1、1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢?这就是将要讨论的傅里叶级数.傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用,是又一类重要的级数.一、三角级数正交函数系三、收敛定理二、以 为周期的函数的傅里叶级数2 一、三角级数正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一常会碰到一 种周期运动种周期运动.最简单的周期运动最简单的周期运动,可用正弦函数可用正弦函数 sin()(1)yAx 来描述来描述.由由(1)(1
2、)所表达的周期运动也称为简谐振动所表达的周期运动也称为简谐振动,其中其中A为为振幅振幅.为为初相角初相角,为为角频率角频率,于是简谐于是简谐 振动振动y 的的周期周期是是 2.T 较为复杂的周期运动较为复杂的周期运动,则则 常常是几个简谐振动常常是几个简谐振动 sin(),1,2,kkkyAkxkn 11sin().(2)nnkkkkkyyAkxky2,1,2,TTknk 由于简谐振动由于简谐振动 的周期为的周期为所以函数所以函数(2)(2)周期为周期为T T.对无穷多个简谐振动进行叠对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数加就得到函数项级数 01sin().(3)nnnAAn x的叠加：
3、的叠加：若级数若级数(3)收敛收敛,则它所描述的是更为一般的周期运则它所描述的是更为一般的周期运 1 1 动现象动现象.对于级数对于级数(3),只须讨论只须讨论(如果如果可可 用用x 代换代换x)的情形的情形.由于由于 sin()sincoscossin,nnnnxnxnx 所以所以01sin()nnnAAnx 01(sincoscossin).(3)nnnnnAAnxAnx00,sin,cos,1,2,2nnnnnnaAAaAb n记记01(cossin).(4)2nnnaanxbnx它是由三角函数列它是由三角函数列(也称为三角函数系也称为三角函数系)1,cos,sin,cos2,sin2,
4、cos,sin,(5)xxxxnxnx所产生的一般形式的三角级数所产生的一般形式的三角级数.容易验证容易验证,若三角级数若三角级数(4)收敛收敛,则它的和一定是一则它的和一定是一 个以个以 为周期的函数为周期的函数.2关于三角级数关于三角级数(4)的收敛性有如下定理的收敛性有如下定理:则级数则级数()可写成可写成 3 定理定理 15.1 若级数若级数01|(|).2nnnaab收敛收敛,则级数则级数(4)(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证证 对任何实数对任何实数x,由于由于|cossin|,nnnnanxbnxab根据优级数判别法根据优级数判别法,就能得到本
5、定理的结论就能得到本定理的结论.为进一步研究三角级数为进一步研究三角级数(4)的收敛性的收敛性,先讨论三角函先讨论三角函 数系数系(5)的特性的特性.首先容易看出三角级数系首先容易看出三角级数系(5)中所中所 其次其次,在三角函数系在三角函数系(5)中中,任何两个不相同的函数任何两个不相同的函数 cosdsind0,(6)nx xnx xcoscosd0(),sinsind0(),(7)cossind0.mxnx xmnmxnx xmnmxnx x有函数具有共同的周期有函数具有共同的周期 2.的乘积在的乘积在 上的积分等于零上的积分等于零,即即,而而(5)中任何一个函数的平方在中任何一个函数的
6、平方在-,上的积分都上的积分都不等于零不等于零,即即 222cosdsind,(8)1 d2nx xx xx ,a b若两个函数若两个函数与与在在上可积上可积,且且 ()()d0baxxx ,a b,a b则称则称 与与在在上是上是正交正交的的,或在或在上具有上具有正正 交性交性.由此三角函数系由此三角函数系(4)在在,上具有上具有正交性正交性.或者说或者说(5)是正交函数系是正交函数系.现应用三角函数系现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数的正交性来讨论三角级数(4)的和函数的和函数 f 与级数与级数(4)的系数的系数0,nnaab之间的关系之间的关系.定理定理15.2 若在整个数轴上
