1、2021年安徽师大附中自主招生数学试卷一.选择题（本大题共6小题：每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）：1（5分）杨辉三角是二项式（a+b）n展开式中各项系数的一种几何排列它最早出现在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中利用杨辉三角，我们很容易知道（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3设（3a2b）3ma3+na2b+pab2+qb3，则系数n（）A54B54C36D362（5分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A4：9B2：3C1：4D1：23（5分）
2、在数轴上点A、B对应的数分别是a、b，点A在表示3和2的两点之间（包括这两点）移动，点B在表示1和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是（）AbaBCD4（5分）三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心如图，H是ABC的垂心，A
3、H、BH、CH分别交BC、AC、AB于D、E、F，则H是DEF的（）A内心B外心C重心D垂心5（5分）在凸四边形ABCD中，BADBCD120，BCCD10，则A、C两点之间的距离是（）A9B10C11D不能确定6（5分）若在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为（3，0），（5，0），（0，4），点D在第一象限内，且ADB45则线段CD的长最小值是（）A5B5C5+D4二.填空题（本大题共9小题：每小题5分，共45分.请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）7（5分）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理（公设），在此基础上研究图形的性质，
4、推导出一系列定理，组成演绎体系，写出几何原本它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑在这本书中，欧几里德提出“三角形的内角和是180”这一定理，根据这一定理，我们可以得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的结论进一步思考：多边形的一个外角和与它不相邻的内角之间又有怎样的关系呢？假设一个n边形的某一个外角的度数是x，与它不相邻的所有内角的和是y，那么x与y的关系是 8（5分）已知 |a|1，则 +|a|的值等于 9（5分）设maxa，b，c表示a，b，c中最大的一个，例如max1，2，xx，则x2方程maxx，x+2，4x3x2的解是 10（5分）
5、若函数y（x2100x+196+|x2100x+196|），则当自变量x取1、2、3、100这100个自然数时，函数值的和是 11（5分）已知不相等的实数a、b满足a23a10，b23b10，则+ 12（5分）已知O与ABC的边AC，BA，BC的延长线分别相切，若BOC30，则CAO的度数为 13（5分）如图，扇形AOB的圆心角AOB90，半径为5，正方形CDEF内接于该扇形，连接BE，则OBE的正切值为 14（5分）我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示xa时的函数值例如函数yx2+1可以记为f（x）x2+1，并有f（2）（2）2+15，f（a+1）（a+1）2+1a2+2a+2狄
6、利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一狄利克雷函数f（x）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”关于狄利克雷函数，下列说法：f（）f（）对于任意的实数a，f（f（a）0对于任意的实数b，f（b）f（b）存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）f（x）对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）f（m+n）其中正确的有 （填序号）15（5分）A、B、C、D四支足球队进行单循环赛（每两队都要比赛1场且只比赛1场），胜一场得3分，负1场得0分，平局各得1分已知：比赛结果没有两队的积分相同；B没有平局，C平2局
7、；B净胜球1个；C净胜球2个；D净胜球1个问B与D比赛的净胜球数为 （净胜球进球数失球数）三.解答题（本大题共7题，共75分，其中第16题7分、第17题8分、第18、19、20、21、22题每题12分，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）16（7分）求所有的整数a、b使之满足a2+3b2+62ab8b17（8分）如图凸四边形ABCD，ABACBD+CD，ABD60求ACD的度数18（12分）（1）已知实数a、b满足（a+b）2a2+b2，试证明：（a+b）nan+bn（n为正整数，且n3）（2）试解下列方程：（x23x4）2+（2x2x1）2（3x24x5）2+19（12分）已知PC、PD为O
8、的切线，OP与CD交于M，弦AB经过点M求证：PO平分APB20（12分）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点（1）求函数y2x的不动点；（2）若函数y有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值及函数的不动点；（3）已知函数yax2+（b+1）x+（b1）（a0）当a1，b2时，求函数的不动点；若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围21（12分）射影几何的奠基人之一，法国数学家庞斯莱（17881867）发明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动AF与AD等长，CD，DE，EF，FC等长，并且BCADDC，使用时，将A，B钉牢在平
9、板上，并使A，B间的距离等于木棍BC的长，绕点B转动C点，则点C在一个圆上运动，E点就会在一条直线上运动这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏问题探究：爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点C在B上运动时，点E在一条直线上动，而且与AG垂直，垂足为H，怎么来说明这个结论呢？小明百思不得其解时，聪明的考生请你帮帮小明问题解决：（1）求证：A，C，E在一条直线上；（2）求证：点E在一定直线上运动22（12分）
10、已知p、q都是正实数，且pq（1）证明：必在和之间；（2）请问：和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由；（3）请你再写出一个式子，使得它的值比和的值更接近于参考答案一.选择题（本大题共6小题：每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）：1B； 2A； 3D； 4A； 5B； 6B；二.填空题（本大题共9小题：每小题5分，共45分.请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）7yx180（n3）； 8； 91或3； 10390； 1111； 1260； 13； 14，； 152；三.解答题（本大题共7题，共75分，其中第16题7分、第17题8分、第18、19、20、21、22题每题12分，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）16当或或时，原不等式成立； 17ACD60； 18（1）见解答；（2）x1或x4或x1或x；x1或x2或x1或x； 19证明见解析； 20（1）（1，1）；（2）（2，2），（2，2）；（3）（1，1），（3，3）；0a1； 21见解析； 22（1）证明过程见解析（2）当p时，更接近，当p时，更接近理由见解析（3）（答案不唯一）6
