1、12描述系统运动的数学模型描述系统运动的数学模型状态变量描述状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式。状态方程是这种描述的最基本形式。建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法 实验法实验法 解析法解析法 输入输出描述输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出。框图等其它模型均由它而导出。3用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的一般步骤根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式
2、对所求的微分方程进行标准化处理图2-1-L-C电路dtduCiidtCuuudtdiliRccrc即即,1rcccuudtduRCdtudLC22消去中间变量 ，则有:i由基尔霍夫定律得：电气网络系统电气网络系统1、无负载效应的电路4图2-2 R-C滤波网络crudtiCdtiiCRidtiCuRidtiiC222112222112111)(11)(11ircccuudtduCRCRCRdtudCCRR212211222121消去中间变量i1 、i2 得或写作rcccuudtduTTTdtudTT32122122、有负载效应的电路对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的
3、影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：5图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统22)()()()(dttydmdttdyftkytF)()()()(22tFtkydttdyfdttydmdtdyf机械位移系统机械位移系统6液位控制系统液位控制系统 图2-4中，Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差应等于液槽中液体存贮量的变化率，即有)()()(2211tqQtqQdthHdC)()()(21tqtqdttdhC考虑在平衡状态H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为基于
4、液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：)()(2thtq（2-4）（2-5）图2-4 液位系统7 式中为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后q2(t)与h(t)的关系为)(2)(2thHtqRHthtq12)()(2液阻输出流量的变化量液位高度的变化量R或写作：式中，把式（2-6）代入式（2-4）得)()()(1tRqthdttdhRC)()()(1tRqthdttdhT其中，T=RC或图2-5 q2(t)与h(t)的关系曲线（2-6）（2-7）8图2-7 G-M 直流调速系统的框图图2-6 G-M 直流调速系统原理图直流调速系统直流调
5、速系统9列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式图2-8 直流他励发电机电路图11Kuue(2-8)写微分方程式的一般步骤写微分方程式的一般步骤10由电机学原理得：图2-9 直流他励电动机电路图把式（2-10）代入（2-9），则得BBGBBiCLiCCEURidtdiL2111（2-9）（2-10）12UKEdtdEGGG（2-11）RLCKRLG12 ;式中 假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电 机没有磁滞回线和
6、剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线，即/ib=L。图2-8 直流他励发电机电路图11 ）13-2（11220375）12-2（1375002222为电动机的空载转速）（便蜕化为稳态时，式时，电动机空载运行至当常数称为电动机的电气时间常数；称为电动机的机电时间式中，求得和变量消去上述方程中的中间nECnTRLCRGDdtdTTCCRECndtdndtnd，iTiCTdtdnGDTTEnCdtdiLRiGedaumdadueGemamaeauedeGeaa 电动机的转速电动机的转速图2-9 直流他励电动机电路图12输入量是驱动电动机的转速n，输出量是测速发电机的电枢电压Ufn，假设测速发电机的磁场恒
7、定不变，则Ufn与n成线性关系即有经消元后得输出量,动机的转速n为系统的电(扰动),和负载转矩T是经定电压u引起系统运动的输入量而dg15)-(2 u-uu 14)-(2 n u fngefn 12)-(2 1222233 TdtdTTdtTdCCRUCKnCKdtdndtnddtndddGadaGuegeemGGamGammG21RRR ,KKK ,式中13第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒
8、级数，并略去二阶及二阶以在给定工作点领域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出为、输出为y，它们间的，它们间的 关系如图关系如图2-11所示，相应的数学表达式为所示，相应的数学表达式为图图 2-11 非线性特性的线性非线性特性的线性化化y=f(x)（2-17）14在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数 20220000!21xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx 000000 ,0 xxxyyydxdfKxfyxK
