1、补充：补充：拉氏反变换拉氏反变换1、拉、拉氏反变换氏反变换的定义的定义2、拉氏反变换的求法、拉氏反变换的求法：（1）、）、直接查拉氏反变换表直接查拉氏反变换表jjstdsesFjtftfsFL)(21)()()(1例例1：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：52)(2ssssF22222222)1(2212)1()1(2)1(1)1(52)(sssssssssFtetesFLtftt2sin212cos)()(1直接查拉氏反变换表直接查拉氏反变换表teasatsin)(22teasasatcos)(22例例2：求：求 的拉的拉氏反变换氏反变换。解：解：223)(2ssssF1)1(41
2、)1()1(1)1(3223)(2222sssssssssFtetesFLtfttsin4cos)()(1teasatsin)(22teasasatcos)(22（2）工程上常用方法）工程上常用方法(通过通过部分分式展开法部分分式展开法求其反变换）求其反变换）象函数象函数F(s)一般可表示为如下两个一般可表示为如下两个s多项式比的形式多项式比的形式:为了将为了将 F(s)写成部分分式形式写成部分分式形式,首先把首先把F(s)的分母因式分解的分母因式分解:均为实常数。，为正整数，系数和式中，.)()()(01110111jinnnnmmmmbanmmnasasasabsbsbsbsAsBsF的极
3、点。)(即,的根0)(是式中，)()(.)()()(210111sFsApmnpspspsabsbsbsbsAsBsFinnmmmm1、只、只含不同单极点的情况含不同单极点的情况:即即A(s)=0无重根。无重根。F(s)可展开为可展开为n个简单的部分分式之和：个简单的部分分式之和：nitpiniiipsiiiniiinniinnmmmmiiecpscLsFLtfsFpsccpscpscpscpscpscmnpspspsabsbsbsbsAsBsF111112211210111)()(:可得原函数,对上式进行拉氏反变换)()(计算：为待定常数，可按下式式中，)()(.)()()(ateas1例例
4、3：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：233)(2ssssF1)2)(1(3)2(2)2)(1(3)1(2211sssssscssssctteesFLtf212)()(21)2)(1(3233)(212scscsssssssFipsiisFpsc)()(ateas1例例4：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：342)(2ssssF21)3)(1(2)3(21)3)(1(2)1(3211sssssscssssc)(21)()(31tteesFLtf31)3)(1(2342)(212scscsssssssF2、含多重极点的情况含多重极点的情况即即A(s)=0有重根。设有重根。设A
5、(s)=0有有r个重根个重根p1，则，则F(s)可写成：可写成：ipsiinrnrrrnrrnnnrrrrrrrnrrsFpsccccccccrnsFppsFppscpscpscpscpscpspspssBsF)()(,.,;)()(,;)()()()()()()()(111111)(1111111111可按下式计算：其中为待定常数个非重极点的为的重极点为式中，个非重极点个重极点1111)()()1(1)()(1)()()()(,1111111111psrrrpsrjjjrpsrrpsrrrrsFpsdsdrcsFpsdsdjcsFpsdsdcsFpscccc！应按下式计算：但 个非重极点（个
6、重极点原函数根据拉氏变换表，可得)11221111111111111)!2()!1()()()()(:rnnritpirtprrrrnnrrrrrriecectctrctrcpscpscpscpscpscLsFLtfatnnetnas1)!1(1)(1ateas1例例5：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：)3()1(2)(2sssssF121)3()1(2)3(32)3()1(243)3()1(2)1(21)3()1(2)1(32402312211222ssssssssscssssscsssssdsdcssssscttteetesFLtf31121324321)()(31)1()3(
7、)1(2)(431222scscscscsssssF11)()()()(111psrrpsrrsFpsdsdcsFpscipsiisFpsc)()(例例6：求：求 的拉氏反变换。的拉氏反变换。解：解：)2)(1(1)(2ssssF41)2)(1(1)2(1)2)(1(1)1(43)2)(1(121)2)(1(122412302210222sssssssscsssscssssdsdcssssctteetsFLtf21414321)()(21)2)(1(1)(431222scscscscssssF三、拉氏变换的应用：三、拉氏变换的应用：微分方程式微分方程式复域的代数方程式复域的代数方程式时域的时域
