2020年山东省高考数学模拟试卷（2）.docx

1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2（5分） 已知平面向量 、 的夹角为135， 且 为单位向量， = (1，1)， 则| + | = （ ） A5 B3 + 2 C1 D3 2 3 （5 分）已知随机变量 XB（4，p） ，若 P（X2）= 8 27，则 D（X）（ ） A2 9 B4 9 C2 3 D8

2、9 4 （5 分） 在四面体 PABC 中， ABC 是边长为 4 的等边三角形， PA4， PB3， PC5， 则四面体 PABC 的体积为（ ） A39 B43 C203 3 D163 3 5 （5 分）为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单 位：吨） ，将该数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4.4.5分成 9 组，绘制了如图所示的频率 分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准 a，使 85%的居民 用水量不超过 a，按平价收水费，超出 a 的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准 a 的是（ ） A2.5 吨 B3 吨 C3

3、.5 吨 D4 吨 6 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递减的函数是（ ） Ay2x2 x Byxtanx Cyxsinx D = 1 2 第 2 页（共 17 页） 7 （5 分）若 x5a0+a1（x2）+a2（x2）2+a5（x2）5，则 a0（ ） A32 B2 C1 D32 8 （5 分）已知椭圆 C1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与双曲线 C2： 2 2 2 2 = 1（m0，n 0）有共同的左、右焦点 F1、F2，且在第一象限的交点为 P，满足 22 = 2 2 （其 中 O 为坐标原点） ，设 C1，C2的离心率分别为 e1，e2，当 4e1+e2取得

4、最小值时，e1的值 为（ ） A 6 3 B 3 3 C 2 4 D 2 2 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ） A直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角等于 4 B点 C 到面 ABC1D1的距离为 2 2 C两条异面直线 D1C 和 BC1所成的角为 4 D三棱柱 AA1D1BB1C1外接球半径为 3 2 10（5 分） 已知数列an中， a11， a22， 且n1， 其前 n 项和 Sn满足 Sn+1+Sn12 （Sn+1） ， 则（

5、 ） Aa713 Ba814 CS743 DS864 11 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ） Aa2+b28 B 1 1 4 C 2 D1 + 1 1 12 （5 分）关于函数 f（x）4sin（2x+ 3） （xR） ，下列命题正确的是（ ） A函数 yf（x）的振幅是 4 B函数 yf（x）是以 2 为最小正周期的周期函数 第 3 页（共 17 页） C函数 yf（x）的图象关于点（ 6 ，0）对称 D函数 yf（x）的图象关于直线 x= 6对称 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分

6、）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边过点（ 22 3 ， 1 3） ，则 sin（2+ 3 2 ） 14 （5 分）如图，PA平面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PAAD，E，F 分别是线段 PA， CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P，若 =3 ，则|AF|+|BF| ，|AB| 16 （5 分）已知函数 f（x）（1 5） x1，x1，0，g（x）a2log2x+3a，x 2 2 ，2

7、， 对任意的 x0 2 2 ，2，总存在 x11，0使得 g（x0）f（x1）成立，则实数 a 的取值 范围是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大

8、时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 第 4 页（共 17 页） 19 （12 分）已知数列an和bn都是各项为正数的等比数列，设数列lnan和lnbn的前 n 项和分别为 An和 Bn，a12， = 2:1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）记 cn2an1:2 4 ，求数列cn的前 n 项和n 20 （12 分）已知 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，点 A 在 C 上，A 到 y 轴的距离 比|AF|小 1 （1）求 C 的方程； （2） 设直线 AF 与 C 交于另一点 B， M 为 AB 的中点， 点 D 在 x 轴上， |DA|DB|， 若|DM|

9、= 6，求直线 AF 的斜率 21 （12 分）集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正 常工作的概率分别降为1 2， 1 2， 2 3，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元 件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E 所需 费用为 100 元 （）求集成电路 E 需要维修的概率； （）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所 需的费用，求 X 的分布列和期望 22 （12 分）已知函数 f（x）= （1）若对任意 x（0，+） ，f（x）kx 恒成立，求 k 的取

