1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年上海市年上海市高考数学模拟试卷（高考数学模拟试卷（1） 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Mx| 1，且3M，则 k 的取值范围是 2 （5 分） 3+1+2 3+1 = 3 （5 分）已知向量 与 的夹角为 60，| |2，| |3，则|3 2 | 4 （5 分）(1 + 1 2)(1 + ) 6展开式中 x2的系数为 5 （5 分）数列an中，an+1an+a3对 nN*恒成立，且 a64，an+2bn2，cnbnbn+2，则 数列cn的前 8 项之和为 6 （5
2、 分）已知集合 A2，1， 1 2， 1 3， 1 2，1，2，3，任取 kA，则幂函数 f（x） xk为偶函数的概率为 （结果用数值表示） 7 （5 分）函数 f（x）cos2x 的最小正周期是 ，单调递增区间是 8 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 + ， + 2 2， 0. 若 z2xy 的最小值为1，则 m ，z 的最大值是 9 （5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球 的半径为 10 （5 分）在ABC 中，a= 2b，sinC= 3sinB，则 cosB 11（5 分） 已知 a， bR， 且满足 2ab4a+3b80， 则 a2+
3、2b2+3a8b 的最小值是 12 （5 分）已知函数 f（x）ex，若函数 g（x）（x2）2f（x） () +2a|x2|有 6 个 零点，则实数 a 的取值范围为 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （ ） A1 B0 C1 D2 14 （5 分）设 xR，则“|x1|1”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 2 页（共 16 页） 15 （5 分）如果执行如图所示的程序
4、框图，那么输出的 S 等于（ ） A2 450 B2 500 C2 550 D2 652 16 （5 分） 已知抛物线 y24x 的焦点为 F， 准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点， 且，满足|NF|= 3 2 |MN|，则点 F 到 MN 的距离为（ ） A1 2 B1 C3 D2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中，ABC120，将ABD 沿 BD 折起， 使点 A 到达 A1的位置，且二面角 A1BDC 为 60 （1）求异面直线 A1C 与 BD 所成角的大小； （2）若点 E
5、为 A1C 中点，求直线 BE 与平面 A1DC 所成角的正弦值 18 （14 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC= 2 ， = 2， = 3 （1）若ACB= 6 ， = 3，求 BD； （2）若 DC= 3AB，求 cosACB 19 （16 分）已知等差数列an的公差 d0，若 a611，且 a2，a5，a14成等比数列 （1）求数列an的通项公式； 第 3 页（共 16 页） （2）设= 1 +1，求数列bn的前 n 项和 Sn 20 （14 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，F1、F2分别 为楠圆 E 的左、右焦点，点 P 在椭圆 E
6、上，以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，线段 F1P 与 y 轴交于点 B，且|F1P|F1B|6 （1）求椭圆 E 的方程； （2） 设动直线 l 与椭圆 E 交于 M、 N 两点， 且 = 0 求证： 动直线 l 与圆2+ 2= 4 5 相切 21 （14 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c 的两个零点 x1，x2，且 f（1）2a （）求 的取值范围； （）若 ac，且函数 g（x）f（xx1）+f（xx2）在区间0，1上的最大值为2 ，试 判断点（a，b）是否在直线 x+y1 上？并说明理由 第 4 页（共 16 页） 2020 年上海市年上海市高考数学模拟试卷（高考数学模拟
7、试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Mx| 1，且3M，则 k 的取值范围是 （，3） 【解答】解：因为 1: 0x（x+k）0； 3M， （3） （3+k）0k3； k 的取值范围是： （，3） ； 故答案为： （，3） 2 （5 分） 3+1+2 3+1 = 3 【解答】解： 3+1+2 3+1 = 3+(2 3) 1+(1 3) = 3+0 1+0 =3 故答案为：3 3 （5 分）已知向量 与 的夹角为 60，| |2，| |3，则|3 2 | 6 【解
8、答】解：根据题意，向量 与 的夹角为 60，且| | = 2，| | = 3， 则 =23cos603， 则|3 2 |29 212 +4 2 36， 则|3 2 |6； 故答案为：6 4 （5 分）(1 + 1 2)(1 + ) 6展开式中 x2的系数为 30 【解答】解：当（1+ 1 2）选择 1 时， （1+x） 6 展开式选择 x2的项为6 22；当（1+ 1 2）选 择 1 2时， （1+x） 6 展开式选择为6 44， 所以（1+ 1 2） （1+x） 6 展开式6 2 + 6 4 =30； 故答案为：30 5 （5 分）数列an中，an+1an+a3对 nN*恒成立，且 a64，
