1、 所谓的数学模型，所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控控制系统定量分析的基础。制系统定量分析的基础。1)1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2)2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3)3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。4)4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。静态模型：静态条件下
2、，各变量之间的代数方程。1)1)微分方程：时域微分方程：时域 其它模型的基础其它模型的基础 直观直观 求解繁琐求解繁琐 2)2)传递函数：复频域传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果微分方程拉氏变换后的结果 3)3)频率特性：频域频率特性：频域 分析方法不同，各有所长分析方法不同，各有所长 1)1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。合在一起。2)2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。统辨识的方法，得到数学模型。1)1)
3、分析系统运动的因果关系，确定系统的分析系统运动的因果关系，确定系统的、及及内部内部，搞清各变量之间的关系。，搞清各变量之间的关系。2)2)忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，。3)3)根据相关基本定律，列出各部分的根据相关基本定律，列出各部分的。4)4)列写中间变量的列写中间变量的。！5)5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。输出的方程式。6)6)将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。三个基本的无源元件：质量三个基本的无源元件：质量m,m,弹簧弹簧k,k,阻尼器阻尼器f f对应三种阻碍运动的力对应三种阻碍运动的力:惯性力惯性力m
4、a;ma;弹性力弹性力ky;ky;阻尼力阻尼力fvfv 例例2-1(P222-1(P22例例2-3)2-3)弹簧弹簧-质量质量-阻尼器串联系统。阻尼器串联系统。试列出以外力试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移为输入量，以质量的位移y(t)为为输出量的运动方程式。输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1 1）确定）确定输入量输入量为为F(t)，输出量输出量为为y(t)，作用于质，作用于质量量m的力还有弹性阻力的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力和粘滞阻力Ff(t)，均作为，均作为中间变量。中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑）设系统按
5、线性集中参数考虑，且无外力作用时，且无外力作用时，系统处于平衡状态。系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)（3 3）按牛顿第二定律列写原始方程，即）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk )()(dtdyffvtFf （5 5）将以上辅助方程式代入原始方程）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中消去中间变量间变量,得得)(22tFdtdyfkydtydm （6 6）整理方程得标准形）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）写中间变量与输出量的关系式）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)例例2-2 2-2
6、（P21P21例例2-12-1）电阻电感电容串联系统。电阻电感电容串联系统。R-L-CR-L-C串联电路，串联电路，试列出以试列出以u ur r(t t)为输入量，为输入量，u uc c(t t)为输出量的网络微分方程式。为输出量的网络微分方程式。令令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为，则方程化为)(1222tFkydtdyTdtydTfm R C ur(t)uc(t)L 解：解：（1 1）确定输入量）确定输入量为为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)，中，中间变量为间变量为i(t)。rcuuRidtdiL （4 4）列写中间变量）列写中间变量i与输出变量与输出变量uc c 的关系式
7、的关系式:dtduCic（5 5）将上式代入原始方程，消去中间变量得）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t)uc(t)L（2 2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3 3）由）由KVLKVL写原始方程：写原始方程：i(t)由KVL写出电路方程利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。den=a0 a1 annum,den=zp2tf(z,p,k)G(s)H(s)开环传递函数可用代数法则进行等效变换（2）扰动输入下的闭环传递函数解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(t t0)将非线性系统简化为线性系统处理。（
8、5）扰动输入下的误差传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。把内部变量结构和相互关系描述的den=1 10 35 50 24解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。如果略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：5）对于给定的系统，信号流图不唯一。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。微分方程式为：c(t)=r(t )例2-7 求指数函数e at 的拉氏变换。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。（6 6）整理成标准形，令）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为则方程化为rcccuudtduTdtudT
9、T 22221 线性微分方程的一般特征线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110rcccuudtduRCdtudLC 22式中，式中，c(t)是系统的输出变量，是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（3 3）方程式两端的各项