7、若在整个数轴上 01()(cossin)(9)2nnnaf xanxbnx且等式右边级数一致收敛且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式则有如下关系式:1()cosd,0,1,2,(10)naf xnx x na二、以 为周期的函数的傅里叶级数 2 1()sind,1,2,(10)nbf xnx x nb证证 由定理条件由定理条件,函数函数 f 在在,上连续且可积上连续且可积.对对 (9)式逐项积分得式逐项积分得 ()df xx01d(cosdsind).2nnnaxanx xbnx x由关系式由关系式(6)知知,上式右边括号内的积分都等于零上式右边括号内的积分都等于零.所以所以 00()d2,
8、2af xxa即即01()d.af xx又以又以coskx乘乘(9)式两边式两边(k为正整数为正整数),得得0()coscos2af xkxkx 1(coscossincos).(11)nnnanxkxbnxkx 从第十三章从第十三章1 1 习题习题4 4知道知道,由级数由级数(9)一致收敛一致收敛,可可 得级数得级数(11)也一致收敛也一致收敛.于是对级数于是对级数(11)逐项求积逐项求积,有有 ()cosdf xkx x01cosd(coscosd2nnakx xanxkx x由三角函数的正交性由三角函数的正交性,右边除了以右边除了以ka为系数的那一为系数的那一 项积分项积分 2cosdk
9、x x外外,其他各项积分都等于其他各项积分都等于0,于是得出于是得出:()cosd(1,2,).kf xkx xaksincosd).nbnxkx x即即1()cosd(1,2,).kaf xkx xk同理同理,(9)式两边乘以式两边乘以sin kx,并逐项积分并逐项积分,可得可得 1()sind(1,2,).kbf xkx xk2,由此可知由此可知,若若f 是以是以 为周期且在为周期且在 上可积的上可积的 nanb函数函数,则可按公式则可按公式(10)计算出计算出 和和,它们称为函数它们称为函数 f (关于三角函数系关于三角函数系(5)的的傅里叶系数傅里叶系数,以以 f 的傅里的傅里 叶系数
10、为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数(9)称为称为 f (关于三角函数关于三角函数 系系)的的傅里叶级数傅里叶级数,记作记作 01()(cossin).(12)2nnnaf xanxbnx这里记号这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数数,由定理由定理15.2知道知道:若若(9)式右边的三角级数在整式右边的三角级数在整 个数轴上一致收敛于和函数个数轴上一致收敛于和函数 f,则此三角级数就是则此三角级数就是 f 的傅里叶级数的傅里叶级数,即此时即此时(12)式中的记号式中的记号“”可换为可换为 函数函数 f 出发出发,按公式按公式(10)求出其傅里叶系数
11、并得到求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛这时还需讨论此级数是否收敛.如果收敛如果收敛,是否收敛于是否收敛于 f 本身本身.这就是下一段所要这就是下一段所要 叙述的内容叙述的内容.等号等号.然而然而,若从以若从以 为周期且在为周期且在,上可积的上可积的 2,x 函数函数 f 在在 上按段光滑上按段光滑,则在每一点则在每一点f 的傅里叶级数的傅里叶级数(12)收敛于收敛于f 在点在点x 的左、右极限的的左、右极限的 算术平均值算术平均值,即即 01(0)(0)(cossin),22nnnaf xf xanxbnx,nna b其中其中为为f 的傅里叶系数
12、的傅里叶系数.定理的证明将在定理的证明将在3中进行中进行.定理定理15.315.3(傅里叶级数收敛定理傅里叶级数收敛定理)若以若以 为周期的为周期的 2三、收敛定理注注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对但它对 函数的要求却比幂级数要低得多函数的要求却比幂级数要低得多,所以应用更广所以应用更广.而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.概念解释概念解释1.若若f 的导函数在的导函数在 ,a b上连续上连续,则称则称f在在a,b上上光光滑滑.2.如果定义在如果定义在 ,a b 上函数上函数f 至多有有限个第一类间至多有