9、an+2bn2，cnbnbn+2，则 第 5 页（共 16 页） 数列cn的前 8 项之和为 116 45 【解答】解：由题意，由 an+1an+a3对 nN*恒成立，可得 当 n3 时，a4a3+a32a3 当 n4 时，a5a4+a33a3 当 n5 时，a6a5+a33a3+a34a34，解得 a31 an+1an+1， 数列an是以 1 为公差的等差数列 a3a1+211，解得 a11 an1+n1n2，nN* bn= 2 +2 = 2 cnbnbn+2= 4 (+2) =2（1 1 :2） 数列cn的前 8 项之和为 c1+c2+c3+c4+c7+c8 2（1 1 3）+2（ 1 2
10、 1 4）+2（ 1 3 1 5）+2（ 1 4 1 6）+2（ 1 7 1 9）+2（ 1 8 1 10） 2（1+ 1 2 1 9 1 10） = 116 45 故答案为：116 45 6 （5 分）已知集合 A2，1， 1 2， 1 3， 1 2，1，2，3，任取 kA，则幂函数 f（x） xk为偶函数的概率为 1 4 （结果用数值表示） 【解答】解：集合 A2，1， 1 2， 1 3， 1 2，1，2，3，任取 kA， 基本事件总数 n8， 幂函数 f（x）xk为偶函数包含的基本事件个数 m2， 幂函数 f（x）xk为偶函数的概率为 P= = 2 8 = 1 4 故答案为：1 4 7
11、（5 分）函数 f（x）cos2x 的最小正周期是 ，单调递增区间是 k+ 2，k+，kZ 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：函数 f（x）cos2x= 1 2cos2x+ 1 2， 可得最小正周期 T= 2 2 =， 令 2k+2x2k+2，kZ，可得 k+ 2 xk+，kZ， 可得单调递增区间是k+ 2，k+，kZ 故答案为：，k+ 2，k+，kZ 8 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 + ， + 2 2， 0. 若 z2xy 的最小值为1，则 m 1 ，z 的最大值是 4 【解答】解：先作出实数 x，y 满足约束条件 + ， + 2 2， 0. 的可行域如图， 目标函数 z
12、2xy 的最小值为：1， 由图象知 z2xy 经过平面区域的 A 时目标函数取得最小值1 由2 = 1 + 2 = 2 ，解得 A（0，1） ， 同时 A（0，1）也在直线 x+ym0 上， 1m0， 则 m1， z2xy 过点 C（2，0）时取最大值； 所以其最大值为 z2204 故答案为：1.4 9 （5 分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球 第 7 页（共 16 页） 的半径为 21 6 【解答】解：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上， 所以该三棱柱为正三棱柱 如图所示 该几何体的外接球的球心为 O，AB= 2 3 2
13、 (1 2) 2 = 3 3 ， OA= 2， 所以 = =( 3 3 )2+ ( 2) 2 =7 2 12 = 21 6 ， 故答案为： 21 6 10 （5 分）在ABC 中，a= 2b，sinC= 3sinB，则 cosB 6 3 【解答】解：a= 2b，sinC= 3sinB， 由正弦定理可得 c= 3b， 由余弦定理可得 cosB= 2+22 2 = (2)2+(3)22 223 = 6 3 故答案为： 6 3 11 （5 分）已知 a，bR，且满足 2ab4a+3b80，则 a2+2b2+3a8b 的最小值是 22 41 4 【解答】解：a，bR，且满足 2ab4a+3b80，整理
14、得，2a（b2）+3（b2） 2，即（b2） （a+ 3 2）1；a+ 3 2 = 1 2； 则 a2+2b2+3a8b（a+ 3 2） 2+2（b2）241 4 = 1 (2)2 +2（b2）2 41 4 ， 根据重要不等式 a2+b22ab，得求得， 1 (;2)2 +2（b2）2 41 4 22（b2） 1 2 41 4 =22 41 4 ， 第 8 页（共 16 页） 当且仅当2（b2）= 1 2，即 b2 1 2 4 时取等号； 解析式的最小值为：22 41 4 故答案为：22 41 4 12 （5 分）已知函数 f（x）ex，若函数 g（x）（x2）2f（x） () +2a|x2|
15、有 6 个 零点，则实数 a 的取值范围为 2 1;2 1 【解答】解：对于 g（x）0，令 t|x2|ex， t2+2ata0有两个正根 t1，t2 做出 t|x2|ex的图象如右图： （ = ( 2) ， 2 (2 )，2 ，= ( 1)， 2 (1 )，2 ， x2 时，t0；1x2 时，t0；x1 时，t0 该函数在（，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+）递增， 且 t0 恒成立且当 yti与 t|x2|ex各有三个交点时，满足题意， 据图可知方程在（0，e）上有两个不等实根时即可，令 h（t）t2+2ata， 0 2+ 2 0 0 0 ，解得 2 1;2 1 故答案为： 2 1