8、的解解 复域的解复域的解拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换代数运算代数运算解微分方程式x(t)y(t)X(s)Y(s)y(t)Y(s)1.对微分方程进行对微分方程进行拉氏拉氏变换，将变换，将时域时域的微分方程的微分方程 变换为变换为复域的复域的代数方程；代数方程；2.求解代数方程，得到微分方程在求解代数方程，得到微分方程在复域的复域的解；解；3.求求复复域解的域解的拉氏反拉氏反变换，即得微分方程变换，即得微分方程的的解。解。由图可见，用拉氏变换解微分方程的步骤是：由图可见，用拉氏变换解微分方程的步骤是：例例7：解方程：解方程解：解：0)0(,0)0(6)(6)(5)(yytytyty其中tt
9、eesYLtysssssssYssYssYsYs32122231)()()3)(2(6)65(6)(6)(6)(5)(第三章第三章 时间响应分析时间响应分析 u建立建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。能进行分析。u控制系统控制系统的时域分析包括三个方面：的时域分析包括三个方面：稳定性稳定性，暂态暂态性能性能（快速性）（快速性）和和稳态性能稳态性能。u系统系统时域响应时域响应在某一个输入信号作用下，系统输出在某一个输入信号作用下，系统输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。u控
10、制系统控制系统的时域响应的性质，取决于系统本身的结构和的时域响应的性质，取决于系统本身的结构和参数，系统的初始状态以及输入信号的形式参数，系统的初始状态以及输入信号的形式。u它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。关系。u这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。响应的全部信
11、息。时域分析法的特点时域分析法的特点:3.1 3.1 时间响应及其组成时间响应及其组成例例:m-k系统在系统在外力外力 作用作用下其微分方程为下其微分方程为:其解为其解为 即即 通解通解+特解特解 式中：式中：为系统的无阻尼固有频率。为系统的无阻尼固有频率。tFcostFtkytymcos)()(mkn/)()()(21tytytytYtytBtAtynnncos)(cossin)(21n代入求解代入求解得得 完全解为完全解为 代入初始条件，代入初始条件，可求得可求得A,B nkFY/112tkFtBtAtynncos11cossin)(2211)0(,)0(kFyByAn 零状态响应强迫相应
12、自由响应零状态响应零输入响应tkFtkFtytytynnnncos11cos11cos)0(sin)0()(22系统的时间响应分类：系统的时间响应分类：1、按振动性质分：、按振动性质分：（1）自由响应：是由固有频率）自由响应：是由固有频率n 构成的振荡。构成的振荡。（2）强迫响应：是由外加频率）强迫响应：是由外加频率 引起的振荡。引起的振荡。2、按振动来源分：、按振动来源分：（1）零输入响应：由系统的初始条件引起的自由响应。）零输入响应：由系统的初始条件引起的自由响应。（2）零状态响应零状态响应：系统初始条件为零时输入引起的响应。：系统初始条件为零时输入引起的响应。零状态响应强迫相应自由响应零
13、状态响应零输入响应tkFtkFtytytynnnncos11cos11cos)0(sin)0()(223.2 典型输入信号典型输入信号u单位阶跃函数单位阶跃函数u单位脉冲函数单位脉冲函数u单位斜坡函数单位斜坡函数u单位抛物线函数单位抛物线函数u正弦函数正弦函数 在实际的使用中，控制系统的输入信号是多种多样的。在实际的使用中，控制系统的输入信号是多种多样的。为了简化问题，在分析系统时，采用典型的输入信号。为了简化问题，在分析系统时，采用典型的输入信号。常用的典型输入信号有以下种：常用的典型输入信号有以下种：1.单位阶跃函数单位阶跃函数 单位阶跃函数单位阶跃函数0,00,1)(tttusdtetu
14、tuLst1)()(0为常数ksktkuL)(表示输入量的一个瞬间突变过程。表示输入量的一个瞬间突变过程。t)(tu102.单位脉冲函数单位脉冲函数 单位脉冲函数单位脉冲函数1)(0,00,)(dttttt且1)()()(000dttdtettLst可视为一个持续时间极短的信号。可视为一个持续时间极短的信号。单位脉冲函数的积分就是单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数单位阶跃函数。)()(tutt)(t03.单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数单位斜坡函数0,00,)(ttttr201)(sdttetrLst表示表示由零值开始随时间由零值开始随时间t作线性增长的