13、有限个第一类间 断点断点,其导函数在其导函数在 a,b 上除了至多有限个点外都存上除了至多有限个点外都存 在且连续在且连续,并且在这有限个点上导函数并且在这有限个点上导函数 f 的左、右的左、右 极限存在极限存在,则称则称 f 在在 ,a b上上按段光滑按段光滑.在在a,b上按段光滑的函数上按段光滑的函数 f,有如下重要性质有如下重要性质:(i)f 在在 ,a b上可积上可积.,a b(0)f x (ii)在在 上每一点都存在上每一点都存在 ,如果在不连续如果在不连续 ()(0)f xf x ()(0)f xf x 点补充定义点补充定义 ,或或 ,则则 还有还有 00()(0)lim(0),(
14、13)()(0)lim(0),ttf xtf xfxtf xtf xfxtf ,a b(iii)在补充定义在补充定义在在上那些至多有限个不存在上那些至多有限个不存在 f f 导数的点上的值后导数的点上的值后(仍记为仍记为 ),在在a,b上可积上可积.从几何图形上讲从几何图形上讲,在在 区间区间a,b上按段光滑上按段光滑 光滑函数光滑函数,是由有限个是由有限个 多有有限个第一类间多有有限个第一类间 断点断点 (图图15-1).光滑弧段所组成光滑弧段所组成,它至它至 151 图图Oxb()yf x 1x2xa3x4xy收敛定理指出收敛定理指出,f 的傅里叶级数在点的傅里叶级数在点 x 处收敛于处收
15、敛于 在在f该点的左、右极限的算术平均值该点的左、右极限的算术平均值(0)(0);2f xf x而当而当 f 在点在点 x 连续时连续时,则有则有(0)(0)(),2f xf xf x即此时即此时f的傅里叶级数收敛于的傅里叶级数收敛于 ()f x.这样便有这样便有 上按段光滑上按段光滑,则则 f 的傅里叶级数在的傅里叶级数在 (,)上收敛上收敛 于于 f .推论推论 若若 f 是以是以 为周期的连续函数为周期的连续函数,且在且在 ,2所以所以系数公式系数公式(10)中的积分区间中的积分区间 ,可以改为长可以改为长 221()cosd0,1,2,(10)1()sind1,2,cnccncaf x
16、nx xnbf xnx xn其中其中 c 为任何实数为任何实数.注注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常经常 (,)只给出函数在只给出函数在 (或或 )上的解析式上的解析式,但读但读 注注1 根据收敛定理的假设根据收敛定理的假设,f 是以是以 为周期的函数为周期的函数,2nanb度为度为 的任何区间的任何区间,而不影响而不影响 ,的值的值:2者应理解为它是定义在整个数轴上以者应理解为它是定义在整个数轴上以 2为周期的函为周期的函 (,(,数数,即在即在 以外的部分按函数在以外的部分按函数在 上的对上的对 应关系做应关系做周期延拓周期延拓.也就是说函数本
17、身不一定是定也就是说函数本身不一定是定 义在整个数轴上的周期函数义在整个数轴上的周期函数,但我们认为它是周期但我们认为它是周期 函数函数.如如 f 为为 (,上的解析表达式上的解析表达式,那么周期延拓那么周期延拓 后的函数为后的函数为 (),(,()(2),(21),(21),1,2,.f xxf xf xkxkkk 如图如图15-2所示所示.因此当笼统地说函数的傅里叶级数因此当笼统地说函数的傅里叶级数 时就是指函数时就是指函数 f 的傅里叶级数的傅里叶级数.例例 1 设设,0,()0,0,xxf xx求求 f 傅里叶级数展傅里叶级数展 152()yf x图图实实线线与与虚虚线线的的全全体体表
18、表示示Ox()yf x 3 35y开式开式.解解 函数函数 f 及其周期延拓后的图像如图及其周期延拓后的图像如图15-3 所示所示,显然显然 f 是按段光滑的是按段光滑的.153 图图Oyx()yf x 3 352 24故由傅里叶级数收敛定理故由傅里叶级数收敛定理,它可以展开成傅里叶级它可以展开成傅里叶级 数数.由于由于 0011()dd,2af xxx x 当当n1时时,011()cosdcosdnaf xnx xxnx x 2000111sinsindcos|xnxnx xnxnnn2221(cos 1)nnnnn，当当 为为奇奇数数时时,0 0，当当 为为偶偶数数时时,011()sind