10、值范围； （2）若函数 g（x）f（x）+ 1 m 有两个不同的零点 x1，x2，证明：x1+x22 第 5 页（共 17 页） 2020 年山东省高考数学模拟试卷（年山东省高考数学模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2（5分） 已知平面向量 、 的夹角为135， 且 为单位向量， = (

11、1，1)， 则| + | = （ ） A5 B3 + 2 C1 D3 2 【解答】解：由题意知，平面向量 、 的夹角为 135，且| |1， = (1，1)， 所以| |= 12+12= 2， =1 2 cos1351， ( + )2= 2 +2 + 2 =1+2（1）+21， 所以| + | =1 故选：C 3 （5 分）已知随机变量 XB（4，p） ，若 P（X2）= 8 27，则 D（X）（ ） A2 9 B4 9 C2 3 D8 9 【解答】解：随机变量 XB（4，p） ， 由 P（X2）= 8 27，得4 2p2 （1p）2= 8 27， 解得 p= 1 3或 p= 2 3； 所以

12、D（X）4p（1p）4 1 3 2 3 = 8 9 故选：D 4 （5 分） 在四面体 PABC 中， ABC 是边长为 4 的等边三角形， PA4， PB3， PC5， 则四面体 PABC 的体积为（ ） A39 B43 C203 3 D163 3 【解答】解：将三棱锥翻转一下，如图， 第 6 页（共 17 页） 由斜线长相等，射影长相等可得 A 在平面 PBC 内的射影 H 为直角三角形 PBC 的外心， 故 H 为PBC 斜边 CP 的中点，且 AH平面 PAC，即 AH 为三棱锥的高， 由勾股定理得 AH=16 25 4 = 39 2 ， 该三棱锥 PABC 的体积为： VPABCVA

13、PBC= 1 3 = 1 3 1 2 3 4 39 2 = 39 故选：A 5 （5 分）为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量（单 位：吨） ，将该数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4.4.5分成 9 组，绘制了如图所示的频率 分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准 a，使 85%的居民 用水量不超过 a，按平价收水费，超出 a 的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准 a 的是（ ） A2.5 吨 B3 吨 C3.5 吨 D4 吨 【解答】解：0，0.5）的频数为 0.080.51004，0.5，1）的频数为 0.160.510

14、0 第 7 页（共 17 页） 8，1，1.5）的频数为 0.30.510015， 1.5，2）的频数为 0.440.510022，2，2.5）的频数为 0.50.510025，2.5，3） 的频数为 0.280.510014，3，3.5）的频数为 0.120.51006， 3.5，4）的频数为 0.080.51004，4.4.5的频数为 0.040.51002 4+8+15+22+25+1486 故前六组占 86%，a 为 3 吨 故选：B 6 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递减的函数是（ ） Ay2x2 x Byxtanx Cyxsinx D = 1 2 【解答】解：A

15、y2x2 x 在（0，+）上单调递增，该选项错误； Byxtanx 是偶函数，该选项错误； Cy1cosx0，yxsinx 在（0，+）上是增函数，该选项错误； D. = 1 2是奇函数，且 = 1 和 y2x 在（0，+）上都是减函数， = 1 2在 （0，+）上单调递减，该选项正确 故选：D 7 （5 分）若 x5a0+a1（x2）+a2（x2）2+a5（x2）5，则 a0（ ） A32 B2 C1 D32 【解答】解：x5a0+a1（x2）+a2（x2）2+a5（x2）5， 令 x20，可得 a02532， 故选：D 8 （5 分）已知椭圆 C1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与双

16、曲线 C2： 2 2 2 2 = 1（m0，n 0）有共同的左、右焦点 F1、F2，且在第一象限的交点为 P，满足 22 = 2 2 （其 中 O 为坐标原点） ，设 C1，C2的离心率分别为 e1，e2，当 4e1+e2取得最小值时，e1的值 为（ ） A 6 3 B 3 3 C 2 4 D 2 2 【解答】解：如图，作 PMF1F2，垂足为 M， 根据椭圆与双曲线的定义可得|1| + |2| = 2 |1| |2| = 2，解得 |1| = + |2| = 第 8 页（共 17 页） 由 22 = 2 2 ，得点 P 的横坐标为= 2 即|1| = 3 2 ，|2| = 1 2 由勾股定理

