1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年山西省高考数学（文科）模拟试卷（年山西省高考数学（文科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B52 C32 D25 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 3（5 分） 已知某地区中小学生人数如图所示， 用分层抽样的方法抽取 200 名学生进行调查， 则抽取的高中生人数为（ ） A10 B40 C30 D20 4 （5 分
2、）设 alog0.56，b0.56，c60.5，则 a、b、c 的大小顺序是（ ） Abac Bbca Cacb Dabc 5 （5 分）某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm） ，如图是检测结果 的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ） A20 B22.5 C22.75 D25 6 （5 分）设点 A（x，y）是函数 f（x）sin（x） （x0，）图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点 B（A，B 可重合） ，设线段 AB 的长为 h（x） ，则函 数 h（x）的图象是（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 7 （5 分）执行如
3、图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A220201 B220202 C220211 D220212 8 （5 分）设 为第三象限角， = 3 5，则 sin2（ ） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D24 25 9 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 10（5分） 已知双曲线C： 2 16 2 48 =1 的左、 右焦点分别为F1， F2， P 为 C上一点， 1 = ， O 为坐标原点，若|PF1|10，则|OQ|（ ） A10 B1 或 9 C1 D9 11（5 分） ABC 中，
4、 已知 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边且A60， 若= 33 2 ， 且 2sinB3sinC，则ABC 的周长等于（ ） A5 + 7 B12 C10+7 D5+27 12 （5 分）椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0）的右焦点与抛物线 E：y24x 的焦点 F 重合， 点 P 是椭圆 C 与抛物线 E 的一个公共点，点 Q（0，1）满足 QFQP，则椭圆 C 的离心 第 3 页（共 16 页） 率为（ ） A3 1 B 3 2 C 2 2 D2 1 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若函数 f
5、（x）loga（x1）+4（a0 且 a1）的图象过定点（m，n） ，则 logmn 14 （5 分）已知数列an满足 an（2n+m）+（1）n（3n2） （mN*，m 与 n 无关） ，若 2 1 a2i1k22k1 对任意的 mN*恒成立，则正实数 k 的取值范围为 15 （5 分）函数 ysin 2sinx 的最大值为 16 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 边长为 2， E 为 PB 中点，AEC90，则球 O 表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）
6、为了解某地区某种农产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨） 和利润 z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 （）求 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多 少时，年利润 z 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 () =1 22 ， = 18 （12 分）已知等比数列an是递减数列，a1a43，a2+a34 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn2n 2a n+
7、1+n，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图所示，在梯形 CDEF 中，四边形 ABCD 为正方形，且 AEBFAB1， 将ADE 沿着线段 AD 折起，同时将BCF 沿着线段 BC 折起使得 E，F 两点重合为点 P （1）求证：平面 PAB平面 ABCD； （2）求点 D 到平面 PBC 的距离 h 第 4 页（共 16 页） 20 （12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）上一点 P（2，m） ，F 为焦点，PFO 面积为 1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 P 引圆：2+ ( 3)2= 2(02)的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB 与抛物线 C 的