15、作线性增长的信号信号单位单位斜坡函数对时间斜坡函数对时间的微分就是的微分就是单位单位阶跃函数。阶跃函数。t)(tr0)()(trtu)()()(trtut 4.单位抛物线函数单位抛物线函数(单位加速度函数单位加速度函数)0,00,21)(2ttttxi单位加速度函数单位加速度函数302121)(sdtettxLsti是是一种抛物线函数，函数值随一种抛物线函数，函数值随时间以等加速度增长。时间以等加速度增长。t)(txi05、正弦函数、正弦函数 为为振幅振幅,为角频率。为角频率。0,00,sin)(tttatxi正弦函数正弦函数22sinstL 系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，系
16、统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第四章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的在第四章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。响应，也就是时域响应。t)(txi0aa3.3 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应uT称为一阶系统的时间常数，它与外界无关，是一阶称为一阶系统的时间常数，它与外界无关，是一阶系统的固有特性。系统的固有特性。u下面分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应下面分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其其微分方程和传递函数为微分方程和传递函数为11)
17、()()()()()(TssXsXsGtxtxtxTioioo当系统的输入信号当系统的输入信号xi(t)是理想的单位脉冲函数是理想的单位脉冲函数(t)时，系统时，系统的输出的输出xo(t)称为单位脉冲响应函数称为单位脉冲响应函数w(t)。TtiioeTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXsW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()
18、()()(TtiieTtwTsLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXosW/111)(11)()()()(1)()()()()()(TtiieTtwsGsWtLsXsXsGsXosW/1)()()(1)()()()()()(1、一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 如果如果将曲线衰减到将曲线衰减到初值的初值的2%之前过程之前过程定义为过渡过程，定义为过渡过程，则可计算相应的过渡过程响应时间为则可计算相应的过渡过程响应时间为4T。当当t=0时，时，Ttxo1)(当当t=4T，Ttxo1018.0)(一阶系统的单位脉冲响应函数是一一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降单调下降的指数曲线，
19、的指数曲线，曲线曲线有两个重要的特征点：有两个重要的特征点：（1）A点，点，t=T时，系统的响应时，系统的响应 w(t)衰减到初值的衰减到初值的36.8%；（2）零点，）零点，t=0时，曲线的切线斜率等于时，曲线的切线斜率等于-1/TA2、一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio为稳态项为瞬态项，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstu
20、LsXsXsGsXTtTtouoouioiio为稳态项为瞬态项，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio为稳态项为瞬态项，)(11)(111)()(111)()()(1)()()()()(/11tBeetxsTsLsXLtxsTssXsGsXstuLsXsXsGsXTtTtouoouioiio为稳态项为瞬态项，系统系统在单位阶跃输入在单位阶跃输入u(t)作用下的响应，称为作用下的响应，称为单位阶跃响应单位阶跃响应函数函数 xou(t)。曲线两个重要的特点曲线两个重
21、要的特点：（1）A点点，其对应的时间，其对应的时间t=T时，系统的响应时，系统的响应xou(t)达到了稳态达到了稳态值值63.2%；(2)零点，曲线的切线斜率等于零点，曲线的切线斜率等于1/T。当当t=0时，时，当当t=4T时，时，982.0)(txo系统的过渡过程时间为系统的过渡过程时间为4T0)(txo可见可见一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数T反映了系统的响应速度反映了系统的响应速度，T，响应越快。响应越快。A 一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，系统一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数。对某信号导数的响应，等于对该