17、可得( + )2 (3 2) 2 = ( )2 (1 2) 2， 整理得：c22am，即 e1e22 4e1+e2取 2412= 42，当且仅当 4e1e2，即1= 2 2 时取等号 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则下列四个命题正确的是（ ） A直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角等于 4 B点 C 到面 ABC1D1的距离为 2 2 C两条异面直线 D1C 和 BC1所成的角为 4 D三棱柱 AA1D1BB1C1外接球半径为 3 2 【解答】解：正方

18、体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 对于选项 A：直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角为1= 4，故选项 A 正确 对于选项 B：点 C 到面 ABC1D1的距离为 B1C 长度的一半，即 h= 2 2 ，故选项 B 正确 第 9 页（共 17 页） 对于选项 C：两条异面直线 D1C 和 BC1所成的角为 3，故选项 C 错误 对于选项 D：三棱柱 AA1D1BB1C1外接球半径 r= 12+12+12 2 = 3 2 ，故选项 D 正确 故选：ABD 10（5 分） 已知数列an中， a11， a22， 且n1， 其前 n 项和 Sn满足 Sn+1+Sn12 （Sn+1） ，

19、则（ ） Aa713 Ba814 CS743 DS864 【解答】解：由 Sn+1+Sn12（Sn+1） ，得 an+1an2（n2） ， 又因为 a2a11，所以数列an从第二项起为等差数列，且公差 d2， 故 a7a2+5d2+5212，a8a2+6d2+6214， 所以选项 A 错误，选项 B 正确， 又7= 1+ 6(2+7) 2 =1+ 6(2+12) 2 =43，8= 1+ 7(2+8) 2 =1+ 7(2+14) 2 =57， 所以选项 C 正确，选项 D 错误， 故选：BC 11 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ） Aa2+b28 B 1 1

20、4 C 2 D1 + 1 1 【解答】解：由题意，可知 16（a+b）2a2+b2+2ab2ab+2ab4ab， ab4 则 2ab8， a2+b2162ab1688故选项 A 正确； 4a+b2， 2，ab4 a0，b0，ab0 1 1 4，故选项 B 正确； 2，故选项 C 错误； 对于选项 D：1 + 1 = : = 4 4 4 =1 故选项 D 错误 故选：AB 第 10 页（共 17 页） 12 （5 分）关于函数 f（x）4sin（2x+ 3） （xR） ，下列命题正确的是（ ） A函数 yf（x）的振幅是 4 B函数 yf（x）是以 2 为最小正周期的周期函数 C函数 yf（x）

21、的图象关于点（ 6 ，0）对称 D函数 yf（x）的图象关于直线 x= 6对称 【解答】解：由 f（x）4sin（2x+ 3） （xR）知， 振幅为 4，周期 T= ，故 A 正确，B 错误； 当 x= 6时，f（x）4sin00，故 C 正确，D 错误 故选：AC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边过点（ 22 3 ， 1 3） ，则 sin（2+ 3 2 ） 7 9 【解答】解：平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点为 O，其始边

22、与 x 轴的非负半轴重 合，终边过点（ 22 3 ， 1 3） ， sin= 1 3 (22 3 )2+(1 3) 2 = 1 3， sin（2+ 3 2 ）cos2（12sin2）2（ 1 3） 21= 7 9 故答案为： 7 9 14 （5 分）如图，PA平面 ABCD，ABCD 为正方形，且 PAAD，E，F 分别是线段 PA， CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 3 6 第 11 页（共 17 页） 【解答】解：如图，取 BC 的中点 G，连接 FG，EG，则 BDFG， 通过异面直线所成角的性质可知EFG（或其补角）就是异面直线 EF 与 BD 所成的角 设

23、AD2，则 = 2+ 2= 6，同理可得 = 6 又 = 1 2 = 2， 所以在EFG 中， = 2+22 2 = 3 6 ， 故异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为 3 6 故答案为： 3 6 15 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P，若 =3 ，则|AF|+|BF| 12 ，|AB| 82 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，斜率为 1 的直线 l 的方程为 xy+m，则 P（m， 0） ， 联立 = + 2= 4 ，得 y24y4m0，1 + 2= 4 12= 4， =3