19、sindnbf xnx xxnx x 0011coscosd|xnxnx xnn120(1)1cosdnnx xnn1(1),nn(,)所以在开区间所以在开区间 上上21()cossinsin24221cos3sin3.93f xxxxxx在在x 时时,上式右边收敛于上式右边收敛于 (0)(0)0.222ff于是于是,在在 ,上上 f 的傅里叶级数的图象如图的傅里叶级数的图象如图15-4 所示所示(注意它与图注意它与图15-3 的差别的差别).).154 图图Oyx()yf x 3 3 52 242例例2 将下列函数展开成傅里叶级数将下列函数展开成傅里叶级数:22,0,()0,2.xxf xx
20、xx解解 f 及其周期延拓的及其周期延拓的 图形如图图形如图15-5 所示所示.显然显然 f 是按段光滑的是按段光滑的,因此可以展开成傅里因此可以展开成傅里 叶级数叶级数.155 图图Oyx()yf x 3 32 210 0c 0,2 在在()中令中令,在在 上计算傅里叶系数如下上计算傅里叶系数如下:2001()daf xx222011d()dxxxx22272,33 201()cosdnaf xnx x222011cosd()cosdxnx xxnx x2320122sincosxxnxnxnnn24(1)1,nn201()sindnbf xnx x2232122sincosxxnxnxnn
21、n222011sind()sindxnx xxnx x2320122cossinxxnxnxnnn2232122cossinxxnxnxnnn 223221(1).nnnn所以当所以当(0,)(,2)x时时,2214()(1)1cosnnf xnxn 222118 coscos3cos535xxx 2232 21(1)sinnnxnnn2223234(34)sinsin2sin3233xxx2sin4.4x当当x 时时,由于由于(0)(0)0,2ff所以所以 222211108.(14)1352211(00)(00)(40)2,22ff-因此因此当当0 x 或或 时时,由于由于22222211
22、128.(15)135 由由(14)或或(15)都可推得都可推得2222111.1358注注 上式提供了一个计算上式提供了一个计算 的方法的方法.还可以找出其他还可以找出其他 展开式来计算展开式来计算 ,关键是收敛速度要快关键是收敛速度要快.例例3 在电子技术中经常用到矩形波在电子技术中经常用到矩形波(如图如图15-6所示所示),),反映的是一种复杂的周期运动反映的是一种复杂的周期运动,用傅里叶级数展开用傅里叶级数展开 后后,就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的 简谐振动的叠加简谐振动的叠加,在电工学中称为谐波分析在电工学中称为谐波分析.()f x2
23、设设是周期为是周期为的矩形波函数的矩形波函数(图图15-6),Oxy44156图图,)在在上的表达式为上的表达式为,0,4(),0.4xf xx 求该矩形波函数的傅里叶展开式求该矩形波函数的傅里叶展开式.解解 由于由于()f x是奇函数是奇函数,积分区间是对称区间积分区间是对称区间 ,所以所以 01()d0,af xx 012()sindsind4nbf xnx xnx x 01 11cos(1cos)22nxnnn1,1,3,5,0,2,4,6,.nnn 于是当于是当,0,1,2,xkk 时时,1()cosd0,naf xnx x 11()sinsin3sin(21).321f xxxnxn 当当,0,1,2,xkk 时时,级数收敛到级数收敛到 0(实际上级数每一项都为实际上级数每一项都为 0).).-2-1012xy36/5 sin(x)/+.+36/65 sin(13 x)/Oxy44157图图 1n 2n 7n复习思考题 ,()()ff 设函数设函数 f 在在上可积上可积,并且并且,这样这样 的函数能否求出其傅里叶级数的函数能否求出其傅里叶级数?
