1、 第 1 页（共 29 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（13） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B圆锥 C圆柱 D三棱柱 2 （2 分）2018 年，临江市生产总值为 1587.33 亿元，请用科学记数法将 1587.33 亿表示为 （ ） A1587.33108 B1.587331013 C1.587331011 D1.587331012 3 （2 分）已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ） A1ba
2、B|b|1|a| C1|b|a D1ba 4 （2 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，A+D，ABC 的平分线与BCD 的平分线交 于点 P，则P（ ） A90 1 2 B1 2 C90+ 1 2 D360 6 （2 分）如果 m+n1，那么代数式（ 2: 2; + 1 ） （m 2n2）的值为（ ） 第 2 页（共 29 页） A3 B1 C1 D3 7 （2 分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了 12 个小时的温度， 记时间为 t（单位：h） ，温度为 y（单位：） 当 4t8 时，y 与
3、 t 的函数关系是 y t2+10t+11，则 4t8 时该地区的最高温度是（ ） A11 B27 C35 D36 8 （2 分）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利 用平面直角坐标系画出的关键位置分布图， 若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示点 A 的坐标为（1，1） ，表示点 B 的坐标为（3，2） ，则表示其他 位置的点的坐标正确的是（ ） AC（1，0） BD（3，1） CE（2，5） DF（5，2） 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）已知，x、y
4、 为实数，且 y= 2 1 1 2+3，则 x+y 10 （2 分）A（0，1）B（1，0） ，在 y 轴上存在点 C，使得ABC 为直角三角形，则 C 点 坐标为 11 （2 分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新 大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差 S2，如果要选出一个成 绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.8 12（2分） 如图， AD为ABC的外接圆O的直径， 若BAD50， 则ACB 第 3 页（共 29 页） 13 （2 分）体育馆的环形跑道长 400 米，
5、甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车如 果同向而行 80 秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔 30 秒相遇一次；求甲、乙的 速度分别是多少？如果设甲的速度是 x 米/秒，乙的速度是 y 米/秒，所列方程组是 14 （2 分） 若点 A （1， 2） 、 B （2， n） 在同一个反比例函数的图象上， 则 n 的值为 15 （2 分）如图，边长 12 的正方形 ABCD 中，F 为 BC 上的一点且 BF3，有一个小正方 形 EFGH，其中 E，G 分别在 AB，FD 上，则 AH 的长为 16 （2 分）一个不透明布袋里共有 5 个球 （只有颜色不同） ，其中 3 个是黑球，2 个是白
6、球， 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球是 一黑一白的概率是 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使 PQl 作法：如图 2， 在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点； 连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q； 第 4 页（共 29 页） 作直线 PQ； 所有直线 PQ 就是所求作的直线 根据小
7、明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接 PB、QB PAQB， = PBAQPB（ ） （填推理的依据） PQl（ ） （填推理的依据） 18 （5 分）计算：4cos30+（1）012 +|3 2| 19 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 20 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 21 （5 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为 CD、BC 上两点，AF 平分B
8、AE， EADFEC （1）求证：ABAE； （2）若B90，AF 与 DC 的延长线交于点 H，求证：四边形 ABHE 为菱形； （3）在（2）的条件下，若 DH16，AD8，直接写出 AF 的长为 22 （6 分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整 理、描述和分析下面给出了部分信息 第 5 页（共 29 页） a甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩 x 学校 50x60 60x70 70x80 80x90 90x100 甲 4 11 13 10 2 乙
9、 6 3 15 14 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下为不 合格） b甲校成绩在 70x80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78 c甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 n 的值； （2）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可 知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙” ） ，理由是 ； （3）假设乙校 800 名