24、，y13y2， 又 y1+y24，y16，y22，从而 x19，x21， 故|AF|+|BF|x1+x2+212 由 A（9，6） ，B（1，2） ，得|AB|= 82 故答案为：12；82 16 （5 分）已知函数 f（x）（1 5） x1，x1，0，g（x）a2log2x+3a，x 2 2 ，2， 对任意的 x0 2 2 ，2，总存在 x11，0使得 g（x0）f（x1）成立，则实数 a 的取值 范围是 a|0a1 第 12 页（共 17 页） 【解答】解：() = (1 5) 1， 1，0， f（0）f（x）f（1） ，即 0f（x）4，即函数 f（x）的值域为 B0，4， 若对于任意的

25、 x11，0，总存在0 2 2 ，2，使得 g（x0）f（x1）成立， 则函数 g（x）在 2 2 ，2上值域是 f（x）在1，0上值域 A 是集合 B 的子集，即 AB， 若 a0，g（x）0，此时 A0，满足条件 当 a0 时，g（x）a2log2x+3a 在 2 2 ，2是增函数，g（x） 1 2 2+3a，a2+3a， 即 A 1 2 2+3a，a2+3a， 1 2 2+ 3 0 2+ 3 4 ， 解可得 0a1， 故答案为：a|0a1 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，

26、c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【解答】解： （1）由; ; = :， 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （a+b）22ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 可得： （a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 第 13 页（共 17 页） 所以 a+b 的取值范围是（3，6 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，

27、BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 【解答】 （1）证明：取 BC 中点 M，连接 PM，AM， 因为四边形 ABCD 为菱形且BAD120 所以 AMBC， 因为 PBPC，所以 PMBC， 又 AMPMM， 所以 BC平面 PAM，因为 PA平面 PAM， 所以 PABC 同理可证 PADC， 因为 DCBCC， 所以 PA平面 ABCD （2）解：由（1）得 PA平面 ABCD， 所以平面 PAF平面 AB

28、CD，平面 PAF平面 ABCDAF 所以点 B 到直线 AF 的距离即为点 B 到平面 PAF 的距离 过 B 作 AF 的垂线段， 在所有的垂线段中长度最大的为 AB2， 此时 AF 必过 DC 的中点， 因为 E 为 PB 中点，所以此时，点 E 到平面 PAF 的距离最大，最大值为 1 以 A 为坐标原点，直线 AF，AB，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz 则(0，0，0)，(3，1，0)，(0，1，1)，(0，2，0)， 所以 = (3，1，0)， = (0，1，1)， = (0，2，0)， 第 14 页（共 17 页） 平面 PAF 的一个法向量为 = (0

29、，2，0)， 设平面 AEC 的法向量为 = (，)， 则 = 3 + = 0 = + = 0 ， 取 y1，则 = ( 3 3 ，1， 1)， ， = | | | = 21 7 ， 所以 ， = 27 7 ， 所以面 PAF 与面 EAC 所成二面角的正弦值为27 7 19 （12 分）已知数列an和bn都是各项为正数的等比数列，设数列lnan和lnbn的前 n 项和分别为 An和 Bn，a12， = 2:1 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）记 cn2an1:2 4 ，求数列cn的前 n 项和n 【解答】解： （1）由题意，设等比数列an的公比为 q（q0） ，则 +1 =q，nN

30、*， 两边取以 e 为底的对数，可得 ln+1 =lnan+1lnanlnq， 故数列lnan是以 lnq 为公差的等差数列， 同理可得，数列lnbn也是一个等差数列， 第 15 页（共 17 页） = 2 2 = 1:21 1:21 = (21)(1+21) 2 (21)(1+21) 2 = 21 21 = 2;1 2(2;1):1 = 2;1 4;1， 设 lnank（2n1） ，则 lnbnk（4n1） ，k0， a12，即 lna1ln2， k（211）ln2，解得 kln2， lnank（2n1）（2n1）ln2，即 an22n 1，nN*， 同理，lnbn（4n1）ln2，即 an

31、24n 1，nN* （2）由（1）知， cn2an1:2 4 =222n 11:2241 4 =22n1:4;1 4 =n4n， 则nc1+c2+c3+cn141+242+343+n4n， 4n142+243+（n1） 4n+n4n+1， ，可得 3n41+42+43+4nn4n+1= 44+1 14 n4n+1（n 1 3） 4 n+14 3， n= 31 9 4n+1 4 9 20 （12 分）已知 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，点 A 在 C 上，A 到 y 轴的距离 比|AF|小 1 （1）求 C 的方程； （2） 设直线 AF 与 C 交于另一点 B， M 为 AB 的

