1、 第 1 页（共 30 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）下面有四个图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （2 分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ） A B C D 3 （2 分）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a 和 3，将点 A 向左平移 1 个 单位长度，得到点 C若 OCOB，则 a 的值为（ ） A3 B2 C1 D2 4 （2 分）若一个多边形的每个内角均为 120，则该多边形是（
2、 ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 5 （2 分）2019 年“十一”黄金周期间（7 天） ，北京市接待旅游总人数为 920.7 万人次，旅 游总收入 111.7 亿元其中 111.7 亿用科学记数法表示为（ ） A111.7106 B11.17109 C1.1171010 D1.117108 6 （2 分）如果 m+n1，那么代数式（ 2+ 2 + 1 ） （m 2n2）的值为（ ） A3 B1 C1 D3 7 （2 分）如图，ABC 内接于O 中，ABAC， =60，则B（ ） A30 B45 C60 D75 第 2 页（共 30 页） 8 （2 分）某市为了解旅游人数的变化情况
3、，收集并整理了 2017 年 1 月至 2019 年 12 月期 间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：根据统计图提供的信 息，下列推断不合理的是（ ） A2017 年至 2019 年，年接待旅游量逐年增加 B2017 年至 2019 年，各年的月接待旅游量高峰期大致在 7，8 月份 C2019 年的月接待旅游量的平均值超过 300 万人次 D2017 年至 2019 年，各年下半年（7 月至 12 月）的月接待旅游量相对于上半年（1 月 至 6 月）波动性更小，变化比较平稳 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9
4、（2 分）使分式 1 4有意义的 x 的取值范围是 10 （2 分） 二次函数 = ( 1 )( 6) （其中 m0） ， 下列命题： 该函数图象过 （6， 0） ；该函数图象顶点在第三象限；当 x3 时，y 随着 x 的增大而增大；若当 x n 时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则 3 + 1 2正确的序号是 11 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，则BACDAE （点 A，B，C， D，E 是网格线交点） 12 （2 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，O 经过点 A，C，D，与 BC 交于点 E， 连接 AE，若D72，则BAE 第 3 页（共 30 页） 13 （2 分）
5、如图， 已知正方形 OABC 的三个顶点坐标分别为 A （2，0） ，B （2， 2） ， C （0， 2） ，若反比例函数 y= （k0）的图象与正方形 OABC 的边有交点，请写出一个符合条 件的 k 值 14 （2 分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数 n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 m 28 60 78 104 123 152 251 投中频率 （精确到 0.01） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 由此估计这名球员在罚球线上投中篮的概率约是 （精确到 0.01） 15 （2 分）某班对思想品德、历
6、史、地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下： 科目 思想品德 历史 地理 选考人数（人） 20 13 18 其中思想品德、历史两门课程都选了的有 3 人，历史、地理两门课程都选了的有 4 人， 则该班选了思想品德而没有选历史的有 人；该班至少有学生 人 16 （2 分）如图，在 43 的矩形方框内有一个不规则的区域 A（图中阴影部分所示） ，小 明同学用随机的办法求区域 A 的面积若每次在矩形内随机产生 10000 个点，并记录落 在区域 A 内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6700 个，则区域 A 的面积约为 第 4 页（共 30 页） 三解答题（共三
7、解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）计算：12 3tan30+（4）0（1 2） 1 18 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 19 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2x（m+2）0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若 m 为符合条件的最小整数，求此方程的根 20 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边的中线，过点 A 作 BC 的平行线， 过点 B 作 AD 的平行线，两线交于点 E （1）求证：四边形 ADBE 是矩形； （2）连接 DE，交 AB 于点 O，若