16、;2 1 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a 第 9 页（共 16 页） （ ） A1 B0 C1 D2 【解答】解：a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上， z1+a+（a1）i 的实部 1+a0，解得 a1 故选：A 14 （5 分）设 xR，则“|x1|1”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：|x1|10x2， x242x2，
17、（0，2）（2，2） ， “|x1|1”是“x24”的充分不必要条件， 故选：A 15 （5 分）如果执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 等于（ ） A2 450 B2 500 C2 550 D2 652 【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是计算并输出 S2（1+2+3+k） k（1+k）的值，当 k50 时，退出循环，输出 S 的值， 由于 k50 时，S2（1+2+3+k）k（1+k）50512550 故选：C 16 （5 分） 已知抛物线 y24x 的焦点为 F， 准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点， 且，满足|NF|= 3 2 |MN|，则点 F 到 MN
18、 的距离为（ ） 第 10 页（共 16 页） A1 2 B1 C3 D2 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 M，N 为抛物线上的一 点，且满足|NF|= 3 2 |MN|， F（1，0） ，M（1，0） ，|MN|= 2 3|NF|， 作 NP准线，与准线交于点 P， 设 N（a，2） ，则|NF|NP|a+1， |MN|= 2 3（a+1） ，|PM|2， 直线 MN 的方程为：2 :1 = :1， 即 2x（a+1）y+2 =0， 点 F 到 MN 的距离 d= |2+2| (2)2+(+1)2 = 4 2+6+1， 在 RtMPN 中，PM2+PN2M
19、N2， 2a+（a+1）2 2 3 ( + 1)2， 解得 a5+26，或 a526， 点 F 到 MN 的距离 d= |2+2| (2)2+(+1)2 = 4 2+6+1 =1 故选：B 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 70 分）分） 第 11 页（共 16 页） 17 （12 分）如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中，ABC120，将ABD 沿 BD 折起， 使点 A 到达 A1的位置，且二面角 A1BDC 为 60 （1）求异面直线 A1C 与 BD 所成角的大小； （2）若点 E 为 A1C 中点，求直线 BE 与平面 A1DC 所成角的正弦值 【解答】解： （
20、1）连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OA1， 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD， 从而 OA1BD，OCBD， 又因为 OA1OCO，所以 BD平面 A1OC， 因为 A1C平面 A1OC，所以 BDA1C， 所以异面直线 A1C 与 BD 所成角的大小为 90（5 分） （2）由（1）可知，A1OC 即为二面角 A1BDC 的平面角，所以A1OC60 以 O 为坐标原点，为 x，y 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz， B（4，0，0） ，D（4，0，0） ，C（0，43，0） ，A1（0，23，6） ，E（0，33，3） 所以 =（4，33，3） ，1 =（4，23，
21、6） ， =（4，43，0） 设平面 A1DC 的法向量为 =（x，y，z） ， 则1 = 4 + 23 + 6 = 0 = 4 + 43 = 0 ，取 y1，得 =（3，1， 3 3 ） ， 设直线 BE 与平面 A1DC 所成角为 ， 则 sin= | | | | | = 83 5213 3 = 12 13 所以直线 BE 与平面 A1DC 所成角的正弦值为12 13（12 分） 第 12 页（共 16 页） 18 （14 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC= 2 ， = 2， = 3 （1）若ACB= 6 ， = 3，求 BD； （2）若 DC= 3AB，求 cosACB 【解答】
22、解：（1） 如右图， ABC= 2 ， = 2， = 3， ACB= 6 ， = 3， 可得DAC= 3， 在直角三角形 ABC 中，ABBCtan 6 =1，AC= 6 =2， 可得DAC 为边长为 2 的等边三角形， 在ABD中，DAB= 2 3 ，可得 BD= 2+ 2 2 =1 + 4 2 1 2 ( 1 2) = 7； （2）如右图，设 ABx，则 DC= 3x，ACB，则DAC2， 在直角三角形 ABC 中，AC= = ， 在ACD 中，由正弦定理可得 = 2， 即 3 2 = 3 2 = 3 2， 化简可得 cos= 3 4， 即 cosACB= 3 4 第 13 页（共 16