8、另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）x+ +lnx（aR） （1）当 a2 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的函数 g（x）= 2 f（x）+lnx+2e（e 为自然对数的底数）有且只有一个 零点，求实数 a 的值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若
9、 OPOQ，求 |2|2 |2:|2的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 第 5 页（共 16 页） 2020 年山西省高考数学（文科）模拟试卷（年山西省高考数学（文科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B52 C32 D25 【解答
10、】解： = 5 2 + 5 = 5(2+) 5 + 5 = 1 + 7， | = (1)2+ 72= 52 故选：B 2 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 3（5 分） 已知某地区中小学生人数如图所示， 用分层抽样的方法抽取 200 名学生进行调查， 则抽取的高中生人数为（ ） A10 B40 C30 D20 【解答】解：某地区中小学生人数如图所示， 用分层抽样的方法抽取 200 名学生进行调查， 则抽取的高中生人数为：200 2000
11、 3500+2000+4500 =40 故选：B 第 6 页（共 16 页） 4 （5 分）设 alog0.56，b0.56，c60.5，则 a、b、c 的大小顺序是（ ） Abac Bbca Cacb Dabc 【解答】解：alog0.56log0.510，0b0.560.501，c60.5601， abc 故选：D 5 （5 分）某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm） ，如图是检测结果 的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ） A20 B22.5 C22.75 D25 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 0.025+0.0450.30.5， 0.3+0.085
12、0.70.5； 中位数应在 2025 内， 设中位数为 x，则 0.3+（x20）0.080.5， 解得 x22.5； 这批产品的中位数是 22.5 故选：B 6 （5 分）设点 A（x，y）是函数 f（x）sin（x） （x0，）图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点 B（A，B 可重合） ，设线段 AB 的长为 h（x） ，则函 数 h（x）的图象是（ ） A B 第 7 页（共 16 页） C D 【解答】解：f（x）sin（x）sinx， （x0，） 设 A（x，sinx） ，则 A，B 关于 x= 2对称， 此时 B（x，sinx） ， 当 0x 2时，|AB
13、|xx2x， 当 2 x 时，|AB|x（x）2x， 则对应的图象为 D， 故选：D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A220201 B220202 C220211 D220212 【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知， 该程序运行后输出的结果为 第 8 页（共 16 页） S2+22+23+22020= 2(122020) 12 =220212 故选：D 8 （5 分）设 为第三象限角， = 3 5，则 sin2（ ） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D24 25 【解答】解： 为第三象限角， = 3 5， cos= 1 2 = 4 5， sin22
14、sincos2（ 3 5）（ 4 5）= 24 25 故选：D 9 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 【解答】解： ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2， 则 ( ) ( ) = + 2 =2cos ， 4cos ， 2cos ， +412， 当且仅当 ，同向， ，反向， ， 反向时，取得最大值 故选：B 10（5分） 已知双曲线C： 2 16 2 48 =1 的左、 右焦点分别为F1， F2， P 为 C上一点， 1 = ， O 为坐标原点，若|PF1|10，则|OQ|（ ） A1
15、0 B1 或 9 C1 D9 【解答】解：双曲线 C： 2 16 2 48 =1 可得 a4，b43，c8， ca4， 由双曲线的定义可知：|PF1|PF2|2a8， 因为|PF1|10，所以|PF2|18 或|PF2|2（舍去） ， P 为 C 上一点，1 = ，所以 Q 为线段 PF1的中点， 所以|OQ|= 1 2|PF2|9 第 9 页（共 16 页） 故选：D 11（5 分） ABC 中， 已知 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边且A60， 若= 33 2 ， 且 2sinB3sinC，则ABC 的周长等于（ ） A5 + 7 B12 C10+7 D5+27 【解答】解
16、：在ABC 中，角 A60， 2sinB3sinC，故由正弦定理可得 2b3c， 再由 SABC= 33 2 = 1 2bcsinA，可得 bc6， b3，c2 再由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA7， 解得：a= 7 故三角形的周长 a+b+c5+7， 故选：A 12 （5 分）椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0）的右焦点与抛物线 E：y24x 的焦点 F 重合， 点 P 是椭圆 C 与抛物线 E 的一个公共点，点 Q（0，1）满足 QFQP，则椭圆 C 的离心 率为（ ） A3 1 B 3 2 C 2 2 D2 1 【解答】解：如图， 由抛物线 E：y24x，得 2P4，p2
