1、13.1 导数的概念第三章 导数与微分3.2 求导法则3.3 基本导数公式与高阶导数3.4 函数的微分3.5 导数在经济学中的简单应用2/13/202323.5 导数在经济学中的简单应用导数在经济学中的简单应用 二、弹性二、弹性一、边际分析一、边际分析 在经济与管理中常常要考虑在经济与管理中常常要考虑产量、成本、利产量、成本、利润、收益、需求、供给润、收益、需求、供给等问题等问题,通常成本、收益、通常成本、收益、利润都是利润都是产量产量的函数的函数.本节主要介绍经济学中的本节主要介绍经济学中的边边际分析际分析与与弹性分析弹性分析问题问题.2/13/20233一一、边边际际分分析析yfxfxxf
2、 (),()()设设是是一一个个经经济济函函数数 其其导导数数称称为为的的00()f xfxx 在在点点的的边边边边。际际称称际际数数为为函函函函数数值值。0()f xxx对对于于经经济济函函数数，设设经经济济变变量量在在点点有有一一个个改改变变00()yyf xx ，则则经经济济变变量量在在处处量量有有相相应应的的改改变变量量00()()yf xxf x 0()f xx如如函函数数在在点点可可微微，则则00(d)|x xyxxyf 0,1()xyfx 假假如如则则0 xyx在在点点改改变变“一一个个这这说说明明当当时时，相相应应的的单单位位”近近似似改改变变fx 0()个单位个单位。2/13
3、/20234yxx2312 求求函函数数在在处处的的边边际际例例函函数数值值。6yx 解解22612xxyx 232yxx函函数数在在处处的的边边际际函函数数值值为为12122/13/20235(1).边际成本边际成本(,()CC QQQC 设设为为产产量量总总成成本本称称它它的的函函数数导导数数为为边边际际成成00()C QQ,简简称称。称称为为边边际际成成本本时时本本的的当当产产边边函函量量为为数数际际成成本本。01Q其其经经济济意意义义为为：当当产产量量达达到到时时增增减减 个个，如如果果单单位位产产品品,0()C Q 成成本本将将相相则则应应增增减减个个单单位位。01()()CCC Q
4、Q固固定定成成本本可可变变成成本本一一般般情情况况下下，总总成成本本由由和和01()(),C QCC Q组组成成，即即 011()()(),C QCC QC Q而而边边际际成成本本可见，边际成本与固定成本可见，边际成本与固定成本无关无关。2 设设总总例例成成本本函函数数21()500060,20C QQQ1000Q 求求边边际际成成本本函函数数和和 单单位位时时的的边边际际成成本本，并并解解释释后后者者的的经经济济意意义义。1()60,10C QQ 100010001()604010QQC QQ 10001其其经经济济意意义义为为：当当产产量量达达到到时时增增减减 个个，如如果果单单位位产产品
5、品,40增增减减则则成成本本将将相相应应个个单单位位。2/13/20237(2).边际收益边际收益()()RQR QQR 设设，为为销销售售量量，称称它它的的导导数数总总收收益益函函数数为为边边00()R QQ 际际收收益益，简简称称。称称为为商商品品销销售售量量为为边边函函际际收收益益数数时时的的边边际际收收益益。0()R Q，则则将将相相应应或或单单位位产产品品减减收收益益增增少少加加个个单单位位。0()Q其其为为：当当销销售售量量达达到到时时，如如果果或或经经济济意意多多少少义义销销售售一一个个QQP一一般般来来说说，销销售售单单位位产产品品的的总总收收益益为为销销售售量量与与价价格格之
6、之()(),R QQPQP Q积积，即即()()PP QQQ P式式中中，是是需需求求函函数数的的反反函函数数，也也称称需需求求函函()()()().R QQP QP QQP Q数数，于于是是有有，2/13/202383 设某产品设某产品例例的需求函数为的需求函数为10,5QP 求求销销售售量量为为3030个个单单位位时时的的总总收收益益、平平均均收收益益与与边边际际收收益益。总总收收益益：303030()101205QQQQR QPQQ平平均均收收益益3030()120()430QQR QR QQ边边际际收收益益30302()1025QQQR Q 2/13/20239(3).边际利润边际利润
7、QQL QL ),(设产品的为产量，称它的导数设产品的为产量，称它的导数总利润函数总利润函数为为边边00()LQQ，称称为为当当产产量量为为时时的的边边际际利利润润际际利利润润。01Q：当当产产量量达达到到时时,如如增增减减 个个单单位位产产品品经经济济义义果果意意,则则利利润润0()L Q 增增将将相相应应减减个个单单位位。一一般般来来说说，总总利利润润函函数数可可以以看看成成总总收收益益函函数数总总与与成成本本函函数数之之()()().L QR QC Q，即即 差差显显然然，边边际际利利润润为为()()().L QR QC Q2/13/202310二二.弹弹性性分分析析2/13/20231
8、1yxyx函函数数的的相相对对改改变变量量与与自自变变量量的的相相对对改改变变量量定定 义义之之比比/y yx x xxxxf ()从从到到两两点点间间的的（弧弧称称为为函函数数）弹弹性性。,xE，记记（性性作作点点）弹弹即即0/lim./xxy yEx x ()f x称称其其为为的的弹弹性性函函数数。/0()yyxxf xxx 的的 时时，极极限限在在点点定定称称为为义义处处的的相对变化率相对变化率2/13/2023122/13/202313xyex2431 求求函函数数在在例例处处的的弹弹性性。22=63xxxee()()xxEfxf x 解解 2x 12xxE (1).需求弹性需求弹性(
9、),Qf PPQ单单设设需需求求函函数数为为为为，故故函函数数与与调调减减异异号号，PQ与与 为为正正数数，所所以以把把0/lim/()PPQ QfEQPPPP 需求弹需求弹称为称为性函数性函数。PPEE 经经济济意意义义：1%ppQE当当价价格格 上上升升，需需求求量量 将将下下降降2/13/202315经经济济意意义义：1%ppQE当当价价格格 上上升升，需需求求量量 将将下下降降pE2.2.当当01011时时,称称为为高高弹弹性性，1%ppEQ经经济济意意义义：当当价价格格 上上升升，将将下下降降需需求求量量.说说明明：商商品品的的需需求求量量变变动动的的百百分分比比价价格格变变动动大大
10、于于的的百百分分比比。pE1.1.当当=1=1时时,称称为为单单位位弹弹性性，1%1%pQ经经济济意意义义：当当价价格格，上上升升下下求求将将降降需需量量.说说明明：商商品品的的需需求求量量变变动动的的百百分分比比价价格格变变动动等等于于的的百百分分比比。2/13/202316 5,(1)(2)3,5,65PQePPP 设设某某商商品品需需求求函函数数为为求求需需求求 弹弹性性函函数数；时时例例的的需需求求弹弹性性。()PPEfPQ 解解(1)(1)551=5PPPee =5P(2)3,P 3PpE 30.65 5,P 5PpE 515 6,P 5PpE 61.25 2/13/202317(2