9、yxxKyyxx，式中 或写为，于是得线性化方程其后面的所有的高阶项项及）x（x较小，故可略去式中的xx由于增量x20015 上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-12所示。设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加U1，求其增量电势EG的变化规律。图2-12 发电机的磁化曲线20-2 19-2 010100CEuRiGB若励磁电压增量 ，则有1u 如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小，从而可以通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为）（）（22-2
10、)(21-2 )(0101010CEEuudtdNRiiGGBB16）（）（24-2 23-2 11CEudtdNRiGB示。常量，故用反电动势表did而，磁化曲线不是一条直线表示，其原因是那一段dtd而用N，dtdiL23）中之所以不写作-式（2这里需要注意的是，在BB17 01202G10000200000CC NL28-2 CE 27-2 RRNR26-2 -,25)-(2 -f2!1-BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBififiudtidLidtididdNidtdiifiddiifiiiifiiiiiififif，）（）（式中24）可写为-23）和式（2-于是式（2常
11、数或写作21）便简化为-，则式（2项，并令项及其后面所有的高阶i-i略去上式中处展开为泰勒级数i,在平衡点if把磁化曲线2B0BB00B18在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和（2-9）（2-10）完全相同小结小结 随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大 倍数 是不同的。0RNBifRLRCK2 由线性化引起的误差大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。19一一.复习拉氏变换及其性质复习拉氏变换及其性质 1.定义定义 记记 X(s)=Lx(t)一般：称一般：称X X（s s）为）为x(t)x(t)的原函数，的原函数，x(t)x(t)为为X X（s s）的原函数）的原
12、函数2.说明 1)1)定义中只要求当定义中只要求当t 0 0，x(t)有意义；为研究方便，一般假设有意义；为研究方便，一般假设 t 0 0，x(t)=0 0；2)2)一般来说，在科学技术中遇见的函数，拉氏变换都是存在的。一般来说，在科学技术中遇见的函数，拉氏变换都是存在的。3)3)在【在【0 0，+）区间内，）区间内，原函数和象函数对应具有唯一性。原函数和象函数对应具有唯一性。3.性质和定理 1)1)线性性质线性性质 L ax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s)0)()(dtetxsXst 0)()(21)()(1 tdtesXjsXLtxjjst 20)0()()(xssXdt
13、tdxL 2)2)微分定理微分定理)()(ssXdttdxL 若若 ,则则 0)0()0(xx)()(222sXsdttxdL )()(sXsdttxdLnnn )0()0()()(222xsxsXsdttxdL )0(.)0()0()()()1(21nnnnnnxxsxssXsdttxdL21 sXsdttxL1 )0(1)0(1)(1)()2()1(22 xsxssXsdttxL若若x 1(0)=x 2(0)=0，x(t)各重积分在各重积分在t=0的值为的值为0时，时，3)3)积分定律积分定律 )0(1)(1)()1(xssXsdttxLX（-1）(0)是是x(t)dt 在在t=0 0的值
14、。同理的值。同理 sXsdttxL21 sXsdttxLnn1 22 5)5)初值定理初值定理 如果如果x(t)及其及其一阶导数是可拉氏变换的，并且一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)4)终值定理终值定理 若若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数则函数x(t)的终值为：的终值为：)(lim)(lim0ssXtxst )(lim)0(ssXxs )(limssXs 存在，则存在，则236)6)延迟定理延迟定
15、理L x(t )=esX(s)Le at x(t)=X(s+a)7)7)相似定理相似定理)(asaXatxL 8)8)卷积定理卷积定理 tdxtxLsXsX02121)()()()(24例例2-7：求下列函数的象函数：求下列函数的象函数tetfttfetftttfttT10cos)()4()65sin()()3(1)()2()5)(1()()1(5.0125 1.1.定义定义 由象函数由象函数X(s)求原函数求原函数x(t)0)()(21)()(1 tdtesXjsXLtxjjst 2.2.求拉氏反变换的方法求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值根据定义，用留数定理计算上式的