8、BC8，AO= 5 2，求 cosAED 的值 21 （5 分）体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体 90 名 女生中随机抽取 15 名女生进行体质测试，并调取该 15 名女生上学期的体质测试成绩进 行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50x60，60x70， 70x80，80x90，90x100） ； 第 5 页（共 30 页） b上学期测试成绩在 80x90 的是： 8081 83 84 84 88 c两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众
9、数 上学期 82.9 n 84 本学期 83 86 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 n 的值是 ； （2） 体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目， 则九年级约有 名女生参加此项目； （3）分析这 15 名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况 （从两个方面进行分 析） 22 （5 分）从前有一个国王，他企图谋杀一个大臣国王对这个大臣说： “我已经写好了两 个阄，一个写有“杀字，另一个写有赦字你从里面抓一个，抓到哪一个，我就 按上面的方法处置你 ”这位聪明的大臣已事先得知两个阄上写的都是“杀”字，无论他 抓到哪一个，都逃脱不了死亡的命运，但
10、这位大臣动用逻辑的方法想出了一个好主意， 从而免去了杀身之祸你知道这位大臣想出的是什么主意吗？他这样做的依据是什么？ 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点点 A 的坐标 为（m，3） ，点 B 与点 A 关于 yx 成轴对称，tanAOC= 1 3 （1）求 k 的值； 第 6 页（共 30 页） （2）直接写出点 B 的坐标，并求直线 AB 的解析式； （3）P 是 y 轴上一点，且 SPBC2SAOB，求点 P 的坐标 24（6 分） 如图， 在O 中，
11、弦 AB 与 CD 相交于点 E， ABD+C90， CBD120， 过点 B 作直线 PQ，PBD30 （1）若C30，试判断直线 PQ 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若点 A 到直线 PQ 的距离为 33，tanCDB= 3 2 ，求O 的半径 25 （6 分）如图示，AB 是O 的直径，点 F 是半圆上的一动点（F 不与 A，B 重合） ，弦 AD 平分BAF，过点 D 作 DEAF 交射线 AF 于点 AF （1）求证：DE 与O 相切： （2）若 AE8，AB10，求 DE 长； （3）若 AB10，AF 长记为 x，EF 长记为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出
12、 AF EF 的最大值 第 7 页（共 30 页） 26 （6 分）已知抛物线 yx22ax+m （1）当 a2，m5 时，求抛物线的最值； （2）当 a2 时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 后，得到新的抛物线与 x 轴没有交点，请判断 k 的取值情况，并说明理由； （3）当 m0 时，平行于 y 轴的直线 l 分别与直线 yx（a1）和该抛物线交于 P，Q 两点若平移直线 l，可以使点 P，Q 都在 x 轴的下方，求 a 的取值范围 27 （7 分） 【阅读材料】 小明遇到这样一个问题： 如图 1， 点 P 在等边三角形 ABC 内， 且APC150，
13、 PA3， PC4，求 PB 的长 小明发现， 以 AP 为边作等边三角形 APD， 连接 BD， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD，得 PCBD；由已知APC150，可知PDB 的大小，进而可 求得 PB 的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB ，PB 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在ABC 内，且 PA1，PB= 17， PC22，求 AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，BAC，且 tan= 4 3，点 P 在ABC 外，且 PB3，PC1，直接写出
14、 PA 长的最大值 28 （7 分）如图，AB 是O 的直径，ACAB，BC 交O 于点 D，点 E 在劣弧 BD 上，DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F，连接 AE 交 BD 于点 G （1）求证：AEDCAD； 第 8 页（共 30 页） （2）若点 E 是劣弧 BD 的中点，求证：ED2EGEA； （3）在（2）的条件下，若 BOBF，DE2，求 EF 的长 第 9 页（共 30 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分