11、).供给弹性供给弹性(),QPPQ 单单设设供供给给函函数数为为为为，故故函函数数与与调调增增同同号号，PQ与与 为为正正数数，所所以以把把PEQQ QPPQEPP P 0/lim)/(供给弹供给弹称为称为性函数性函数。2/13/202318(3).收益弹性及其与需求弹性的关系收益弹性及其与需求弹性的关系RPQ设设总总收收益益是是商商品品价价格格与与销销售售量量的的乘乘积积，即即(),RPQPf P()()()()()()()()()1()(1.()pPR Pf PPfPf PfPf Pf Pf PPfPfPEPf 因此，因此，收益弹性收益弹性为为()()(1).()()1RppEPPER P
12、f PER PPf P 2/13/202319收收益益弹弹性性.1RpEE 1,1,0pRpEEE 1 1.若若时时1%,(1)%.1%,(1)%.ppEE 价价格格(提提价价)总总收收益益价价格格(下下跌跌 降降价价)总总减减少少收收益益上上涨涨增增加加01,pEREEP 3 3.若若则则,提提价价或或降降价价对对总总收收益益的的影影响响不不大大,011ppEREEEP 2 2.若若时时1%,()%.111%,()%.ppEE 价价格格(提提价价)总总收收益益价价格格(降降价价)下下跌跌增增总总收收益益加加上上涨涨减减少少2/13/202320PQP 10,2(1(2)6)3;某某商商品品需
13、需求求函函数数为为求求 需需求求弹弹性性函函数数；当当时时 的的需需求求弹弹性性例例P (3)31在在时时，若若价价格格上上涨涨%，总总收收益益是是增增加加，还还是是减减少少？它它将将变变化化百百分分之之几几？()PPEfPQ 解解(1)(1)1=2102PP=20Pp(2)3,P 3PpE 317(3)1RpEE1417，14%17总总收收益益增增加加2/13/202321求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数一、主要内容一、主要内容2/13/2023221 1、导数的定义、导数的定义
14、即即或或记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时内内仍在该邻域仍在该邻域点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数,)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000 xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2/13/2023232.右导数右导数:单侧导数单侧
15、导数1.左导数左导数:0000000()()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xxxx 0000000()()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xf xx xx 2/13/2023242 2、基本导数公式、基本导数公式222011111()()ln(log)ln(sin)cos(tan)sec(sec)sectan(arcsin)(arctan)xxaCaaaxxaxxxxxxxxxxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）122211111()()(ln)(cos)sin(cot)csc(csc)csccot(ar
16、ccos)(arccot)xxxxeexxxxxxxxxxxxx 共共16个个2/13/2023253 3、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则()()(),1()|()yf xxyyf xfxy如如果果函函数数的的反反函函数数为为则则有有2/13/202326(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求
17、导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:().()v xu x多多个个函函数数相相乘乘(和和幂幂指指函函除除)数数的的情情形形()ln()v xu xe或或 转转 化化为为2/13/202327(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则2/13/2023284 4、高阶导数、高阶导
18、数,)()(lim)(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,1,()(),f xnf xn 一一般般地地 函函数数的的阶阶导导数数的的导导数数称称为为函函数数的的 阶阶导导数数 记记作作.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)2/13/202329000000000 (),()()(),(),(),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxyf
19、xxAxyf xxxAxdydf xdyAxox 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内 如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数 则则称称函函数数在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分 记记作作或或即即5、微分的定义微分的定义定义定义.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy(微分的实质微分的实质)2/13/2023306 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在
20、点函数函数定理定理7 7、微分的求法、微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.2/13/202331基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc 共共16个个2/13/202332 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx dxxfdy)(2/13/202333