16、积分值 查表法查表法 26 部分分式法部分分式法 一般，象函数一般，象函数X(s)是复变量是复变量s的有理代数公式，即的有理代数公式，即nnnnmmmmasasasbsbsbsbsDsNsX1111110)()()()()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX 通常通常m 0，0 1，n=1/T，T 称为振荡环节的称为振荡环节的，。振荡环节有一对位于。振荡环节有一对位于s左半平面的左半平面的共轭极点：共轭极点：)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT 传递函数为：传递函数为：121)(22 TssTsG 2222)(nnnsssG 或或dnnjjp 2211
17、,5.5.二阶振荡环节二阶振荡环节 微分方程式为：微分方程式为：特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却呈周期特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却呈周期 振荡形式振荡形式52)sin(111)(2 tetcdtn式中，式中，。响应曲线。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。荡环节。c(t)t 01ssssRsGsCnnn12222 )()()(dnnjjp 2211,np1p2 j d n j 053微分方程式为：微分方程式为：c(t)=r(t )传递函数为：传递函数为：单位阶跃响应：单位阶跃响应：sesCs1)(c(t)=1(t )r(t)t01c(t)t0
18、1 sesG )(54图图2-18 具有传递滞后的装置具有传递滞后的装置 测量点处溶液的浓度混合点处溶液的浓度式中tctrvd,举例：举例：sesRsCsG trtc则则551 1、定义：、定义：表示变量之间数学关系的方块图称为系统函数结表示变量之间数学关系的方块图称为系统函数结构图或系统框图。构图或系统框图。X(t)Y(t)电位器电位器 结构图：结构图：框图：框图：微分方程：微分方程：y(t)=kx(t)y(t)=kx(t)X(s)G(s)=KY(s)一、系统框图的定义和组成一、系统框图的定义和组成 若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出
19、各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。第四节第四节 系统框图及其等效交换系统框图及其等效交换56C C(s s)R R(s s)G(s)H(s)E E (s s)B B (s s)信号线比较点方框引出点（1 1）方框方框:表示对信号进行的数学变换，方框中写入的是系统表示对信号进行的数学变换，方框中写入的是系统的传递函数，表示的是方框输入到输出单向传输间的函数关系。的传递函数，表示的是方框输入到输出单向传输间的函数关系。（2 2）信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，直线带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，直线旁一般标记信号的时间函数或象函
20、数。旁一般标记信号的时间函数或象函数。（3 3）比较点（合成点、综合点）：比较点（合成点、综合点）：两个或两个以上的输入信两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。号进行加减比较的元件。“+”+”表示相加，表示相加，“-”-”表示相减。表示相减。“+”+”号可省略不写。号可省略不写。注意：进行相加减的量，必须具有相同注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。的量纲。(4)(4)分支点（引出点、测量点）：分支点（引出点、测量点）：表示信号测量或引出的位置。表示信号测量或引出的位置。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。2 2、系统框图的组成、系
21、统框图的组成57二、绘制系统框图的一般方法二、绘制系统框图的一般方法(1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应便于分析），要考虑相互间负载效应。(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个得到传递函数，然后分别以一个方框单元方框单元表示出表示出来。来。(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。成完整的结构图。58例例2-15 2-15 画出下列画出下列RCRC电路的方块图。电路的方块图。解：解：R
22、RC Ci i（a a）iuoucidtuRuuiooi)2()()()1()()()(sCsIsURsUsUsIooi由（由（1 1）和（）和（2 2）分别得到图（）分别得到图（b b）和）和(c)(c)。（b b）I I(s s)(sUi)(sUoI I(s s)（c c）)(sUo（a）将图（将图（b b）和）和(c)(c)组合起来组合起来即得到图即得到图(d)(d)，图，图(d)(d)为该为该一阶一阶RCRC网络的结构图。网络的结构图。I I(s s)（d d）)(sUo)(sUo)(sUi59 例例2-16 2-16 求两级求两级RCRC串联电路的结构图串联电路的结构图解解：根据电路
