1、平面向量基本定理 临澧四中数学组：陈宏林2非非零零向向 向向量量 与与量量b ba a共共线线,当当 时，时，0与与 同向，同向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a当当 时，时，0与与 反向，反向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a|当当 时，时，00b，且，且 .|0b有有且且只只有有一一个个实实数数，使使得得b=b=a.a.向量共线充要条件向量共线充要条件复习:3ab向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则共起点共起点首尾相接首尾相接4问题：（问题：（1）向量）向量 是否可以用含有是否可以用含有e1、e2的式的式子来表示呢？怎样表示？子
2、来表示呢？怎样表示？（2）若向量）若向量 能够用能够用e1、e2表示，这种表示表示，这种表示是否唯一？请说明理由是否唯一？请说明理由.引入:aa51e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a 1 12 2思思考考：一一个个平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量e e、e e 与与该该平平面面 内内的的任任一一向向量量 a a之之间间的的关关系系.新课:61e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 71 122+aee 1 11 12
3、22 2这这就就是是说说平平面面内内任任一一向向量量a a都都可可以以表表示示成成 e e +e e 的的形形式式8平面向量基本定理 如果如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一，有且只有一对实数对实数a1、a2，使，使 1 122aaaee说明：说明：e1、e2是两个不共线的向量；是两个不共线的向量；a是平面内的任一向量；是平面内的任一向量；a1，a2实数，唯一确定实数，唯一确定.9a1e1+a2e2=xe1+ye2,(xa1)e1+(ya2)e2=0(存在性存在性)(唯一性唯一性)10 我们把不
4、共线向量我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内叫做这一平面内所有向量的一组所有向量的一组基底基底，记为，记为e1，e2，a1e1+a2e2叫做向量叫做向量a关于基底关于基底e1，e2的分的分解式。解式。11例例1.已知平行四边形已知平行四边形ABCD的两条对角线相交的两条对角线相交于于M，设，设 ，试用基底，试用基底a，b表示表示ABaADb,MA MB MC MD实例:12例例 2.已知已知A,B是是l上任意两点，上任意两点，O是是l外一点，外一点，求证：对直线求证：对直线l上任一点上任一点P，存在实数，存在实数t，使，使 关于基底关于基底 的分解式为的分解式为OP,OA OB (1).O
5、Pt OAtOB 13 根据平面向量基本定理，同一平面内任一根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得知可得 OPOAAP OAtAB ()OAt OBOA(1)OPt OAtOB 即 1()2 OMOAOB特殊地，令特殊地，令t=,点点M是是AB的中点，则的中点，则1214例例3.已知平行四边形已知平行四边形ABCD中中,M,N分别是分别是DC,BC的中点且的中点且 ，用，用 表示表示 .,AMc ANd ,c d ,AB AD D B C A N M解：设解：设,ABa ADb1212cbadab 423342
6、33adcbcd 15例例4.已知向量已知向量 不共线，不共线，如果向量如果向量 与与 共线共线,求求.12,e e12ee 12ee 解：由已知得解：由已知得1212()eeee所以所以1 解得解得=1.16 1 1.在在 A AB BC CD D中中，设设A AC C=a a,B BD D=b b,则则A AB B=,A AD D=.(用用a a、b b来来表表示示)练习:2ab2abBACD1718 （高考实战）(2 20 00 07 7江江西西)如如图图,在在A AB BC C中中,点点O O是是B BC C的的中中点点,过过点点O O的的直直线线分分别别交交直直线线A AB B,A
7、AC C于于不不同同的的两两点点M M,N N,若若A AB B=m mA AM M,A AC C=n nA AN N,则则m m+n n的的值值为为_ _ _ _ _:_ _ _ _ _.ABCMNO219 两个向量的夹角两个向量的夹角.)1800(,的夹角和叫做向量则作和量定义：已知两个非零向baAOBbOBaOAba OAaBb.1800反反向向与与时时，同同向向；当当与与时时，显显然然，当当baba .90bababa 垂垂直直，记记作作与与，我我们们就就说说的的夹夹角角是是与与定定义义：如如果果20 课堂小结:平面向量基本定理：1 12 2 这这里里不不共共线线的的向向量量e e、e
8、 e 叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组基基底底.1 12 21 12 21 11 12 22 2 如如果果e e、e e 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一对对实实数数 、，可可使使 a a=e e +e e 1 12 21 11 12 22 21 12 2一一个个平平面面向向量量用用一一组组基基底底e e,e e 表表示示成成=e e+e e的的形形式式，我我们们称称它它为为向向量量的的分分解解。当当e e,e e 互互相相垂垂直直时时，就就称称为为向向量量的的正正交交分分解解。