15、） 1 （2 分）下面有四个图案，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意 故选：A 2 （2 分）下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（ ） A B C D 【解答】解：从正面看到的形状是圆的是球， 故选：B 3 （2 分）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a 和 3，将点 A 向左平移 1 个 单位长度，得到点 C若 OCOB，则 a 的值为（ ） A3 B2 C1 D2 【解答】解：由题意知：
16、A 点表示的数为 a，B 点表示的数为 3， C 点表示的数为 a1 因为 COBO， 所以|a1|3， 解得 a2 或 4 第 10 页（共 30 页） a0， a2 故选：B 4 （2 分）若一个多边形的每个内角均为 120，则该多边形是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D七边形 【解答】解：18012060， 360606 故选：C 5 （2 分）2019 年“十一”黄金周期间（7 天） ，北京市接待旅游总人数为 920.7 万人次，旅 游总收入 111.7 亿元其中 111.7 亿用科学记数法表示为（ ） A111.7106 B11.17109 C1.1171010 D1.1171
17、08 【解答】解：111.7 亿111700000001.1171010 故选：C 6 （2 分）如果 m+n1，那么代数式（ 2+ 2 + 1 ） （m 2n2）的值为（ ） A3 B1 C1 D3 【解答】解：原式= 2+ () （m+n） （mn）= 3 () （m+n） （mn）3（m+n） ， 当 m+n1 时，原式3 故选：D 7 （2 分）如图，ABC 内接于O 中，ABAC， =60，则B（ ） A30 B45 C60 D75 【解答】解：ABAC， =60， BC，A30， B= 1 2（18030）75； 故选：D 8 （2 分）某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了
18、2017 年 1 月至 2019 年 12 月期 第 11 页（共 30 页） 间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：根据统计图提供的信 息，下列推断不合理的是（ ） A2017 年至 2019 年，年接待旅游量逐年增加 B2017 年至 2019 年，各年的月接待旅游量高峰期大致在 7，8 月份 C2019 年的月接待旅游量的平均值超过 300 万人次 D2017 年至 2019 年，各年下半年（7 月至 12 月）的月接待旅游量相对于上半年（1 月 至 6 月）波动性更小，变化比较平稳 【解答】解：从折线统计图的整体变化情况可得 2017 年至 2019 年，年接待旅游
19、量逐年 增加，因此选项 A 不符合题意， 2017 年至 2019 年，各年的月接待旅游量高峰期大致在 7，8 月份，因此选项 B 不符合题 意； 从 2019 年 3 月起，每个月的人数均超过 300 万人，并且整体超出的还很多，因此选项 C 不符合题意； 从统计图中可以看出 2017 年至 2019 年，各年下半年（7 月至 12 月）的月接待旅游量相 对于上半年（1 月至 6 月）波动性要大，因此选项 D 符合题意； 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）使分式 1 4有意义的 x 的取值范围是 x4 【解答
20、】解：根据题意得：x40，解得：x4 故答案为：x4 10 （2 分） 二次函数 = ( 1 )( 6) （其中 m0） ， 下列命题： 该函数图象过 （6， 0） ；该函数图象顶点在第三象限；当 x3 时，y 随着 x 的增大而增大；若当 x n 时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则 3 + 1 2正确的序号是 第 12 页（共 30 页） 【解答】解： = ( 1 )( 6) =mx 2（6m+1）x+6， 对称轴为 x= (6+1) 2 =3+ 1 2，（6m+1） 224m（6m1）20， 当 x6 时，y0， 该函数图象过（6，0） ；故正确； = ( 1 )( 6) =mx 2
21、（6m+1）x+6， 对称轴为 x= (6+1) 2 =3+ 1 20，该函数图象顶点不在第三象限，故错误； 当 x3+ 1 2时，y 随 x 的增大而增大，故错误； C、当 xn 时，y 随 x 的增大而减小，即 x3+ 1 2，此选项正确； 故答案为： 11 （2 分）如图所示的网格是正方形网格，则BACDAE 45 （点 A，B， C， D， E 是网格线交点） 【解答】解：如图，连接 CG、AG， 由勾股定理得：AC2AG212+225，CG212+3210， AC2+AG2CG2， CAG90， CAG 是等腰直角三角形， ACG45， CFAB， ACFBAC， 第 13 页（共
22、30 页） 在CFG 和ADE 中， = = = 90 = ， CFGADE（SAS） ， FCGDAE， BACDAEACFFCGACG45， 故答案为：45 12 （2 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，O 经过点 A，C，D，与 BC 交于点 E， 连接 AE，若D72，则BAE 36 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，D72， DCB（180D）108， 四边形 AECD 是圆内接四边形， AEBD72，B180BCD72 BAE180727236， 故答案为：36 13 （2 分）如图， 已知正方形 OABC 的三个顶点坐标分别为 A （2，0） ，B （2， 2）