10、的量纲应一致。利用这点，可以检查微）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。分方程式的正确与否。cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111022()d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtC：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-1例例2-2令令uc=q/Crccc
11、uudtduRCdtudLC 22当分析一个当分析一个机械系统或不易进行试机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研系统，来代替对它的研究。究。Ra和和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与其大小与M Ra ua La ia if=常数常数 Ea激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。相反。下面推导其微
12、分方程式。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机为扰动输入，电动机角速度角速度 为输出量；为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式）列写原始方程式 电枢回路方程：电枢回路方程：aaaaaauEiRdtdiL uaMRaLa ia if=常数常数Ea电动机轴上机械运动方程：电动机轴上机械运动方程：LDMMdtdJ J 负载
13、折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩;ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea =ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。电势系数，由电动机结构参数确定。MD=km iakm 转矩系数，由电动机结构参数确定。转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 aaaaaauEiRdtdiL LmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtd
14、kkJLLmeaLmeaaemeamea 122 dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 meamkkJRT 令机电时间常数令机电时间常数Tm:令电磁时间常数令电磁时间常数Ta:aaaRLT 1)1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT2-22 一阶系统一阶系统dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 二阶系统二阶系统（2-21）2)对微型电机，转动惯量对微型电机，转动惯量J很小，且很小，且Ra、La都可忽略都可忽略eaaek
15、uuk 13)随动系统中，取随动系统中，取为输出为输出LmaemMJTukdtddtdTdtd1224)在实际使用中，转速常用在实际使用中，转速常用n n（r/minr/min）表示表示,设设 ML=0aemmaukndtdnTdtndTT2213022230602eekknn，令代入0 meamkkJRT0 aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 LmaemMJTukdtdT1小结小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普
16、遍意义的分析研究（信息方方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）法）。从动态性能看，在相同形式的输入作用从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。进行实验模拟的基础。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的于元件或系统中所包含的独立独立储能元件（惯性储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系因为系统每增加一个独立储能元，其内部就
17、统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。多一层能量（信息）的交换。系统的动态特性是系统的系统的动态特性是系统的固有特性固有特性，仅，仅取决于系统的结取决于系统的结构及其参数，构及其参数，与系统的输与系统的输入无关入无关。线性代数方程的克莱姆法则 信号流图的特征式；(3)反馈连接电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。den1=1,2,2（3）方程式两端的各项的量纲应一致。尼力与速度的平方有关；式中负反馈时取“+”号，单位阶跃响应 C(s)=G(s)R(s)=K/s(s+1)(s+2)(s+3)3)随动系统中，取为输出电容初始
18、电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）10s 3+70s 2+150s+96物理本质不同的系统，可以有相同的数学模例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。s 5+10s 2+5s+6故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为系数为常数，则为线性定常系统线性定常系统；如果方程的；如果方程的系数是时间系数
19、是时间t的函数，则为的函数，则为线性时变系统线性时变系统；线性线性是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理，即：，即：可加性：可加性：f(x1 x2)f(x1)f(x2)齐次性：齐次性：f(x)f(x)或：或：f(x1 x2)f(x1)f(x2)2-32-3 数学模型的线性化（数学模型的线性化（P25P25）非线性系统非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，为分析方便，通
20、常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。将非线性系统简化为线性系统处理。非线性系统非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。定的工作范围内成立。为分析方便，通常在合理的条件下，为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。将非线性系统简化为线性系统处理。线性系统微分方程的一般形式线性系统微分方程的一般形式式中，式中，a1，a2，an和和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数为由系统结构参数决