23、定理：根据电路定理：)(1)()(11sIRsusui11R)(1sI)(sui)(su-)()()(21sIsIsI-)(2sI)(1sI)(sI)(1)(1susCsIsC11)(sI)(su)(1)()(22sIRsusuo21R)(2sI)(su)(suo-)(1)(22susCsIosC21)(2sI)(suoiuou1R2R1C2C1i2iui,2i60总的结构图如下：总的结构图如下：11RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo611、串联连接串联连接：即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按：即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次
24、按顺序连接。顺序连接。G2 2(s)U(s)C(s)G1 1(s)R(s)U(s)由图可知：由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去变量消去变量U(s)得得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)G2 2(s)U(s)C(s)622、连接、连接并联并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。于各环节输出量之代数和。由图有由图有 C1(s)=G1(s)R(s)C2(s)=G2(s)R(s)R(s)C(s)G1 1(s)C1(s)R(s)G2 2(s
25、)C2 2(s)R(s)+63C(s)=C1(s)C2(s)消去消去C1(s)和和C2(s)，得，得 C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)C1(s)G1 1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)C(s)+64 3 连接形式是两个方框反向连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处并接，如图所示。相加点处做加法时为做加法时为，做减法，做减法时为时为。由图有由图有 C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)B(s)消去消去B(s)和和E(s)，得，得 C(s)=G(s)R(s)H(s)C(s)R(s)
26、C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+)()(1)()()(sHsGsGsRsC 上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。65G(s)1 G(s)H(s)R(s)C(s)G(s)：前向通道传递函数前向通道传递函数 E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数反馈通道传递函数 C(s)B(s)H(s)=1 单位反馈系统单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数开环传递函数 E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+开环传递函数开环传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数闭环传递函数闭环传递函数 1式中负反馈时取式中负
27、反馈时取“+”号，号，正反馈时取正反馈时取“-”号。号。664.4.分支点后移分支点后移GRCRGRC1/GR5.5.分支点前移分支点前移GRCCGRCGC677.7.比较点前移比较点前移6.6.比较点后移比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F688.8.比较点互换或合并比较点互换或合并R1C R2+R3R1C R2+R3R1C R2+R3 69解解：结构图等效变换如下：结构图等效变换如下：例例2-16系统结构图如下，求传递函数系统结构图如下，求传递函数 。)()()(sRsCsG)(1sG)(sH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC比较点移动比较点移动)
28、(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC70)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC)()()(421sGsGsG)()()(1)(323sHsGsGsG)(sR)(sC)()()(1)()()()()(324213sHsGsGsGsGsGsGsG71一、信号流图的基本概念一、信号流图的基本概念 1.1.定义定义：。先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：x2=a12 x1式中，式中，x1为输入信号为输入信号()；x2为输出信号为输出信号()；a12为两信号