23、 ， C （0， 2） ，若反比例函数 y= （k0）的图象与正方形 OABC 的边有交点，请写出一个符合条 件的 k 值 k1（满足条件的 k 值的范围是 0k4） 【解答】解：反比例函数 y= （k0）的图象与正方形 OABC 的边有交点， 把 B （2，2）代入 y= 得，k4， 第 14 页（共 30 页） 满足条件的 k 值的范围是 0k4， 故 k1（答案不唯一） ， 故答案为：k1（满足条件的 k 值的范围是 0k4） 14 （2 分）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数 n 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 m 28 60 78 104
24、 123 152 251 投中频率 （精确到 0.01） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 由此估计这名球员在罚球线上投中篮的概率约是 0.50 （精确到 0.01） 【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数 0.50 附近， 这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 0.50， 故答案为：0.50 15 （2 分）某班对思想品德、历史、地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下： 科目 思想品德 历史 地理 选考人数（人） 20 13 18 其中思想品德、历史两门课程都选了的有 3 人，历史、地理两门课程都选了的有 4 人，
25、则该班选了思想品德而没有选历史的有 17 人；该班至少有学生 30 人 【解答】解：思想品德共有 20 人选择，其中选历史的有 3 人，所以选思想品德而没有选 历史的有 17 人； 根据题意可以列表为： 所以该班选了思想品德而没有选历史的有 17 人；该班至少有学生 30 人 故答案为：17，30 16 （2 分）如图，在 43 的矩形方框内有一个不规则的区域 A（图中阴影部分所示） ，小 第 15 页（共 30 页） 明同学用随机的办法求区域 A 的面积若每次在矩形内随机产生 10000 个点，并记录落 在区域 A 内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 670
26、0 个，则区域 A 的面积约为 8.04 【解答】解：由题意，在矩形内随机产生 10000 个点，落在区域 A 内点的个数平均值 为 6700 个， 概率 P= 6700 10000 =0.67， 43 的矩形面积为 12， 区域 A 的面积的估计值为 0.67128.04 故答案为：8.04； 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）计算：12 3tan30+（4）0（1 2） 1 【解答】解：原式23 3 3 3 +12 23 3 +12 = 3 1 18 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 【解答】解
27、：5 + 5 3 2 1 23 解不等式，得 x 7 2； 解不等式，得 x 1 5， 不等式组的解集为 7 2 x 1 5， 则不等式组的整数解是3，2，1，0 19 （5 分）关于 x 的一元二次方程 x2x（m+2）0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围； 第 16 页（共 30 页） （2）若 m 为符合条件的最小整数，求此方程的根 【解答】解： （1）方程 x2x（m+2）0 有两个不相等的实数根， （1）2+4（m+2）0， 解得 9 4； （2） 9 4， m 的最小整数为2， 方程为 x2x0， 解得 x0 或 x1 20 （5 分）如图，在ABC 中，ABAC，A
28、D 是 BC 边的中线，过点 A 作 BC 的平行线， 过点 B 作 AD 的平行线，两线交于点 E （1）求证：四边形 ADBE 是矩形； （2）连接 DE，交 AB 于点 O，若 BC8，AO= 5 2，求 cosAED 的值 【解答】证明： （1）AEBC，BEAD， 四边形 ADBE 是平行四边形 ABAC，AD 是 BC 边的中线， ADBC 即ADB90 四边形 ADBE 为矩形 （2）在矩形 ADCE 中，AO= 5 2， DEAB5 D 是 BC 的中点， AEDB4 第 17 页（共 30 页） 在 RtADE 中，cosAED= = 4 5 21 （5 分）体育李老师为了解
29、九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体 90 名 女生中随机抽取 15 名女生进行体质测试，并调取该 15 名女生上学期的体质测试成绩进 行对比，李老师对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息 a两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：50x60，60x70， 70x80，80x90，90x100） ； b上学期测试成绩在 80x90 的是： 8081 83 84 84 88 c两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 82.9 n 84 本学期 83 86 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 n 的值
