1、第三节第三节定积分在物理学上的应用 第六六章 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小区间取任一小区间,drrr,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq S例例2.体体,求移动过程中气体压力所求
2、移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为把容器中的一个面积为S 的活塞从的活塞从点点 a 处移动到点 b 处处 (如图如图),),作的功作的功.ab建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5,0 x5取
3、取任任一一小小区区间间,dxxx,xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238.9 功元素为功元素为,2.88dxxdw dxxw 2.885050222.88 x3462(千焦千焦)解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k.)(0 hhdxxfw例例4 4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每
4、次锤击所作的功相等，问第相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh .1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n 由由物物理理学学知知道道，在在水水深深为为h处处的的压压强强为为hp ，这这里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面积积为为A的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深为为h处处，那那么么，平平板板一一
5、侧侧所所受受的的水水压压力力为为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力二、水压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，,0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端端面
6、面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明:当桶内充满液体时,)(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa)(2(20 .373a 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21,mm相距为相距为r的两
7、个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算三、引力三、引力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy,2,2 lly将典型小段近似看成质点
8、将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yFy2l2laoxxxdx说明:amk22)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d2224
9、12llmkyyWdyd则有loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,四、转动惯量(补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为l2rmI 的质点系),2,1(,nimrlii质量为的距离为与轴21iniirmI若考虑物体物体的转动惯量,则需用积分解决.r关于轴 l 的转动惯量为m例8.求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解解:建立
10、坐标系如图.设圆盘面密度为.的对应于d,xxx小圆环质量xx d2对应于d,xxx的小圆环对轴 l 的转动惯量为xxId2d3故圆盘对轴 l 的转动惯量为RxxI03d2421R221RMlRoxxxxd)(2RMo设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,oxRyxxxd平行 y 轴的细条的对应于d,xxx关于 y 轴的转动惯量元素为yId细条质量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圆盘对y 轴的转动惯量为yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM 取旋转轴为 y 轴,建立坐标系如图.(1)先用微
11、元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条条、段段、环环、带带、五、小结五、小结思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压
12、力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关(99考研)思考与练习提示提示:作 x 轴如图.ox30 xxd1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30 m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x
13、提升 dx 所作的功为 米重50N,提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间:)s(3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重:xyoAB2.设星形线设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示:如图.2222d)(d23yxsyxkFs
14、yxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxk dsinddFFysykd),(yxsd在点O 处有一单 位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.同理同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytaxxyoAB),(yxsd引力大小为二二、一一物物体体按按规规律律3tcx 作作直直线线运运动动，媒媒质质的的阻阻力力与与速速度度的的平平方方成成正正比比，计计算算
15、物物体体由由0 x移移至至ax 时时，克克服服媒媒质质阻阻力力所所作作的的功功 .三三、有有一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门，它它的的两两条条底底边边各各长长610 米米和和米米，高高为为20米米，较较长长的的底底边边与与水水面面相相齐齐.计计算算闸闸门门的的一一侧侧所所受受的的水水压压力力 .练练 习习 题题四、四、半径为半径为的的球球沉沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、一块一块a高高为为 ，b底底为为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶
16、在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力.六、六、设有一半设有一半R径径为为，中心，中心 角角为为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为 常常数数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量量为为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力.七、七、油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流速越小，实验测定，某处的流与与速速 v流处到管子流处到管子中心的距中心的距之间之间离离 r有关系式有关系式)(22rakv ,其中其中为比例为比例k常数，
17、常数，为油管为油管a半径半径.求通过油管的流求通过油管的流量量（注：当流速为常量时，流量（注：当流速为常量时，流量=流速流速 截面积）截面积）.一一、2ln800(焦焦耳耳).二二、3732725akc(其其为为中中k比比例例常常数数).三三、1 14 43 37 73 3(千千牛牛).四四、gr434.五五、ba261.六六、引引力力的的大大小小为为2sin2 Rkm,方方向向指指为为 M向向圆圆弧弧 的的中中心心 .七七、42ak.练习题答案练习题答案锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直角
18、边与水面相齐,cotcosyxl xxygdsin02d)coscot(lxxlxg33(coscos)6gl loyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxdsin0lP33(coscos)6glP ,0ddP令03arccos3 故得唯一驻点 故此唯一驻点0 即为所求.由实际意义可知最大值存在,即2sin3cossin0 2(0,),loyxyxxxd1、字体安装与设置、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）在“替换为”下拉列表中选择替换字体。点击“替换”按钮，完成。2、替换模板中的图片、替换模板中的图片模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。方法一：更改图片方法一：更改图片选中模版中的图片（有些图片与其他对象进行了组合，选择时一定要选中图片 本身，而不是组合）。1.单击鼠标右键，选择“更改图片”，选择要替换的图片。（如下图）赠送精美图标