10、学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+b（k0）与双曲线 y= （m0）相交 于 A，B 两点，点 A 坐标为（3，2） ，点 B 坐标为（n，3） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如果点 P 是 x 轴上一点，且ABP 的面积是 5，求点 P 的坐标 （3）利用函数图象直接写出关于 x 的不等式 kx+b 的解集 第 6 页（共 29 页） 24 （6 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D， C90 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CDB60，
11、AB6，求 的长 25 （6 分） （1）初步思考： 如图 1， 在PCB 中， 已知 PB2， BC4， N 为 BC 上一点且 BN1， 试证明： PN= 1 2PC （2）问题提出： 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD+ 1 2PC 的最小值 （3）推广运用： 如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一 个动点，求PD 1 2 PC的最大 第 7 页（共 29 页） 值 26 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于
12、点 A，B，抛物 线 yax2+bx3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 27 （7 分）如图 1，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上一点，连接 AD，并将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AE，连接 CE （1）求证：ADBAEC； （2）如图 2，当点 D 为 BC 中点时，连接 DE 交 AC 于点 F，直接写出长度等于23CF 的所有线段 28 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，8） ，B（
13、6，0） ，C（0，3） ，点 D 从点 A 运动到点 B 停止，连接 CD，以 CD 长为直径作P （1）若ACDAOB，求P 的半径； （2）当P 与 AB 相切时，求POB 的面积； （3）连接 AP、BP，在整个运动过程中，PAB 的面积是否为定值，如果是，请直接写 第 8 页（共 29 页） 出面积的定值，如果不是，请说明理由 第 9 页（共 29 页） 2020 年北京市中考数学模拟试卷（年北京市中考数学模拟试卷（13） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 1 （2 分）如图是某个几何体
14、的三视图，该几何体是（ ） A长方体 B圆锥 C圆柱 D三棱柱 【解答】解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和 左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱， 故选：D 2 （2 分）2018 年，临江市生产总值为 1587.33 亿元，请用科学记数法将 1587.33 亿表示为 （ ） A1587.33108 B1.587331013 C1.587331011 D1.587331012 【解答】解：用科学记数法将 1587.33 亿表示为 1587.331081.587331011 故选：C 3 （2 分）已知实数 a，b 在数轴上的位
15、置如图所示，下列结论错误的是（ ） A1ba B|b|1|a| C1|b|a D1ba 【解答】解：由数轴可得：b101a，|a|b| A 无误，不符合题意； B：由 b1，可得|b|1，故 B 错误，符合题意； C，D 均无误，不符合题意 故选：B 4 （2 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 第 10 页（共 29 页） A B C D 【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意； C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； D、此图形是轴对称图形，但不是中心
16、对称图形，此选项不符合题意； 故选：C 5 （2 分）如图，在四边形 ABCD 中，A+D，ABC 的平分线与BCD 的平分线交 于点 P，则P（ ） A90 1 2 B1 2 C90+ 1 2 D360 【解答】解：四边形 ABCD 中，ABC+BCD360（A+D）360， PB 和 PC 分别为ABC、BCD 的平分线， PBC+PCB= 1 2（ABC+BCD）= 1 2（360）180 1 2， 则P180（PBC+PCB）180（180 1 2）= 1 2 故选：B 6 （2 分）如果 m+n1，那么代数式（ 2: 2; + 1 ） （m 2n2）的值为（ ） A3 B1 C1 D
17、3 【解答】解：原式= 2+ () （m+n） （mn）= 3 () （m+n） （mn）3（m+n） ， 当 m+n1 时，原式3 故选：D 7 （2 分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了 12 个小时的温度， 记时间为 t（单位：h） ，温度为 y（单位：） 当 4t8 时，y 与 t 的函数关系是 y t2+10t+11，则 4t8 时该地区的最高温度是（ ） 第 11 页（共 29 页） A11 B27 C35 D36 【解答】解：yt2+10t+11（t5）2+36， 当 t5 时有最大值 36， 4t8 时该地区的最高温度是 36， 故选：D 8 （2 分）为了