30、是 83 ； （2） 体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项目， 则九年级约有 18 名女生参加此项目； （3）分析这 15 名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况 （从两个方面进行分 第 18 页（共 30 页） 析） 【解答】解： （1）表中 n 的值是 83； 故答案为：83； （2）90 3 15 =18， 答：九年级约有 18 名女生参加此项目； 故答案为：18； （3）这 15 名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况为：体质测试成绩本学期 比上学期明显变好，平均分提高了，高于 80 分占 80% 22 （5 分）从前有一个国王，他企图谋杀
31、一个大臣国王对这个大臣说： “我已经写好了两 个阄，一个写有“杀字，另一个写有赦字你从里面抓一个，抓到哪一个，我就 按上面的方法处置你 ”这位聪明的大臣已事先得知两个阄上写的都是“杀”字，无论他 抓到哪一个，都逃脱不了死亡的命运，但这位大臣动用逻辑的方法想出了一个好主意， 从而免去了杀身之祸你知道这位大臣想出的是什么主意吗？他这样做的依据是什么？ 【解答】解：如果两个阄，一个写有“杀”字，另一个写有“赦”字，获得活的可能性 为1 2； 如果两个阄上写的都是“杀”字，无论他抓到哪一个都是死，获得活的可能性为 0； 这位大臣从里面抓一个阄后吞进肚子里，让别人验看剩下的那个阄，剩下的是个“杀” 字，
32、则证明他吞下的是“赦”字，这样他就可以逃脱死亡的命运 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点点 A 的坐标 为（m，3） ，点 B 与点 A 关于 yx 成轴对称，tanAOC= 1 3 （1）求 k 的值； （2）直接写出点 B 的坐标，并求直线 AB 的解析式； （3）P 是 y 轴上一点，且 SPBC2SAOB，求点 P 的坐标 第 19 页（共 30 页） 【解答】解： （1）作 ADy 轴于 D， 点 A 的坐标为（m，3） ， OD3， tanAOC
33、= 1 3 = 1 3，即 3 = 1 3， AD1， A（1，3） ， 在反比例函数 y= （k 为常数，k0）的图象上， k133； （2）点 B 与点 A 关于 yx 成轴对称， B（3，1） ， A、B 在一次函数 yax+b 的图象上， + = 3 3 + = 1，解得 = 1 = 2 ， 直线 AB 的解析式为 yx+2； （3）连接 OC， 由直线 AB 为 yx+2 可知，C（0，2） ， SAOBSAOC+SBOC= 1 2 21+ 1 2 234， P 是 y 轴上一点， 设 P（0，t） ， SPBC= 1 2|t2|3= 3 2|t2|， SPBC2SAOB， 3 2|
34、t2|24， 第 20 页（共 30 页） t= 22 3 或 t= 10 3 ， P 点的坐标为（0，22 3 ）或（0， 10 3 ） 24（6 分） 如图， 在O 中， 弦 AB 与 CD 相交于点 E， ABD+C90， CBD120， 过点 B 作直线 PQ，PBD30 （1）若C30，试判断直线 PQ 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若点 A 到直线 PQ 的距离为 33，tanCDB= 3 2 ，求O 的半径 【解答】解： （1）结论：直线 PQ 与O 相交 理由：连接 AD DABDCB，DBA+DCB90， DBA+DAB90， ADB90， AB 是O 是直径， DC
35、BDAB30， ABD60， PBD30， ABP90， PQ 不是O 的切线， PQ 与O 交于点 B， 第 21 页（共 30 页） 直线 PQ 与O 相交 （2）连接 AC，作 AHBQ 于 H，CMBQ 于 MANMC 交 MC 的延长线于 N AB 是直径， ACB90， CDBBAC， tanCDBtanBAC= = 3 2 ， 可以假设 BC= 3k，AC2k PBD30，CBD120， CBM30 NBMCACB90， ACN+BCM90，BCM+CBM90， ACNCBM30， ANHMk，CN= 3k，CM= 3 2 kBM= 3 2k，BHBMHM= 1 2k， AHMN
36、， 33 2 k33， k2， BH1， AB= 2+ 2=(33)2+ 12=27， O 的半径为7 25 （6 分）如图示，AB 是O 的直径，点 F 是半圆上的一动点（F 不与 A，B 重合） ，弦 AD 平分BAF，过点 D 作 DEAF 交射线 AF 于点 AF （1）求证：DE 与O 相切： 第 22 页（共 30 页） （2）若 AE8，AB10，求 DE 长； （3）若 AB10，AF 长记为 x，EF 长记为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 AF EF 的最大值 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图 1 所示： ODOA， OADODA， AD 平分BAF，
