1、初等模型初等模型 中国地质大学数学建模基地中国地质大学数学建模基地初等模型初等模型l如果研究对象的机理比较简单，一般用静如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。通过下面的几个方法来构造和求解模型。通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。就可以解决一些有趣的实际问题。2 第第二二章章 初等模型初等模型2.12.1 舰艇的会合舰艇的会合2.22.2 公平公平的席位
2、分配的席位分配2.3 2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.4 2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离2.52.5 崖高的估算崖高的估算3某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。2.1 舰舰艇的会合艇的会合412,11222aabrbaah令：令：则上式可简记成则上式可简记成：222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b
3、)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2)()(22222b-yx a byx即：即：22222222)1(411ababaayx可化为：可化为：记记v2/v1=a通常通常a1 222|AP|a|BP|则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。bxy)(tan1（护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）bxy)(tan2（航母的路线方程（航母的路线方程）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 52.2 公平的席位分配公平的席位分配l 设有A、B两个单位，各有人数 、个，现在要求按人数选出
4、个代表召开一次代表会议。那么怎样分配这 个席位呢？一般的方法是令：l 若 恰好是两个整数，就以 分别作为A，B两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。当 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。QQ1P2Pqpppq212*2qpppq211*1 21,qq21,qq21,qq6公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.
5、615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 1
6、7.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 217“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n
7、1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=58公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B
8、不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对即对A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义91）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n
9、2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B10当当 rB(n1+1,n2)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数18假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距
10、离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;vtd11F d2=m v2/2F m21kvvtdt1为反应时间为反应时间21ddd且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比22kvd19 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间
11、计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.320“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒准秒准则则”22106.075.0vvkvvtd模模 型型车速车速(英里
12、英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234212.5 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析
13、一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。22方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如，设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5米。米。221gth 我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。23vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻空气阻力力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于
14、石块下落的速度，阻力系落的速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可为常数，因而，由牛顿第二定律可得：得：kgcevkt令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 ktekgkgv再积分一次，得：再积分一次，得：cekgtkghkt224若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米。米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后
15、应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。222)1(kgektkgkgekgtkghktkt多测几次，取平均多测几次，取平均值值代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式：将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+，即可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。25还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组：
16、933401212211.ttthkg)ekt(kghkt这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如，若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。26