18、保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利 用平面直角坐标系画出的关键位置分布图， 若这个坐标系分别以正东、 正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示点 A 的坐标为（1，1） ，表示点 B 的坐标为（3，2） ，则表示其他 位置的点的坐标正确的是（ ） AC（1，0） BD（3，1） CE（2，5） DF（5，2） 【解答】解：根据点 A 的坐标为（1，1） ，表示点 B 的坐标为（3，2） ， 可得： C（0，0） ，D（3，1） ，E（5，2） ，F（5，2） ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 2 分）
19、分） 9 （2 分）已知，x、y 为实数，且 y= 2 1 1 2+3，则 x+y 2 或 4 【解答】解：由题意知，x210 且 1x20， 所以 x1 所以 y3 第 12 页（共 29 页） 所以 x+y2 或 4 故答案是：2 或 4 10 （2 分）A（0，1）B（1，0） ，在 y 轴上存在点 C，使得ABC 为直角三角形，则 C 点 坐标为 （0，0）或（0，1） 【解答】解：A（0，1）B（1，0） ， OAOB1，CAB45ABC， 设 C（0，y） ， ABC 为直角三角形， 分两种情况： 当ACB90时，C 与 O 重合，此时 C（0，0） ； ABC90时，C（0，1）
20、 ； 综上，则 C 点坐标为（0，0）或（0，1） ； 故答案为： （0，0）或（0，1） 11 （2 分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新 大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差 S2，如果要选出一个成 绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 丙 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 s2 1 1.2 0.9 1.8 【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小， 所以丙组的成绩比较稳定， 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组 故答案为：丙 12（2 分） 如图， AD 为ABC 的外接圆O 的直径， 若
21、BAD50， 则ACB 40 第 13 页（共 29 页） 【解答】解：连接 BD，如图， AD 为ABC 的外接圆O 的直径， ABD90， D90BAD905040， ACBD40 故答案为 40 13 （2 分）体育馆的环形跑道长 400 米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车如 果同向而行 80 秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔 30 秒相遇一次；求甲、乙的 速度分别是多少？如果设甲的速度是 x 米/秒，乙的速度是 y 米/秒，所列方程组是 80 80 = 400 30 + 30 = 400 【解答】解：根据题意，得 80 80 = 400 30 + 30 = 400 故答
22、案为：80 80 = 400 30 + 30 = 400 14 （2 分） 若点 A （1， 2） 、 B （2， n） 在同一个反比例函数的图象上， 则 n 的值为 1 【解答】解：设反比例函数解析式为：y= ， 根据题意得：k122n， 解得 n1 故答案为：1 15 （2 分）如图，边长 12 的正方形 ABCD 中，F 为 BC 上的一点且 BF3，有一个小正方 形 EFGH，其中 E，G 分别在 AB，FD 上，则 AH 的长为 910 4 第 14 页（共 29 页） 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BC90， 在BEF 与CFD 中 BFE+CFDCFD+CDF90，
23、BEFCDF， BEFCFD， = ， BF3，BC12， CFBCBF1239， 3 12 = 9 ， BE= 9 4， 过 H 作 HMAB 于 M，则HMAHME90， 四边形 ABCD 和四边形 EHGF 是正方形， HMEB90，EHEF，HEF90， MEH+BEF90，BEF+EFB90， MEHEFB， 在HME 和EBF 中 = = = HMEEBF（AAS） ， 第 15 页（共 29 页） HMBE= 9 4，MEBF3， AMABEMBE123 9 4 = 27 4 ， 在 RtAMH 中，由勾股定理得：AH= 2+ 2=(27 4 )2+ (9 4) 2 = 910
24、4 故答案为：910 4 16 （2 分）一个不透明布袋里共有 5 个球 （只有颜色不同） ，其中 3 个是黑球，2 个是白球， 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球是 一黑一白的概率是 12 25 【解答】解：设黑球为 A、B、C；白球为 1，2， 列树状图为： 所有可能情况有 25 种，其中两次摸出的球是一黑一白的结果有 12， 两次摸出的球是一黑一白的概率为= 12 25， 故答案为：12 25 三解答题（共三解答题（共 12 小题，满分小题，满分 68 分）分） 17 （5 分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知
25、：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使 PQl 作法：如图 2， 在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点； 连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q； 作直线 PQ； 所有直线 PQ 就是所求作的直线 第 16 页（共 29 页） 根据小明设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接 PB、QB PAQB， = PBAQPB（ 等弧所对圆周角相等 ） （填推理的依据） PQl（ 内错角相等，两直线平行 ） （填推理的依据） 【解答】
26、解： （1）如图所示： （2）证明：连接 PB、QB PAQB， = PBAQPB（等弧所对圆周角相等） PQl（内错角相等，两直线平行） 故答案为： ，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行 18 （5 分）计算：4cos30+（1）012 +|3 2| 【解答】解：4cos30+（1）012 +|3 2| 4 3 2 +123 +23 23 +333 33 19 （5 分）解一元一次不等式组5 + 5 3 2 1 23 ，并写出它的整数解 【解答】解：5 + 5 3 2 1 23 解不等式，得 x 7 2； 解不等式，得 x 1 5， 第 17 页（共 29 页） 不等式组的解集为 7