22、输入信号响应的导数。反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。的积分。这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。要特性。结论结论：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。)()()()(txtwtutoudttwtxdtttuou)()()()(例例1 1、已知系统的初始条件为、已知系统的初始条件为0 0，微分方程为，微分方程为试求系统的单位脉冲响应函数和单位阶跃响应函数。试求系统的单位脉冲响应
23、函数和单位阶跃响应函数。)(20)()(5.2txtydttdy)1(204.0112014.08)()()(84.08)()(4.0815.220)()()()(20)()15.2(4.01114.011toutessLssLsXsGLtxesLsGLtwsssXsYsGsXsYs解：解：例例2 2、若某系统的单位阶跃响应函数为、若某系统的单位阶跃响应函数为 试求系统的传递函数和单位脉冲响应函数。试求系统的传递函数和单位脉冲响应函数。ttoueetx221)(解法解法1 1：解法解法2 2：ttioeessLsGLtwssssssssXsXsG21141124)()()2)(1(231112
24、21)()()()2)(1(231124)()(4)()(2ssssstwLsGeetxtwttou)()()()(txtwtutou3.4 二阶系统二阶系统的时间响应的时间响应式中，式中，称为无阻尼固有频率，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比。称为阻尼比。它们是二阶系统的特征参数，表明系统本身的固有特性。它们是二阶系统的特征参数，表明系统本身的固有特性。n可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的的微分方程和传递函数为微分方程和传递函数为222222)()()()()()(2)(nnnioinononosssXsXsGtxtxtxtx 二阶
25、系统的二阶系统的 特征方程为特征方程为 此此方程的两个特征根为方程的两个特征根为 0222nnss122,1nnss1，s2完全取决于完全取决于 ，两个两个参数。参数。n（1）当）当01时，两特征根为共轭复数，即时，两特征根为共轭复数，即 此时，系统此时，系统称为称为欠阻尼欠阻尼系统，是系统，是衰减振荡系统。衰减振荡系统。22,11nnjs122,1nns21n21nt)(txo0j1s2s0n-（2）当）当=0时，两特征根为共轭纯虚根，即时，两特征根为共轭纯虚根，即 此时，系统此时，系统称为称为无阻尼无阻尼系统，是系统，是等幅振荡系统。等幅振荡系统。njs2,1122,1nnst)(txo0
26、j1s2s0n（3）当）当=1时，特征方程有两个相等的负实根，即时，特征方程有两个相等的负实根，即 此时，系统此时，系统称为称为临界阻尼临界阻尼系统，是系统，是无振荡系统。无振荡系统。ns2,1122,1nnst)(txo0j)(21ssn-0（4）当）当1时，特征方程有两个不等的负实根，即时，特征方程有两个不等的负实根，即 此时，系统此时，系统称为称为过阻尼过阻尼系统，是系统，是无振荡系统。无振荡系统。122,1nns122,1nnst)(txo0j1s2s01二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应)1()(2)()()()(1)()()()()()(2222122211nnnnnni
27、iosLssLsGLtwsGsWtLsXsXsGsXsW)1()(2)()()()(1)()()()()()(2222122211nnnnnnisLssLsGLtwsGsWtLsXsXisGsXosW)1()(2)()()()(1)()()()()()(2222122211nnnnnnsLssLsGLtwsGsWtLsXisXisGsXosWteasatsin)(22（1）当）当01,系统为过阻尼系统时系统为过阻尼系统时,12)1(1)1(112)()1()1(22121222ttnnnnnneesLsLtwateas1从图可见：从图可见：（）越小，振荡越厉害，当（）越小，振荡越厉害，当 增大
28、到以后，曲线变为单调上升。增大到以后，曲线变为单调上升。（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）过阻尼系统过渡过程时间长。（）过阻尼系统过渡过程时间长。8.05.0024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Impulse ResponseTime(sec)Amplitude01.02.03.04.05.06.07.08.09.00.10.2 2、系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应12)()(12)(