21、定的实常数，mn。线性化问题的提出线性化问题的提出非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由尼力与速度的平方有关；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。线性化：在一定条件下作某种近似或线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。近似为线性微分方程进行处理。线性化的提出线性化的提出线性系统是有条件存在的，只在一定的工作
22、线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。够满足实际需要。(x x0)非线性系统数学模型的线性化（非线性系统数学模型的线性化（P27）泰勒级数展开法泰勒级数展开法(1)函数函数y=f(x)在其平衡点（在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级）附近的泰勒级数展开式为：数展开式为：(x x0)y f(x)f(x0)2df(x)dx
23、 x x0(x x0)3 Lx x01 d 3 f(x)3!dx3x x01 d 2 f(x)2!dx2y f(x0)(x x0)如果略去含有高于一次的增量如果略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则的项，则：df(x)dx x x0或：y-y0=y=Kx，其中：K 0df(x)dx x x上式即为非线性系统的线性化模型，称为上式即为非线性系统的线性化模型，称为增增量方程量方程。y0=f(x0)称为系统的称为系统的静态方程静态方程；由于反馈系由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。意义
24、。增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。这时，系统所有的初始条件均为零。(2)对多变量系统，如：对多变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样可采用，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程泰勒级数展开获得线性化的增量方程。(x2 x20)Lfx2(x1 x10)fx1y f(x10,x20)x1 x10 x2 x20 x1 x10 x2 x20增量方程：y
25、y0 y K1x1 K 2 x2静态方程：y0 f(x10,x20),K 2 其中：K1 fx2fx1x1 x10 x2 x20 x1 x10 x2 x20C(s)B(s)x2=a12 x12-6 典型环节及其传递函数方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方(1)通过拉氏变换，实数域复杂的微积分运算如果略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：4(s-1)(s-2)系统的动态特性是系统的固有特性，仅（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（5）扰动输入下的误差传递函数P2=G2G3 K 2=1+G1线性系统是有条件存在的，只
26、在一定的工作输入节点(源点)只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(t t0)电动机轴上机械运动方程：(2)支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。5+3 +0.c(t)=1(t )（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质（3）方程式两端的各项的量纲应一致。闭环控制系统的几个特点用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：例2-7 求指数函数e at 的拉氏变换。零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的零、极点分布图。输出节点(汇点)只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。先看最简单的例子。x2为输
27、出信号(变量)；若x1(0)=x2(0)=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，a12为两信号之间的传输(增益)。由结构图传递函数微分方程在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，（6）两个输入量同时作用于系统时的误差闭环系统的常用传递函数4）正确理解传递函数的定义、性质和意义。(x x0)+直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。非线性系统的分析和综合是非常复杂的；微分方程式为：相加点 对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减。MD 电枢电流产生的电磁转矩;（5）扰动输入下的误差传递函数和分母多项式，即：num=b0 b1 bm滑动线性化滑动线性化切
28、线法切线法y=f(x)线性化增量方程为线性化增量方程为：y0yyAy y=xtgx0 x切线法是泰勒级切线法是泰勒级数法的特例。数法的特例。x0非线性关系线性化非线性系统的线性化微分方程的建立非线性系统的线性化微分方程的建立步骤确定系统各组成元件在平衡态的工作点；确定系统各组成元件在平衡态的工作点；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；列出各组成元件在工作点附近的增量方程；消除中间变量，得到以增量表示的线性化微消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；实例：单摆运动线性化解：根据牛顿第二定律：将非线性项 sin o=o在o 0 点附近泰勒展开一一.复习拉氏变换及其性质复习拉氏变换及其性质
29、1.定义定义 记记 X(s)=Lx(t)2.2.进行拉氏变换的条件进行拉氏变换的条件 1)1)t 0 0，x(t)=0 0；当；当t 0 0，x(t)是分段连续；是分段连续；2)2)当当t t充分大后满足不等式充分大后满足不等式 x(t)Mect，M，c是常数。是常数。3.3.性质和定理性质和定理 1)1)线性性质线性性质 L ax1(t)+bx2(t)=aX1(s)+bX2(s)0)()(dtetxsXst)0()()(xssXdttdxL 2)2)微分定理微分定理)()(ssXdttdxL 若若 ,则则 0)0()0(xx)()(222sXsdttxdL )()(sXsdttxdLnnn