27、 2 x 1 5， 则不等式组的整数解是3，2，1，0 20 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根 （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根， 0，即（3）24（a2）0，解得 a 17 4 ； （2）由（1）可知 a 17 4 ， a 的最大整数值为 4， 此时方程为 x23x+20， 解得 x1 或 x2 21 （5 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别为 CD、BC 上两点，AF 平分BAE， EADFEC （1）求证：ABAE； （2）
28、若B90，AF 与 DC 的延长线交于点 H，求证：四边形 ABHE 为菱形； （3）在（2）的条件下，若 DH16，AD8，直接写出 AF 的长为 55 【解答】 （1）证明：AECAEF+FECEAD+D，EADFEC， AEFD， 四边形 ABCD 是平行四边形， BD， BAEF， AF 平分BAE， 第 18 页（共 29 页） BAFEAF， 在ABF 和AEF 中， = = = ， ABFAEF（AAS） ， ABAE； （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， BAFEHA， BAFEAF， EHAEAF， AEHE， ABAE， ABEH， 四边形 ABHE
29、是平行四边形， 又ABAE， 四边形 ABHE 为菱形； （3）解：四边形 ABHE 为菱形， AEBHEH， 设 AEBHEHx， 平行四边形 ABCD 中，B90， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD8，DBCD90， 在 RtADE 中，AD2+DE2AE2，即：82+（16x）2x2， 解得：x10， CH= 2 2= 102 82=6， 同理，DE6， CEEHCH1064， ABCDDE+CE6+410， EADFECEAD+AED90， FEC+AED90， 第 19 页（共 29 页） AEF90， AF 平分BAE， BFEF， 设 BFEFm， 在 RtFCE 中，EF2
30、FC2EC2，即 m242+（8m）2， 解得：m5， AF= 2+ 2= 102+ 52=55； 故答案为：55 22 （6 分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整 理、描述和分析下面给出了部分信息 a甲、乙两校 40 名学生成绩的频数分布统计表如下： 成绩 x 学校 50x60 60x70 70x80 80x90 90x100 甲 4 11 13 10 2 乙 6 3 15 14 2 （说明：成绩 80 分及以上为优秀，7079 分为良好，6069 分为合格，60 分以下
31、为不 合格） b甲校成绩在 70x80 这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78 c甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下： 学校 平均分 中位数 众数 甲 74.2 n 85 乙 73.5 76 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中 n 的值； （2）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属学校排在前 20 名，由表中数据可 知该学生是 甲 校的学生（填“甲”或“乙” ） ，理由是 甲这名学生的成绩为 74 分， 大于甲校样本数据的中位数 72.5 分，小于乙校样本数据的中位数 76 分， ； （3）假设乙校 800 名
32、学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数 第 20 页（共 29 页） 【解答】解： （1）这组数据的中位数是第 20、21 个数据的平均数， 所以中位数 n= 72+73 2 =72.5； （2）甲这名学生的成绩为 74 分，大于甲校样本数据的中位数 72.5 分，小于乙校样本数 据的中位数 76 分， 所以该学生在甲校排在前 20 名，在乙校排在后 20 名，而这名学生在所属学校排在前 20 名，说明这名学生是甲校的学生 故答案为：甲，甲这名学生的成绩为 74 分，大于甲校样本数据的中位数 72.5 分，小于乙 校样本数据的中位数 76 分 （3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为 14
33、+216 假设乙校 800 名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为800 16 40 = 320 23 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+b（k0）与双曲线 y= （m0）相交 于 A，B 两点，点 A 坐标为（3，2） ，点 B 坐标为（n，3） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如果点 P 是 x 轴上一点，且ABP 的面积是 5，求点 P 的坐标 （3）利用函数图象直接写出关于 x 的不等式 kx+b 的解集 【解答】解： （1）双曲线 y= （m0）过点 A（3，2） ， m326， 反比例函数表达式为 y= 6 ， 第 21 页（共 29 页）
34、 点 B（n，3）在反比例函数 y= 6 的图象上， n2， B（2，3） 点 A（3，2）与点 B（2，3）在直线 ykx+b 上， 3 + = 2 2 + = 3解得 = 1 = 1 一次函数表达式为 yx1； （2）如图，在 x 轴上任取一点 P，连接 AP，BP，由（1）知点 B 的坐标是（2，3） 在 yx1 中令 y0，解得 x1，则直线与 x 轴的交点是（1，0） 设点 P 的坐标是（a，0） ABP 的面积是 5， 1 2|a+1| （2+3）5， 则|a+1|2， 解得 a3 或 1 则点 P 的坐标是（3，0）或（1，0） ； （3）关于 x 的不等式 kx+b 的解集是3