32、中点， 点 D 在 x 轴上， |DA|DB|， 若|DM|= 6，求直线 AF 的斜率 【解答】解： （1）设抛物线的准线方程为 l，过 A 做准线的垂线交于 H，由抛物线的定义 可得|AF|AH|， 因为 A 到 y 轴的距离比|AF|小 1所以 2 =1，解得 p2， 所以抛物线的方程为：y24x； （2）由题意设直线 AF 的方程为 yk（x1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线与抛物线的方程： = ( 1) 2= 4 ， 整理可得 k2x2 （2k2+4） x+k20， x1+x2= 22+4 2 ， 所以 y1+y2k（x1+x2）2k= 4 ， 第 16

33、页（共 17 页） 又因为 M 为 AB 的中点，所以 M（ 2:2 2 ，2 ） ， 所以直线 DM 的方程为 y 2 = 1 （x 2+2 2 ） ，令 y0 可得 x3+ 2 2，所以 D（3+ 2 2， 0） ， 所以|DM|=22+ (2 ) 2 = 4 + 4 2 = 6，解得 k22， 所以直线 AF 的斜率为：2 21 （12 分）集成电路 E 由 3 个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正 常工作的概率分别降为1 2， 1 2， 2 3，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元 件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成

34、电路 E 所需 费用为 100 元 （）求集成电路 E 需要维修的概率； （）若某电子设备共由 2 个集成电路 E 组成，设 X 为该电子设备需要维修集成电路所 需的费用，求 X 的分布列和期望 【解答】解： （）三个电子元件能正常工作分别记为事件 A，B，C，则 P（A）= 1 2，P （B）= 1 2，P（C）= 2 3 依题意，集成电路 E 需要维修有两种情形： 3 个元件都不能正常工作， 概率为 P1P （） P （） P （） P （） = 1 2 1 2 1 3 = 1 12 3 个元件中的 2 个不能正常工作，概率为 P2P（A）+P（B）+P（C） = 1 2 1 2 1 3

35、+ 1 2 1 2 1 3 + 1 2 1 2 2 3 = 1 3 所以，集成电路 E 需要维修的概率为 P1+P2= 1 12 + 1 3 = 5 12 （）设 为维修集成电路的个数，则 服从 B（2， 5 12） ，而 X100， P（X100）P（k）= 2 (5 12) (7 12) 2;，k0，1，2 X 的分布列为： X 0 100 200 P 49 144 35 72 25 144 EX0 49 144 +100 35 72 +200 25 144 = 250 3 第 17 页（共 17 页） 22 （12 分）已知函数 f（x）= （1）若对任意 x（0，+） ，f（x）kx

36、恒成立，求 k 的取值范围； （2）若函数 g（x）f（x）+ 1 m 有两个不同的零点 x1，x2，证明：x1+x22 【解答】解： （1）因为 x0， 由 f（x）= 可得 k 2 ， 令 t（x）= 2 ，则 t（x）= 12 3 ， 当 0时，t（x）0，t（x）单调递增，当 x时，t（x）0，t（x）单调 递减， 故当 x= 时，t（x）取得最大值 t（）= 1 2， 所以 k 1 2； （2）由 g（x）f（x）+ 1 m0 有两个不同的零点 x1，x2，不妨设 0x1x2， 故 g（x1）g（x2） ， 因为 g（x）= 2 ， 易得，当 0x1 时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x1 时，g（x）0，g（x） 单调递减， 所以 0x11x2， 令 h（x）g（x）g（2x） ，x（0，1） ， 则 h（x）g（x）+g（2x）= 2 (2) (2)2 2 (2) 2 = +(2) 2 = (22) 2 = (1)2+1 2 0， 所以 h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）0， 故 g（x）g（2x） ， 因为 0x11，故 g（x1）g（2x1） ， 因为 g（x1）g（x2） ， 所以 g（x2）g（2x1） ， 又当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递减，则 x22x1， 故 x1+x22