30、)0()0()()(222xsxsXsdttxdL sXsdttxL1 )0(1)0(1)(1)()2()1(22 xsxssXsdttxL若若x 1(0)=x 2(0)=0，x(t)各重积分在各重积分在t=0的值为的值为0时，时，3)3)积分定理积分定理 )0(1)(1)()1(xssXsdttxLX（-1）(0)是是x(t)dt 在在t=0 0的值。同理的值。同理 sXsdttxL21 sXsdttxLnn1 5)5)初值定理初值定理 如果如果x(t)及其及其一阶导数是可拉氏变换的，并且一阶导数是可拉氏变换的，并且 4)4)终值定理终值定理 若若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，及其一
31、阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数则函数x(t)的终值为：的终值为：)(lim)(lim0ssXtxst )(lim)0(ssXxs )(limssXs 存在，则存在，则6)6)延迟定理延迟定理L x(t )1(t )=esX(s)Le at x(t)=X(s+a)7)7)时标变换时标变换)(asaXatxL 8)8)卷积定理卷积定理 tdxtxLsXsX02121)()()()(4.4.举例举例 简单信号的拉氏变换简单信号的拉氏变换 例例2-
32、32-3 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：例例2-42-4 求单位斜坡函数求单位斜坡函数x(t)=t的拉的拉氏变换。氏变换。解：解：020011 )()(sdtesestdttetxLsXststst 2)1(1)0(11)(11 )(1)(sstLsdttLtLsX sesdtetxLsXstst11)()(00例例2-52-5 求正弦函数求正弦函数x(t)=sint 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：jeettjtj2sin 02dtejeesXsttjtj 221121 sjsjsj 以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换以上几
33、个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。可查表求得。1)(cos22 tLsstL 例例2-62-6 求函数求函数x(t)的拉氏变换。的拉氏变换。00,0 00 )(tttttAtxtx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0 A+)1()(00ststesAesAsAsX 解：解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A 1(t)A 1(t t0)asesadteesXtsastat 11)(0)(0例例2-72-7 求指数函数求指数函数e at 的拉氏变换的拉氏变换。解解:asetLsXat 1)(1)(例例2-82-8 求求e 0.2 t 的拉氏变换的拉氏变换。解：
34、解：15551152.0sseLeLtt ，求，求x(0)，x()。解：解：例例2-92-9 若若0lim)(lim)(00 assssXxss 1.1.定义定义 由象函数由象函数X(s)求原函数求原函数x(t)0)()(21)()(1 tdtesXjsXLtxjjst 2.2.求拉氏反变换的方法求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法查表法 astxL 1)(1lim)(lim)0(assssXxss 部分分式法部分分式法 一般，象函数一般，象函数X(s)是复变量是复变量s的有理代数公式，即的有理代数公式，即nnnnmmmmasas
35、asbsbsbsbsDsNsX1111110)()()()()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX 通常通常m r,p,k=residue(num,den)若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：用非线性微分方程描述的系统。用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，den2=2,3,3,2由于一一对应的关系，可以直接根据结构图，利用梅逊公式直接写出传递函数。令R(s)=0有Pk 第K条前向通路的传输；（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中变量因果关系)()(lim!111)1()1(1sXpsdsdrcrrrpsr )()(limsXpscipsii i
36、=r+1,n nritpitprrrriecectctrctrcsXLtx11221111)!2()!1()()()()(lim111sXpscrps )()(lim121sXpsdsdcrps )()(lim!211)2()2(31sXpsdsdcrps 3.3.举例举例 例例2-102-10，求原函数求原函数x(t)。解：解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)13)1)(3(2)(21 scscssssX2112lim)()3(lim331 sssXscss2132lim)()1(lim112 sssXscss)(21)(3tteetx 342)(2 ssssX223)(2 ssssX的
37、原函数的原函数x(t)。例例2-112-11 求求解：解：s2+2s+2=(s+1)2+1=(s+1+j)(s+1 j)jscjscjsjsssX 11113)(21 jjsXjscjs24)(1lim11 jjsXjscjs24)(1lim12 tteejjejjsXLtxttjtjsin4cos 2424)()(111 1)1(41)1(1)(22ssssX 121)(3lim34 sXscs32)(lim03 ssXcs 21)(1lim211 sXscs 43)(1lim212 sXsdsdcsttetetx312132)23(21)(的原函数的原函数x(t)。解解：例例2-122-1
38、2 求求)3()1(2)(2 sssssX31)1()(43221 scscscscsX 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：1)1)对微分方程两边进行拉氏变换。对微分方程两边进行拉氏变换。2)2)求解代数方程，得到微分方程在求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。域的解。3)3)求求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。线性常系数微分方程的求解（对照课本线性常系数微分方程的求解（对照课本2626页）页）微分方程式微分方程式r(t)c(t)求解代数方程求解代数方程时域解时域解c(t)Ls的代数方程的代数方程R(s)C(s)求
39、解微分方程式求解微分方程式s域解域解C(s)L-1 例例2-132-13 求解微分方程：求解微分方程：解解：两边取拉氏变换两边取拉氏变换 s2Y(s)sy(0)y(0)+3sY(s)3y(0)+2Y(s)=5/s22/3152/5 )2)(1(5)23(52332/5)(2222 ssssssssssssssssssY)(15)(2)(3)(22ttydttdydttdy y(t)=5/2 5 e t+3/2 e 2t初始条件：初始条件：y(0)=1,y(0)=2 例例2-142-14 图示的图示的RC电路，当开关电路，当开关K突然接通后，试求出电突然接通后，试求出电容电压容电压uc(t)的变