17、，F（1，0） ， 又 Q（0，1）且 QFQP， QP 所在直线的斜率为 1，则 QP 所在直线方程为 yx+1， 联立 = + 1 2= 4 ，解得 P（1，2） ， 则 2a= (1 1)2+ (0 2)2+ (1 1)2+ (0 2)2=22 +2， a= 2 +1， 则 e= 1 2+1 = 2 1 故选：D 第 10 页（共 16 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若函数 f（x）loga（x1）+4（a0 且 a1）的图象过定点（m，n） ，则 logmn 2 【解答】解：令 x11，可得 x2，且
18、 y4，故函数 f（x）loga（x1）+4（a0 且 a1）的图象过定点（2，4） ， 再由函数 f（x）loga（x1）+4（a0 且 a1）的图象过定点（m，n） ，可得 m2、 n4， 故 logmn2， 故答案为 2 14 （5 分）已知数列an满足 an（2n+m）+（1）n（3n2） （mN*，m 与 n 无关） ，若 2 1 a2i1k22k1 对任意的 mN*恒成立， 则正实数 k 的取值范围为 3， +） 【解答】 解： 由题意， 2;1= 2(2 1) + + (1)2;13(2 1) 2 = 2i+ （m+3） ， 故 2 1 a2i1= 2 1 2i+（m+3）= 2
19、(+1)4+(+3) 2 = (4 2) 当 mN*时， 2 1 a2i1m（42m）2 又 2 1 a2i1k22k1 对任意 mN*恒成立， k22k12，解得 k3 或 k1 故正实数 k 的取值范围为3，+） 故答案为：3，+） 15 （5 分）函数 ysin 2sinx 的最大值为 43 9 【解答】解：y22 2cos 2 =2（12 2）cos 2， 设 cos 2 =t1，1， 则 f（t）2（1t2）t2t2t3 第 11 页（共 16 页） f（t）26t26（t+1 3） （t 1 3） 可得 t= 3 3 时，函数 f（t）取得最大值， f（ 3 3 ）2 3 3 2
20、1 3 3 3 = 43 9 故答案为：43 9 16 （5 分）已知正四棱锥 PABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上，底面 ABCD 边长为 2， E 为 PB 中点，AEC90，则球 O 表面积为 32 3 【解答】解：如图， 设 ABCD 的中心为 G，连接 PG，则 PG底面 ABCD， 底面 ABCD 边长为 2，AC22， 又AEC90，AEC 为等腰直角三角形，得 EG= 2， 则 PB22，PG=(22)2 (2)2= 6 设正四棱锥 PABCD 的外接球的外接球的球心为 O，半径为 R， 则2= (6 )2+ (2)2，解得 R= 4 6 球 O 表面积为4 ( 4 6)
21、 2 = 32 3 故答案为：32 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）为了解某地区某种农产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨） 和利润 z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 第 12 页（共 16 页） y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 （）求 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多 少时，年利润 z 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： = =1 ()()
22、 =1 ()2 = =1 () =1 22 ， = 【解答】解： （） = 3， = 5， 5 1 = 15， 5 1 = 25， 5 1 = 62.7， 5 1 2= 55， = 1.23， = 8.69 y 关于 x 的线性回归方程为 = 8.69 1.23 （）zx（8.691.23x）2x1.23x2+6.69x 所以 x2.72 时，年利润 z 最大 18 （12 分）已知等比数列an是递减数列，a1a43，a2+a34 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn2n 2a n+1+n，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）等比数列an是递减数列，a1a43，a2+a
23、34， 即有 a2a33，解得 a21，a33， （舍去） ，或 a23，a31， 可得公比 q= 1 3，an3 （ 1 3） n2（1 3） n3； （2）bn2n 2a n+1+n（ 2 3） n2+n， 则前 n 项和 Tn3 2 +1+ 2 3 + +（2 3） n2+（1+2+n） = 3 2(1 2 3) 12 3 + 1 2n（n+1）= 9 21（ 2 3） n+1 2n（n+1） 19 （12 分）如图所示，在梯形 CDEF 中，四边形 ABCD 为正方形，且 AEBFAB1， 将ADE 沿着线段 AD 折起，同时将BCF 沿着线段 BC 折起使得 E，F 两点重合为点 P