29、)()(1)()()()()(22211222sssLsXLtxssssXsGsXstuLsXsXsGsXnnnoonnnioiio)()()(112)()(12)()()(2222122211222dnndnnnnnoonnniossssLsssLsXLtxssssXsGsX21nd(1)当当01，系统为欠阻尼系统时，系统为欠阻尼系统时,sin1cos1)()(1)()(2222211ttessssLsXLtxddtdnddndnnoon1arctansin111)(22tetxdton)()()(1)(22221dnndnnossssLtx或或teasatsin)(22teasasatco
30、s)(2221nd01.02.03.04.05.06.07.08.09.00.10.2 (2)当当=0,系统为无阻尼系统时系统为无阻尼系统时 tsssLsXLtxnnoocos11)()(2211tntnnnoonnteesssLsXLtx1)(11)()(211)()()(1)(22221dnndnnossssLtx(3)当当=1,系统为临界阻尼系统时系统为临界阻尼系统时21ndatetas2)(1tsscos22ateas101.02.03.04.05.06.07.08.09.00.10.2u(4)当当1,系统为过阻尼系统时系统为过阻尼系统时 ttnnoonneesssLsXLtx)1(2
31、2)1(222222221122)1(121)1(1211)1(1)1(121)1(1)1(1211)()()()()(1)(22221dnndnnossssLtxateas101.02.03.04.05.06.07.08.09.00.10.2从图可见：从图可见：（）越小，振荡越厉害，当（）越小，振荡越厉害，当 增大到以后，曲线变为单调上升。增大到以后，曲线变为单调上升。（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（）过阻尼系统过渡过程时间长。（）
32、过阻尼系统过渡过程时间长。8.05.001.02.03.04.05.06.07.08.09.00.10.2二阶系统有两个参数和二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要，阻尼比是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。n 取横坐标为，不同阻尼比取横坐标为，不同阻尼比 值下的二阶系统单位阶跃值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：响应曲线族如图所示：tn01.02.03.04.05.06.07.08.09.00.10.2例例3 3、已知系统的传递函数为、已知系统的传递函数为 试求系统的单位阶跃响应函数。试求系统的单
33、位阶跃响应函数。232)(2sssG解法解法1 1：解法解法2 2：ttoouioeesXLtxsssssssXsGsX21221)()(21121)23(2)()()(ttttttoutteedteedttwtxeessLsGLtw202021121)22()()(222212)()()()()()(txtwtutou3.5 二阶振荡系统阶跃响应的性能指标二阶振荡系统阶跃响应的性能指标 欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统性能指标性能指标：上升时间上升时间 峰值时间峰值时间 最大超调量最大超调量 调整时间调整时间 振荡次数振荡次数u特征特征参量参量 和和 对系统的响应具有决定性的影响。对系统的响应具
34、有决定性的影响。u对欠阻尼对欠阻尼（01）的情况，讨论瞬态响应指标与）的情况，讨论瞬态响应指标与特征参量的关系。特征参量的关系。nrtptst%100)()()(000txtxtxMppNdrrdrdrdtrdtrorttttetetxttrnrn222221arctan1arctan0)1arctansin(0)1arctansin(11111)(令时，当1、上升时间、上升时间tr：响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。221arctan0)1arctansin(rdrdttdrt21arctan令就增大。增大，一定时，就减小；增大，一定时，可知
35、，当及由rnrndrndttt211arctansin111)(22tetxdton 2、峰值时间、峰值时间tp 就增大。增大，一定时，就减小；增大，一定时，可知，当及由取pnpndpnddppdpdpdtttttttttdttdxop21,.2,00sin0|)(0|)(pttodttdxdppdpdpdtttt取,.2,00sin1arctansin111)(22tetxdton：响应曲线第一次出现峰值的时间。：响应曲线第一次出现峰值的时间。3、最大超调量、最大超调量Mp%100%100)sin1(cos%100)()()(/2/dndneMpeMxxtxMpoopop%100%100%1