40、化规律。的变化规律。解：解：设输入量为设输入量为ur(t)，输出量为，输出量为uc(t)。由。由KVLKVL写出电路方程写出电路方程 rccuudtduRC 电容初始电压为电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换对方程两端取拉氏变换 R C ur uc tRCctRCceueutu1100)1()(RCsuRCssusUcc110111)(0 当输入为阶跃电压当输入为阶跃电压ur(t)=u0 1(t)时，时，得得)0(1)(11)(crcuRCsRCsURCssU 式中右端第一项是由输入电压式中右端第一项是由输入电压ur(t)决定的分量，是当电容初始状决定的分量，是当电容初始状态态uc(
41、0)=0 时的响应，故称时的响应，故称；第二项是由电容初始电压第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压决定的分量，是当输入电压ur(t)=0时的响应，故称时的响应，故称。)()()0()(sUsUussURCrccc 用拉氏变换求解的优点：用拉氏变换求解的优点：1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程）复杂的微分方程变换成简单的代数方程2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数不用另行确定积分常数3）若所有的初值为）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用，拉氏变换式可直接用s 代替代替 ,得到。得到。当然，阶
42、次高时，求拉氏反变换也不太容易，当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，往往并不需要求出解，往往并不需要求出解，可用可用图解法图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。工程需要。dtd222dtds 代替传递函数的定义和实际意义（对照课本传递函数的定义和实际意义（对照课本2929页）页）微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L L 法求解微分方程时法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可引申出来的复频域中的数学模型
43、，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。最重要的模型。1 定义定义 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。表示。即即)()()(sRsCsG 例例2-72-7中，若令中，若令uc(0)=0，则有，则有)(11)(11)(sUTssURCssUrrc RCTTssUsUsGrc 11)()()(于是于是
44、可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数传递函数。传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11
45、110 一般的，设线性定常系统的微分方程式为一般的，设线性定常系统的微分方程式为式中，式中，r(t)是输入量，是输入量，c(t)是输出量。是输出量。在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn+a1sn 1+an 1s +an)C(s)=(b0sm+b1sm 1+am 1s +am)R(s)按定义，其传递函数为按定义，其传递函数为nnnnmmmmaasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(G(s)是由微分方程是由微分方程经线性经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但换到复
46、频域而已，但它是一个函数它是一个函数，便于计算和采用方框图表示，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。广泛应用。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在出量及其各阶导数在t=0的值为零。的值为零。2）输入在）输入在t=0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在以后才作用于系统，即输入及其各阶导数
47、在t=0的值的值为零；为零；对于非对于非0初始条件时，可采用叠加原理。初始条件时，可采用叠加原理。传递函数的性质传递函数的性质(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。(d d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不
48、反应。(e e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）的运动情况。（零状态解）(f f)传递函数一般为复变量传递函数一般为复变量s s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n n m m。并且所有的系数均为实数。并且所有的系数均为实数。(g)(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变
49、换的关系。系统辨识系统辨识 )()()()()()()()(1)()(1sGtgsGLtcsGsGsRsCtLsR 2 G(s)的微观结构的微观结构 G(s)是关于是关于s的有理分式，可分解成多种形式：的有理分式，可分解成多种形式：1）零极点表达式）零极点表达式).().(.)(1111101110nmgnnnnmmmmpspszszskasasasabsbsbsbsG 00abkg 可知：传递函数定，零、极点和可知：传递函数定，零、极点和kg唯一确定，反之亦然。因此传递函唯一确定，反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数数可用零极点和传递系数等价等价表示。表示。零极点既可以是实数，也可以是
50、复数，表示在复平面上，形成的图称零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的传递函数的零、极点分布图零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是。传递系数，传递系数，根轨迹增益根轨迹增益静态放大倍数,0)()1).(12)(1()1).(12)(1(.)(0222212222111101110 tsKabsGsTsTsTsTssssKasasasabsbsbsbsGnmsjinnnnmmmm 较容易分解成一些典型环节，第较容易分解成一些