35、x0 或 x2 24 （6 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D， C90 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CDB60，AB6，求 的长 【解答】解： （1）相切理由如下： 连接 OD， BD 是ABC 的平分线， CBDABD， 又ODOB， 第 22 页（共 29 页） ODBABD， ODBCBD， ODCB， ODCC90， CD 与O 相切； （2）若CDB60，可得ODB30， AOD60， 又AB6， AO3， = 603 180 = 25 （6 分） （1）初步思考： 如图 1， 在PCB 中， 已知 PB2
36、， BC4， N 为 BC 上一点且 BN1， 试证明： PN= 1 2PC （2）问题提出： 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD+ 1 2PC 的最小值 （3）推广运用： 如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一 个动点，求PD 1 2 PC的最大 值 第 23 页（共 29 页） 【解答】 （1）证明：如图 1， PB2，BC4，BN1， PB24，BNBC4 PB2BNBC = 又BB， BPNBCP = = 1 2 PN= 1 2PC； （2）如图 2，在
37、 BC 上取一点 G，使得 BG1， = 2 1 = 2， = 4 2 = 2#/DEL/# = ， = #/DEL/# #/DEL/# = = 1 2 #/DEL/# = 1 2 #/DEL/# + 1 2 = + #/DEL/# + #/DEL/# 当、共线时， + 1 2 的值最小，#/DEL/# 最小值为 = 42+ 32= 5#/DEL/# 第 24 页（共 29 页） （3）同（2）中证法，如图 3， 取 BG1， 1 2 = 当点 P 在 DG 的延长线上时，PD 1 2PC 的最大值，最大值为 = 37 26 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y4x+4 与 x 轴
38、，y 轴分别交于点 A，B，抛物 线 yax2+bx3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）与 y 轴交点：令 x0 代入直线 y4x+4 得 y4， B（0，4） ， 点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， C（5，4） ； （2）与 x 轴交点：令 y0 代入直线 y4x+4 得 x1， A（1，0） ， 将点 A（1，0）代入抛物线 yax2+bx3a 中得 0ab3a，即 b2a， 抛物线的对称轴 x=
39、2 = 2 2 =1； （3）抛物线 yax2+bx3a 经过点 A（1，0）且对称轴 x1， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0） ， a0 时，如图 1， 将 x0 代入抛物线得 y3a， 抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， 3a4， a 4 3， 将 x5 代入抛物线得 y12a， 第 25 页（共 29 页） 12a4， a 1 3， a 1 3； a0 时，如图 2， 将 x0 代入抛物线得 y3a， 抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， 3a4， a 4 3； 当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4） ，如图 3， 将点（1，4）代入抛物线得 4
40、a2a3a， 解得 a1 综上所述，a 1 3或 a 4 3或 a1 第 26 页（共 29 页） 27 （7 分）如图 1，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上一点，连接 AD，并将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AE，连接 CE （1）求证：ADBAEC； （2）如图 2，当点 D 为 BC 中点时，连接 DE 交 AC 于点 F，直接写出长度等于23CF 的所有线段 【解答】证明： （1）ABC 是等边三角形 ABAC，BACABC60 将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60得到 AE ADAE，DAE60BAC BADCAE，且 ABAC，ADAE BADCAE（
41、SAS） ADBAEC （2）ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 中点 BADCAD30，ADBC ADAE，DAE60 ADE 是等边三角形 ADAEDE BADCAE 第 27 页（共 29 页） BADCAE30，CDCE，ACDABCACE60 CDCE，ADAE ACDE，且ACD60 DF= 3CF，且 ACDE，DAC30 AD23CFAEDE 28 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，8） ，B（6，0） ，C（0，3） ，点 D 从点 A 运动到点 B 停止，连接 CD，以 CD 长为直径作P （1）若ACDAOB，求P 的半径； （2）当P 与 AB
42、相切时，求POB 的面积； （3）连接 AP、BP，在整个运动过程中，PAB 的面积是否为定值，如果是，请直接写 出面积的定值，如果不是，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1， A（0，8） ，B（6，0） ，C（0，3） ， OA8，OB6，OC3， AC5， ACDAOB， = ， 5 8 = 6 CD 的= 15 4 ， 第 28 页（共 29 页） P 的半径为15 8 ； （2）在 RtAOB 中，OA8，OB6， = 2+ 2= 82+ 62=10， 如图 2，当P 与 AB 相切时，CDAB， ADCAOB90，CADBAO， ACDABO， = = ， 即 5 10 = 8 = 6 ， AD4，CD3， CD 为P 的直径， CP= 1 2 = 3 2， 过点 P 作 PEAO 于点 E， PECADC90，PCEACD， CPECAD， = ， 即 3 2 5 = 3 ， = 9 10， = + = 9 10 + 3 = 39 10， POB 的面积= 1 2 = 1 2