29、之为两信号之间的传输间的传输()。即输出变量等于输入变量乘上。即输出变量等于输入变量乘上值。若从因果值。若从因果关系上来看，关系上来看，x1为为“因因”，x2为为“果果”。这种因果关系，可用下图。这种因果关系，可用下图表示。表示。信号传递关系信号传递关系 函数运算关系函数运算关系 变量因果关系变量因果关系x1a12x272 下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。设有一系统，它由下列方程组描述：设有一系统，它由下列方程组描述：x2=a12 x1+a32 x3 x3=a23 x2+a43 x4 x4=a24 x2+a34 x3+a44 x4 x5=
30、a25 x2+a45 x4a43a44x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32732.2.信号流图的基本元素信号流图的基本元素 (1)节点：节点：用来表示变量，用符号用来表示变量，用符号“O”表示，并在近表示，并在近旁标出所代表的变量。旁标出所代表的变量。(2)支路：支路：连接两节点的定向线段，用符号连接两节点的定向线段，用符号“”表表示。示。支路具有两个特征：支路具有两个特征：限定了信号传递方向。支路方向就是信号传限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。递的方向，用箭头表示。限定了输入与输出两个变量之间的关系。支限定了输入与输出两个变量之间的关系。支
31、路的权用它近旁标出的传输值路的权用它近旁标出的传输值()表示。表示。74 3.3.信号流图的几个术语信号流图的几个术语 输入节点输入节点(源点源点)只有输出支路的节点，它代表系统的只有输出支路的节点，它代表系统的输入输入变量。如图中变量。如图中x1。混合节点混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中中x2、x3、x4。输出节点输出节点(阱点阱点)只有输入支路的节点，它代表只有输入支路的节点，它代表系统的系统的输出变量。如图中输出变量。如图中x5。a44 x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24a25a32x5 575三通路三通路 通路通路
32、 沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的路径。通路与任何节点相交不多于沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的路径。通路与任何节点相交不多于一次，就称为开通路。一次，就称为开通路。前向通路前向通路 从源节点到阱节点的开通路，前向通路中各支路增益的乘积叫做从源节点到阱节点的开通路，前向通路中各支路增益的乘积叫做前向前向通路增益通路增益。回路（回环）回路（回环）终点就是起点的开通路，回路中各支路增益的乘积叫做终点就是起点的开通路，回路中各支路增益的乘积叫做回路增益回路增益。不接触回路不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路回路之间没有公共的节点和支路a44 x1a12x2x3x4x5a23a34a45a24
33、a25a32x5 576 1 1）信号流图只能代表）信号流图只能代表线性代数方程组线性代数方程组。2 2）节点表示系统的）节点表示系统的变量变量，表示所有，表示所有流向该节点的信号流向该节点的信号之（代数）和之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。节点变量表示。3 3）信号在支路上沿箭头）信号在支路上沿箭头传递传递，后一节点变量依赖，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有于前一节点变量，即只有“”的因果关系。的因果关系。4 4）支路相当于）支路相当于乘法器乘法器，信号流经支路时，被乘以支路，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号
34、。增益而变换为另一信号。5 5）对于给定的系统，信号流图）对于给定的系统，信号流图不唯一不唯一。77系统结构图系统结构图 信号流图信号流图输入变量输入变量 源节点源节点 输出端输出端 汇节点汇节点5 5、系统框图和信号流图的转换、系统框图和信号流图的转换78 用用梅森公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到梅森公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：其表达式为：nkkkPP11式中：式中：总传输（即总传递函数）；总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；从输入节点到输出节点的前向通
35、道总数；第第k个前向通道的前向通路增益；个前向通道的前向通路增益；流图特征式；其计算公式为：流图特征式；其计算公式为：PnkP二、二、梅森增益公式梅森增益公式79.1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）（正负号间隔）式中：式中：流图中所有不同回路的回路增益之和；流图中所有不同回路的回路增益之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路增益乘积之和；路增益乘积之和；aLcbLL 所有互不接触回路中，每次取其中三个所有互不接触回路中，每次取其中三个回路增益乘积之和；回路增益乘积之和；fedLLL第第k个前向通道的个前向通道的流图余子式；其值为流图余子式；其值为