36、00 1)sin1(cos1%100)()()(21/2/eeMeMxxtxMpdndnPPooposin1cos1)(2ttetxddton越小。越大，时，相应的超调量为当无关。频率有关，而与无阻尼固有只与阻尼比超调量MpMpn%5.125%8.04.0=2%时时,ts4/(n)=5%时时,ts3/(n)阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值的误差范的误差范围围(一般一般为为5%5%或或2%),2%),并从此不超越这个范围的时间称并从此不超越这个范围的时间称为系统的调整时间为系统的调整时间,也叫过渡过程时间也叫过渡过程时间。，得：令222111arctansin111)
37、(snntdtoetetx4.调整时间调整时间ts 5、振荡次数、振荡次数N2215.1，得3时，05.0当12，得4时，02.0当/2NtNttNnsnsds在在过渡过程时间过渡过程时间ts内内，xo(t)穿越其稳态值穿越其稳态值xo()的次数的次数的一半定义为振荡次数的一半定义为振荡次数。系统的震荡周期是系统的震荡周期是2/d，所以其震荡次数为所以其震荡次数为:特性。值直接反映系统的阻尼越小，故越大，无关。频率有关，而与无阻尼固有只与阻尼比NNNn四四、二阶系统计算举例、二阶系统计算举例例例1 求单位阶跃信号输入求单位阶跃信号输入时的时的tp，Mp，ts。02.033.1405.0133%
38、5.9%100)1/exp(2785.0411212ststtMMststnsnssppdpndp求）（求）（求）（解156.0snR(s)C(s)-1ssKs1例例2 设系统结构框图如图所设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统试确定系统参数参数K和和，并计算单位阶跃响，并计算单位阶跃响应的特征量应的特征量 tr ,ts。解：（解：（1）求系统闭环传递函数）求系统闭环传递函数 sHsGsGsG1 KsKsKsssKssKsG111112 KKKKsKsKsGn21,12（2）确定系统参数表达式）确定系统参数表达式（3）求
39、系统参数值）求系统参数值%2010021eMP456.0112ndptsradn53.3KKKn21,178.046.12K（4）根据）根据，n计算其它指标计算其它指标 stdr651.0 stns174.25.3例例3 如图为在质量快如图为在质量快m上施加上施加8.9N阶跃力后的时间响应，求阶跃力后的时间响应，求系统的系统的m，k和和c值。值。解：解：由输出曲线可知由输出曲线可知 stmxtxmxpopoo2,0029.0)()(,03.0)(ssXkcsmssXsXsGiio9.8)(而1)()()(2由结构图由结构图可知可知)()()()(txtkxtxctxmiooo kgmmksst
40、tMeMpnnpndpp3.77/96.1,6.0,216.0%6.9%10003.00029.0%100)2(2121/2msNcmcn/8.181,/2)3(mNkmxkskcsmsssXstxxososoto/297,03.0)(9.89.81lim)(lim)(lim)()1(200（1）校核是否满足）校核是否满足Mp5%；（2）增加一微分反馈，求微分反馈的时间常数。）增加一微分反馈，求微分反馈的时间常数。%5%35%10062.31,316.010002010005005.050)(21/122eMpssssssGnB0236.02)501(2069.0%5%10062.311000
41、)501(20100050)501(05.050)(21/122nnBeMpssssssG校正后校正后校正前校正前例例4 如图如图系统输入单位阶跃函数系统输入单位阶跃函数时时,Mp5%。KssKKssKKssKsG1010101222nnK210,10根据根据题意当题意当=1时系统阶跃响应无超调，可得时系统阶跃响应无超调，可得5.2,5Kn解：闭环传递函数为解：闭环传递函数为3.5 系统的误差分析与计算系统的误差分析与计算一一、系统的误差、系统的误差e(t)与偏差与偏差(t)1.误差误差e(t)定义为定义为 e(t)=xor(t)xo(t)式中式中xor(t)是系统所希望的输出是系统所希望的输
42、出;xo(t)是实际输出是实际输出。上式拉氏变换为上式拉氏变换为 E1(s)=Xor(s)Xo(s)2.偏差偏差(t)定义为定义为 (t)=xi(t)b(t)上式拉氏变换为上式拉氏变换为 E(s)=Xi(s)B(s)=Xi(s)H(s)Xo(s)3.偏差偏差E(s)与误差与误差E1(s)之间的关系之间的关系:u当当 Xor(s)=Xo(s)时时,E(s)=0 即即 E(s)=Xi(s)H(s)Xo(s)=Xi(s)H(s)Xor(s)=0 所以所以 Xi(s)=H(s)Xor(s)或或 Xor(s)=Xi(s)/H(s)u故故 E(s)=Xi(s)H(s)Xo(s)=H(s)Xor(s)H(s