24、 （1）求证：平面 PAB平面 ABCD； （2）求点 D 到平面 PBC 的距离 h 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1）证明：取 AB 中点 O，CD 中点 E，连结 PO，PM， 在梯形 CDEF 中，四边形 ABCD 为正方形，且 AEBFAB1， 将ADE 沿着线段 AD 折起，同时将BCF 沿着线段 BC 折起使得 E，F 两点重合为点 P OMAB，PAPB，BCPB，BCAB，POAB， ABPBB，BC平面 PAB，BCPO， ABBCB，PO平面 ABCD， PO平面 PAB，平面 PAB平面 ABCD （2）解：ODABBC1，PO=12 (1 2) 2 =
25、 3 2 ， 以 O 为原点，OB 为 x 轴，OM 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， D（ 1 2，1，0） ，P（0，0， 3 2 ） ，B（1 2，0，0） ，C（ 1 2，1，0） ， =（1 2，0， 3 2 ） ， =（1 2 ，1， 3 2 ） ， =（ 1 2，1， 3 2 ） ， 设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 1 2 3 2 = 0 = 1 2 + 3 2 = 0 ，取 x= 3，得 =（3，0，1） ， 点 D 到平面 PBC 的距离：h= | | | | = 3 2 第 14 页（共 16 页） 20 （12 分）已知抛物线 C
26、：x22py（p0）上一点 P（2，m） ，F 为焦点，PFO 面积为 1 （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 P 引圆：2+ ( 3)2= 2(02)的两条切线 PA、PB，切线 PA、PB 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A、B，求直线 AB 斜率的取值范围 【解答】解： （1）由已知得，1 2 | 2 = 1，即 2 = 1，解得 p2， 所以抛物线 C 的方程为 x24y； （2）由（1）得 P（2，1） ，设直线 PA 斜率为 k1，则 PA 方程为 y1k1（x2） ，即 k1x y+12k10， 又直线 PA 与圆：2+ ( 3)2= 2(02)的相切，2|1:1| 12
27、:1 = ， (4 2)12+ 81+ 4 2= 0， 设直线 PB 斜率为 k2，同理得(4 2)22+ 82+ 4 2= 0， k1，k2 是方程（4r2）k2+8k+4r20 的两个根 4r2（8r2）0 （02） ， 1+ 2= 8 42 = 8 24，k1k21， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 1 = 1( 2) 2= 4 得 x24k1x+8k140，由韦达定理得 x1+24k1， x14k12，同理 x24k22， 所以 kAB= 21 21 = 22 4 1 2 4 21 = 1 4（x1+x2）k1+k21= 8 24 1， 第 15 页（共 16 页）
28、又02，4 8 24 2，kAB（5，3） ， 直线 AB 斜率的取值范围是（5，3） 21 （12 分）已知函数 f（x）x+ +lnx（aR） （1）当 a2 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的函数 g（x）= 2 f（x）+lnx+2e（e 为自然对数的底数）有且只有一个 零点，求实数 a 的值 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域是（0，+） ， a2 时，f（x）x+ 2 +lnx，f（x）1 2 2 + 1 = (+2)(1) 2 ， 令 f（x）0，解得：x1，令 f（x）0，解得：0x1， f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增； （2）关于 x
29、的方程 g（x）= 2 f（x）+lnx+2e，可化为 =x22ex+a， 令 h（x）= ，令 h（x）0，得 xe，故 h（x）的最大值为 h（e）= 1 令 m（x）x22ex+a，可得：xe 时，m（x）的最小值 m（e）ae2 ， 由 ae2= 1 可得 ae 2+1 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ，
30、求 |2|2 |2:|2的值 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为 = 2 = （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 2 4 + 2= 1， 转换为极坐标方程为 42sin2+2cos24即2= 4 32+1 （2）P，Q 是曲线 C 上两点，若 OPOQ， 设 P（1，） ，则 Q（2， 2） ， 第 16 页（共 16 页） 所以 |2|2 |2:|2 = 1 1 |2: 1 |2 = 1 1 12: 1 22 = 1 3 4 2:1 4: 3 4 2:1 4 = 4 5 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6
31、 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 【解答】解： （1）f（x）|x3|+|x1|= 4 2， 1 2，13 2 4， 3 f（x）6， 1 4 2 6或 3 2 4 6或 13 2 6 ， 即以1x1 或 3x5 或 1x3， 不等式的解集为1，5 （2）（x）|x+3|+|x1|x3x+1|2，M2， a0，b0，要证 a+2b4ab，只需证（a+2b）216a2b2， 即证 a2+4b2+4ab16a2b2， a2+4b22，只要证 2+4ab16a2b2， 即证 8（ab）22ab10，即证（4ab+1） （2ab1）0， 4ab+10，只需证 1 2， 2a2+4b24ab， 1 2成立， a+2b4ab