36、 中除去中除去与第与第k个前向通道接触的回路增益（包括其乘积项）后个前向通道接触的回路增益（包括其乘积项）后的剩余部分；的剩余部分；k80解解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：流图如下：例例2-17：绘出两级：绘出两级RC电路的信号流图并用梅逊公式计算总传电路的信号流图并用梅逊公式计算总传递函数。递函数。1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC2111RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo81图中，有一个前向通路；图中，有一个前向通路；2221111sCRCR
37、P 有三个回路；有三个回路；sCRsCRsCRLa122211111有两个互不接触回路；有两个互不接触回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb2212112221111111sCCRRsCRsCRsCR1i（因为三个回路都与前向通道触。）（因为三个回路都与前向通道触。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk 故：故：1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC2182图2-45 例2-7图例例2-17 2-17 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数试用梅逊公式求系统的闭环传递函数a)多回路控制系统的框图 b)系统的信号流图83
38、解解：1,13211GGGP321232121aLGGGHGGHGG321232121a1L1GGGHGGHGG 321232121321111)(GGGHGGHGGGGGPsGsRsC84R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)+G2(s)G4(s)85 解：解：HGGGGGGGPPPPGGPGGPGGPHGHG)(1)(1,1,1,)(1213243133221114132322131121 R(s)C(s)G1(s)G3(s)H(s)+G2(s)G4(s)86 闭环控制系统闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：)(1sG)
39、(2sG)(sH)(sR)(sD-+)(sC)(sE 图中，图中，为输入、输出信号，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。为系统的扰动量，这是不希望的输入量。)(sR)(sC)(sE)(sD由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求 对对 和和 对对 的传递函数，然后叠加得出总的输出的传递函数，然后叠加得出总的输出量量 。)(sR)(sC)(sD)(sC)(sC第五节第五节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数87一、开环传递函数与前向通道的传递函数一、开环传递函数与前向通道的传递
40、函数1、开环传递函数、开环传递函数 系统反馈量系统反馈量B(s)与误差信号与误差信号E(s)的比值称为开环传递函的比值称为开环传递函数。即数。即 21sHsGsGsEsB2、前向通路传递函数、前向通路传递函数 系统的输出量系统的输出量C(s)与误差信号与误差信号E(S)的比值称为系统的前向的比值称为系统的前向通路传递函数通路传递函数 sGsGsEsC21 含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号 之之间的传递函数。间的传递函数。sB881、给定输入作用下的闭环系统：、给定输入作用下的闭环系统：令令 ，则有：，则有：0)(sD)(1sG)(2sG)(s
41、H)(sR-)(sCR)(sER)(sBHGGGGsRsCsR21211)()()(输出量为：输出量为：)(1)(2121sRHGGGGsCR二、闭环系统的传递函数二、闭环系统的传递函数（1）.闭环传递函数闭环传递函数CR(s)/R(s)89又若单位反馈系统又若单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数则有：开环传递函数=前向通道传递函数。前向通道传递函数。,1)(2121GGGGs,11)(21GGSE)(1)(ssE此时：此时：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)11)(21sHsGsGsRsEsRE在参考输入作用下误差的闭环传递函数在参考输入作用下误差的闭环传递函数。（2
42、2）.闭环传递函数闭环传递函数E ER R(s)/R(s)(s)/R(s)902、扰动作用下的闭环系统：、扰动作用下的闭环系统：令令R(s)=0,结构图如下：结构图如下：HGGsGsDsCsDD2121)()()()(输出为：输出为：)(1)(212sDHGGGsCD)(1sG)(2sG)(sH-)(sCD)(sB)(sD+)(sED（1 1）.闭环传递函数闭环传递函数C CD D(s)/D(s)(s)/D(s)CD(s)与与D(s)的比值称为扰动作用下的闭环传递函数。则：的比值称为扰动作用下的闭环传递函数。则：1)(212DEsHsGsGsHsGsDsEsD（2）.闭环传递函数闭环传递函数E