23、页） 19 （16 分）已知等差数列an的公差 d0，若 a611，且 a2，a5，a14成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设= 1 +1，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）a611，a1+5d11， a2，a5，a14成等比数列，(1+ 4)2= (1+ )(1+ 13)， 化简得 d2a1， 由可得，a11，d2 数列的通项公式是 an2n1； （2）由（1）得= 1 +1 = 1 (21)(2+1) = 1 2 ( 1 21 1 2+1)， Sn= 1+ 2+ + = 1 2 (1 1 3 + 1 3 1 5 + + 1 21 1 2+1) = 1 2 (
24、1 1 2+1) = 2+1 20 （14 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 2 ，F1、F2分别 为楠圆 E 的左、右焦点，点 P 在椭圆 E 上，以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，线段 F1P 与 y 轴交于点 B，且|F1P|F1B|6 （1）求椭圆 E 的方程； （2） 设动直线 l 与椭圆 E 交于 M、 N 两点， 且 = 0 求证： 动直线 l 与圆2+ 2= 4 5 相切 第 14 页（共 16 页） 【解答】解： （1）设椭圆的方程为： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，|F1F2|2c， 因为BF1OPF1F2，F1OBF1PF
25、2= 2， 所以F1BOF1F2P， 所以 |1| |12| = |1| |1|， 所以|F1P|F1B|F1O|F1F2|2c26，可得 c= 3， 又 e= = 3 2 ， 所以 a2，b2a2c21， 所以椭圆的方程为： 2 4 +y21； （2）证明：当动直线 ld 的斜率不存在时， 设 l 的方程为 xt，M（t，y1） ，N（t，y2） ， 由 = 2+ 42= 4可得：4y 2+t240， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以方程4y2+t240由两个不相等的实数根， 所以t24， y1y2= 24 4 ， 因为 = 0所以 t2+y1y20，即 t2+ 24 4 =0，解得|t|=
26、 25 5 ， 因为一些 O 到直线 xt 的距离 d|t|= 25 5 ， 所以直线与圆2+ 2= 4 5相切； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为： ykx+m， 即kxy+m0， 设M （x1， kx1+m） ， N（x2，kx2+m） ， 联立直线与椭圆的方程： = + 2+ 42 4 = 0，整理可得： （1+4k 2）x2+8kmx+4m240， 64k2m24（1+4k2） （4m24）0， 整理可得 4k2+1m20，x1+x2= 8 1+42，x1x2= 424 1+42 ， 因为 = 0，所以 x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+mk（x1+
27、x2） +m2= (1+2)(424) 1+42 822 1+42 +m20， 化简可得 1+k2= 52 4 ， 第 15 页（共 16 页） 因为原点到直线 l 的距离 d= | 1+2 = | 52 4 = 25 5 =r， 所以直线与圆2+ 2= 4 5相切， 综上所述动直线 l 与圆2+ 2= 4 5相切 21 （14 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx+c 的两个零点 x1，x2，且 f（1）2a （）求 的取值范围； （）若 ac，且函数 g（x）f（xx1）+f（xx2）在区间0，1上的最大值为2 ，试 判断点（a，b）是否在直线 x+y1 上？并说明理由 【解答】解： （
28、）二次函数 f（x）ax2+bx+c 的两个零点 x1，x2，且 f（1）2a， 可得 a+b+c2a，即 cab， b24acb24a（ab）0， 由 a20，可得（ ） 2+4 40， 解得 22 2 或 22 2； （）若 ac，则 b0， 且 f（x1）f（x2）0，即 ax12+bx1+cax22+bx2+c0， x1+x2= ，x1x2= ， g（x）f（xx1）+f（xx2） a（xx1）2+b（xx1）+c+a（xx2）2+b（xx2）+c 2ax2+x（2b2ax12ax2）+ax12bx1+ax22bx2+2c 2ax2+4bx+ 22 ， 当 a0 时，g（x）在0，1递
29、增，最大值只能为 g（1） ， 由 g（1）2a+4b+ 22 = 2 ，可得（a+b） 22，即 a+b= 2， 第 16 页（共 16 页） 则（a，b）不在直线 x+y1 上； 当 a0 时，g（x）的最大值为 g（0）或 g（1）或 g（ ） ， 由 g（0）= 22 = 2 ，解得 b1， 若（a，b）在直线 x+y1 上，则 a+b1，可得 a0 显然不成立； 由 g（1）2a+4b+ 22 = 2 ，可得（a+b） 22，即 a+b= 2， 显然（a，b）不在直线 x+y1 上； 由 g（ ）= 162162 8 =0 显然不成立 综上可得，点（a，b）不在在直线 x+y1 上
