 2 2 21，为偶数 22，为奇数.