37、OADFAD， ODAFAD， ODAF， DEAF， DEOD， 又OD 是O 的半径， DE 与O 相切： （2）解：连接 BD，如图 2 所示： AB 是O 的直径， ADB90， DEAF， AED90ADB， 又EADDAB， AEDADB， AD：ABAE：AD， AD2ABAE10880， 第 23 页（共 30 页） 在 RtAED 中，由勾股定理得：DE= 2 2= 80 82=4； （3）连接 DF，过点 D 作 DGAB 于 G，如图 3 所示： 在AED 和AGD 中， = = 90 = = ， AEDAGD（AAS） ， AEAG，DEDG， FADDAB， = ，
38、DFDB， 在 RtDEF 和 RtDGB 中， = = ， RtDEFRtDGB（HL） ， EFBG， ABAG+BGAF+EFAF+EF+EFAF+2EF， 即：x+2y10， y= 1 2x+5， AEEF= 1 2x 2+5x= 1 2（x5） 2+25 2 ， AFEF 有最大值，当 x5 时，AFEF 的最大值为25 2 第 24 页（共 30 页） 26 （6 分）已知抛物线 yx22ax+m （1）当 a2，m5 时，求抛物线的最值； （2）当 a2 时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 后，得到新的抛物线与 x 轴没有交点，请判断 k 的
39、取值情况，并说明理由； （3）当 m0 时，平行于 y 轴的直线 l 分别与直线 yx（a1）和该抛物线交于 P，Q 两点若平移直线 l，可以使点 P，Q 都在 x 轴的下方，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a2，m5 时， yx24x5 （x2）29 所以抛物线的最小值为9 （2）当 a2 时， yx24x+m （x2）2+m4 因为该抛物线与坐标轴有两个交点， 所以抛物线与 y 轴有 1 个交点，与 x 轴有 1 个交点，0， 即 164m0，解得 m4， m4 第 25 页（共 30 页） 把它沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后，得到新的抛物线与 x 轴没有交点， yx24
40、x+4+k 此时0， 即 164（4+k）0 解得 4+k4 k0 （3）当 m0 时，yx22ax 抛物线开口向上，与 x 轴交点坐标为（0，0） （2a，0） ，a0 直线 l 分别与直线 yx（a1）和该抛物线交于 P，Q 两点， 平移直线 l，可以使点 P，Q 都在 x 轴的下方， 当 a0 时，如图 1 所示， 此时，当 x0 时，0a+10，解得 a1； 当 a0 时，如图 2 所示， 此时，当 x2a 时，2aa+10，解得 a1 综上：a1 或 a1 27 （7 分） 【阅读材料】 第 26 页（共 30 页） 小明遇到这样一个问题： 如图 1， 点 P 在等边三角形 ABC
41、内， 且APC150， PA3， PC4，求 PB 的长 小明发现， 以 AP 为边作等边三角形 APD， 连接 BD， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD，得 PCBD；由已知APC150，可知PDB 的大小，进而可 求得 PB 的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB 90 ，PB 5 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在ABC 内，且 PA1，PB= 17， PC22，求 AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，BAC，且 tan= 4 3，点 P 在ABC
42、外，且 PB3，PC1，直接写出 PA 长的最大值 【解答】解： （1）如图 1 中， ACPABD， PDBAPC150，PCBD4，ADAP3， ADP 为等边三角形， 第 27 页（共 30 页） ADP60，DPAD3， BDP1506090， PB= 32+ 42=5 故答案为：90，5； （2）如图 2 中，把ACP 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCD 由旋转性质可知；BDPA1，CDCP22，PCD90， PCD 是等腰直角三角形， PD= 2PC= 2 22 =4，CDP45， PD2+BD242+1217，PB2（17）217， PD2+BD2PB2， PDB90， BDC
43、135， APCCDB135，CPD45， APC+CPD180， A，P，D 共线， ADAP+PD5， 在 RtADB 中，AB= 2+ 2= 52+ 12= 26 （3）如图 3 中，作 CDCP，使得 CD= 3 4PC= 3 4，则 PD= 2+ 2 = 5 4， 第 28 页（共 30 页） tanBAC= = 4 3， = ， ACBPCD90， ACDBCP， ACDBCP， = = 3 4， AD= 9 4， 9 4 5 4 PA 9 4 + 5 4， 1PA 7 2， PA 的最大值为7 2 28 （7 分）如图，AB 是O 的直径，ACAB，BC 交O 于点 D，点 E 在劣弧 BD 上，DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F，连接 AE 交 BD 于点 G （1）求证：AEDCAD； （2）若点 E 是劣弧 BD 的中点，求证：ED2EGEA； （3）在（2）的条件下，若 BOBF，DE2，求 EF 的长 第 29 页（共 30 页） 【解答】 （1）证明：AB 是O 的直径， ADB90， ACAB， CAB
