1、4.4解三角形高考理数（课标专用）高考理数（课标专用）【精品PPT】2020年高考数学复习专题讲座课件 考向基础考向基础 正弦定理余弦定理内容=2R(R为ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2+b2-2abcos C 变形形式(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A=,sin B=,sin C=;(3)a b c=sin A sin B sin C ;(4)=2R cos A=;cos B=;cos C=解决的问题(1)已知两角和任意一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角 ,
2、求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角 ,求第三边和其他两个角aAsinbBsincCsina2Rb2Rc2RabcABCsinsinsinaAsin222bca2bc222cab2ca222abc2ab考点一考点一 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理考点考点清单清单例例1 (2018课标,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4 B.C.D.2 2C55230295考向一考向一 利用正弦、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理解三角形考向突破考向突破解析解析cos=,cos C=2cos2-1=2-1=-,又BC=1,AC=5,AB=
3、4.故选A.2C552C1535222cosBCACBC ACC31252 1 55 2答案答案 A例例2 (2018四川绵阳模拟,17,12分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.考向二考向二 判断三角形的形状判断三角形的形状解析解析(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,所以bc=-2bccos A,即cos A=-.由于A为三角形
4、的内角,所以A=.(2)已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2=.又由sin B+sin C=1,12232334得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,解得sin B=sin C=,因为0B,0C,0B+CA=Ab一解一解一解a=b无解无解一解absin A两解a=bsin A一解absin A无解222例例1 (2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别
5、为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.2B解题导引解题导引 (1)(2)解析解析(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,结合sin2B=1-cos2B,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.
6、2B151715178171241717217215117方法方法2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状利用正弦、余弦定理判断三角形的形状要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径:(1)化角为边:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化边为角:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用“ABC中,A+B+C=”这个结论.注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否
7、则会有漏掉一种形状的可能.例例2 (2018山西太原五中模拟,8)在ABC中,=sin2(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2cac2B解题导引解题导引 解析解析由cos B=1-2sin2得sin2=,=,即cos B=.解法一:由余弦定理得=,即a2+c2-b2=2a2,a2+b2=c2.ABC为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等,故选A.解法二:由正弦定理得cos B=,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,cos Bsin C=sin Bcos C+
8、cos Bsin C,即sin Bcos C=0,又sin B0,cos C=0,又角C为三角形的内角,C=,ABC为直角三角形,又无法判断两直角边是否相等,故选A.2B2B1 cos2B2cac1 cos2Bac2222acbacacsinsinAC2答案答案 A方法方法3 与面积、范围有关的问题与面积、范围有关的问题1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形面积;二是给出三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形面积公式S=absin C,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解.2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利
9、用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.12例例3 (2018河南信阳二模,17)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sin C-sin A)=bsin C.(1)求角A的大小;(2)设a=,S为ABC的面积,求S+cos Bcos C的最大值.33解题导引解题导引 (1)(2)解析解析(1)(a+b+c)(sin B+sin C-sin A)=bsin C,根据正弦定理,知(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cos A=-.又A(0,),所以A=.(2)根据a=,A=及正弦定理可得=2,b=2sin B,c=2sin C.S=bcsin A=2sin B2sin C=sin Bsin C.S+cos Bcos C=sin Bsin C+cos Bcos C=cos(B-C).2222bcabc1223323sinbBsincCsinaA33212123233333故当即B=C=时,S+cos Bcos C取得最大值.,3BCBC633