43、D(s)/D(s)由扰动作用产生的误差由扰动作用产生的误差ED(s)与与D(s)之比，称为扰动之比，称为扰动误差传递函数误差传递函数。913、给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统、给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统根据线性叠加原理：根据线性叠加原理：输出：输出：)()()()()(sDssRssCD偏差：偏差：)()()()()(sDssRssEDEE92第七节第七节 控制系统的反馈特性控制系统的反馈特性 闭环控制系统又名反馈控制系统。这类系统之所以被人们广泛应用，其原理是它有着下列开环系统所没有的特性。反馈能减小参数变化对系统的影响反馈能减小参数变化对系统的影响图2-46 开环与闭环系
44、统的框图图2-46(a)和(b)分别为开环和闭环系统的方框图。开环系统的输出)()()(0sRsGsC假设由于参数的变化，使G(s)变为 ，其中 ，)()(sGsG)()(sGsG则开环系统的输出变为)()()()()(00sRsGsGsCsC93)()()(0sRsGsC其输出的变化量)()()(1)()(0sRsHsGsGsC对于图2-46(b)所示的闭环系统，其输出由)()()()()(1)()()()(00sRsHsGsHsGsGsGsCsC变为基于)()(sGsG于是得)()()(1)()(0sRsHsGsGsC（2-62）（2-63）对于式（2-62）和（2-63）可知，由于G(s
45、)的变化，闭环系统输出的变化量仅是开环系统输出变化量的1/(1+GH)倍。如令G(s)=K，H(s)=1，当K变为K+K时，其中K0，0，开环传递函数KsKsT)(sKsG)(相应的闭环传递函数 它们的极点分别为-和-(K+)。若令r(t)=(t),R(s)=1,则开环与闭环系统的脉冲响应函数分别为tKetg)(0tKCKetg)()(图2-47 一阶系统95104)(tetg2.0544)(ttCeetg若令=1，K=4，则得 由此可知，闭环系统脉冲响应的时间常数仅为开环系统的1/5(1/k+)倍，这表明具有反馈作用的闭环系统，其瞬态响应要比开环系统快5(1+)倍。反馈能减小或消除干扰对系统
46、的影响反馈能减小或消除干扰对系统的影响图2-48 直流调速系统的框图图2-48为一直流调速系统的框图（忽略电感L的影响）。图中96dTeCgUuCfU被控制量（电动机的角速度）干扰信号（负载转矩）电势系数转矩系数给定电压反馈电压测速反馈系数由梅逊公式求得在扰动信号Td作用下的开环与闭环系统的输出分别为开环系统：闭环系统：)(1)(sTRCCFJssdueO)(1)(sTRKCCCFJssduueC若令TD(s)=1/s，则开环系统稳态输出的变化量为RCCFSRCCFJsSsSueuesoso111lim)(lim)(0097而闭环系统稳态输出的变化量RKCCCFSRKCCCFJsSsSuueu
47、uesCsC111lim)(lim)(00（2-66）显然，。若把图2-48中的K换作 ，则有)()(OCTss1)()1()()(sTRsCRTsCCFJsTsTssduueC仍令Td(s)=1/s，于是得0)(lim)(0sSCsC这表示由于闭环系统的反馈作用，扰动对系统稳态输出的影响完全被消除。98第八节第八节 用用MATLABMATLAB处理控制系统的数学模型处理控制系统的数学模型传递函数模型传递函数模型控制系统常用的数学模型有以下4种形式。传递函数模型(tf对象)零、极点增益模型ZPK对象状态空间模型(SS对象)动态框图本节主要介绍传递函数模型和建立零、极点形式的传递函数。令系统的传
48、递函数为mnasasasabsbsbsbsdensnumsGnnnnommmmo,)()()(111111 在MATLAB建立传递函数时，需将其分子与分母多项式的系数写成两个矢量，并用tf()函数给出，即Sys=tf(num，den)99式中，num=b0 b1 b2 bm 表示G(s)分子多项式的系数；den=a0 a1 a2 am 表示分母多项式的系数；Num和den都是按s的除幂次序给出。例例2-8 试用MATLAB表示下列的传递函数122)(2ssssG解解 在MATLAB的命令窗口中键入num=1 2；%分子多项式Den=1 2 1；%分母多项式Sys=tf(num,den)%求传递
49、函数表达式在程序中由%引导的部分是注释语句。建立零、极点形式的传递函数建立零、极点形式的传递函数如把传递函数写成以零、极点表示的形式，即)()()()()(2121mmpspspszszszsKsG100 在MATLAB中采用ZPK(Z，P，K)函数给出相应零、极点形式的传递函数。其中Z=z1，z2zm表示G(s)的零点；P=p1，p2pn表示G(s)的极占；K=K表示增益。例例2-9 试用MATLAB表示下列的传递函数)3)(1(2)(ssssG解解 在MATLAB的命令窗口中键入Z=-2；%分子多项式P=-1-3；%分母多项式K=1；Sys=ZPK(Z，P，K)%求传递函数表达式 如果需要
50、将零、极点形式的传递函数转换为一般的传递函数形式，只需再输入下面两条指令：num，den=ZP2tf(Z，P，K);%将零、极点形式的模型转换为传递函数模型Sys=tf(num，den);%求传递函数表达式101框图的串联、并联与反馈连接框图的串联、并联与反馈连接图2-50 框图1、串联、并联连接、串联、并联连接 图2-50a为串联连接的框图，用指令 可求取串联连接后的传递函数。)*(21GGSeriessys),(21GGParallelsys 图2-50b为并联连接的框图，用指令 可求取并联连接后的传递函数。例如：令211)(,)1(1)(221sGssG在MATLAB的命令窗口中键入下列