43、)Xo(s)=H(s)Xor(s)Xo(s)=H(s)E1(s)或或 E1(s)=E(s)/H(s)当当 H(s)=1时时,E1(s)=E(s)二二、误差、误差e(t)的一般计算的一般计算在一般情况下，设输入在一般情况下，设输入Xi(s)与干扰与干扰N(s)同时作用同时作用于系统。于系统。数队伍差的影响。反映了系统的结构与参为误差传递函数，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sGssGsHs
44、NssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio数队伍差的影响。反映了系统的结构与参为误差传递函数，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sGssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHs
45、XsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio数队伍差的影响。反映了系统的结构与参为误差传递函数，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sGssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsG
46、sGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGsGsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio数对误差的影响。反映了系统的结构与参为误差传递函数，)()();()(1)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(1)()(;)()()(1)()()()()()()()()()()(1)()()()()(1)()()(121221212122121sGssGsHsNssXissNsGsXsGsHsNsGsXsGsHsXsXsXsEsHsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsNsGsXsGsNsHsGsGsGsXsHsGs
47、GsGsGsXNNxiXiNXiNixiNixiioorNxiNixiio稳态误差稳态误差:稳态偏差稳态偏差:)(lim)(lim10ssEteestss)(lim)(lim0ssEtstss四、四、系统的稳态误差与稳态偏差系统的稳态误差与稳态偏差四四、与输入有关的稳态偏差、与输入有关的稳态偏差偏差传递函数偏差传递函数)()()(11lim)(lim)(lim00sXsHsGsssEtisstss)()()(11)(sXsHsGsEi)()()()()()()()(sEsGsHsXsXsHsXsEioiu 为积分环节的为积分环节的个数，表征了系个数，表征了系统的结构特征。统的结构特征。u =0
48、,1,2时，分时，分别称为别称为0型，型，1型型和和2型系统。型系统。u 愈高，稳态精愈高，稳态精度愈高，但稳定度愈高，但稳定性愈差，因此一性愈差，因此一般不超过般不超过3 3型。型。voKosnjjmiionjjvmiiKssKGsHsGsGsGsTsTsGsTssTKsHsGsG)()()()(1)(lim)1()1()()1()1()()()(01111记设系统开环传递函数为为无差系统。型系统，对于为有差系统。型系统，对于为位置无偏系数0,2111,0lim)(0lim)()(lim11)()(11lim)()(1)(lim00000sspsspvsvssppsisssKKKKsKssK
49、GsHsGKKsHsGsHsGsXs为无差系统。型系统，对于为有差系统。型系统，对于为位置无偏系数0,2111,0lim)(lim)()(lim11)()(1)(lim)(lim)(lim00000sspsspvsvossppsstssKKKKsKssKGsHsGKKsHsGsXisssEt为无差系统。型系统，对于为有差系统。型系统，对于为位置无偏系数0,2111,0lim)(0lim)()(lim11)()(1)(lim)(lim)(lim00000sspsspvsvssppsstssKKKKsKssKGsHsGKKsHsGsXisssEt为无差系统。型系统，对于为有差系统。型系统，对于为加
50、速度无偏系数KKKKsKssKGssHsGsKKsHsGssHsGsssHsGsXsssEtssXtutxssassavsvssaassisstssii1,2,010lim)(0lim)()(lim1)()(1lim)()(1/1lim)()(1)(lim)(lim)(lim1)(),()(2020202030001)(00limsGs（1）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为无差系统。型系统，对于为有差系统。型系统，对于为位置无偏系数0,2111,0lim)(0lim)()(lim11)()(1)(lim)(lim)(lim00000sspsspv
