1、专题六统计与概率6.1排列、组合、二项式定理 小题组合练-3-1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成,那么要用分类加法计数原理将方法种数相加;如果需要通过若干步才能将规定的事件完成,那么要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2.排列与组合-4-3.解排列、组合应用问题的常见方法(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.(4)一般地,相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插空法.-5-4.二项式定理-6-一、选择题
2、二、填空题1.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,理10)将数字“124 467”重新排列后得到不同的偶数个数为(D )A.72B.120 C.192D.240-7-一、选择题二、填空题2.(2017辽宁鞍山一模,理3)若(x2+m)的展开式中x4的系数为30,则m的值为(B )故选B.-8-一、选择题二、填空题3.(2017湖南永州二模,理4)四名大学生分到两个单位,每个单位至少分一名的分配方案有(B )A.10种 B.14种C.20种D.24种解析:根据题意,假设两个单位为甲单位和乙单位,分3种情况讨论:(1)甲单位1人,而乙单位3人,在4人中任选1个安排在甲单位,剩法.则一共有4+6+
3、4=14种分配方案.故选B.-9-一、选择题二、填空题4.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B )A.24B.18C.12 D.9解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.-10-一、选择题二、填空题5.(2017全国,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(C )A.-80B.-40 C.40 D.80故展开式中x3y3的系数为80-40=40.6.(2017河北武邑中
4、学一模,理10)甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(C )A.258B.306C.336D.296-11-一、选择题二、填空题7.(2017全国,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(D )A.12种 B.18种C.24种D.36种-12-一、选择题二、填空题-13-一、选择题二、填空题9.(2017河北武邑中学一模,理6)甲、乙和其他4名同学合影留念,站成两排三列,且甲、乙两人不在同一排也不在同一列,则这6名同学的站队方法有(C )A.144种 B.180种 C.
5、288种 D.360种10.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(C )A.10B.20C.30 D.60解析:由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为-14-一、选择题二、填空题11.(2017山西实验中学模拟,理5)九九重阳节期间,学校准备举行慰问退休老教师晚会,学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目,其中歌曲有2个节目,小品有2个节目,相声有1个节目,要求相邻的节目艺术形式不能相同,则不同的编排种数为(C )A.96B.72C.48D.24解析:第一类,先选择一个小品插入到2个歌曲之间,另一个小品放在歌曲的两边,这时形成了5个空,将相声插入其中
6、一个,故有-15-一、选择题二、填空题12.定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有(C )A.18个 B.16个C.14个D.12个-16-一、选择题二、填空题解析:由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.-17-一、选择题二、填空题13.(2017辽宁大连一模,理13)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有48种不同的分法.(用数字作答)解析:甲、
7、乙分得的电影票连号,有42=8种情况,其余3人,有 故共有86=48种不同的分法.故答案为48.14.(2017浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=16,a5=4.r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=1322=4.-18-一、选择题二、填空题15.(2017天津,理14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有1 080个.(用数字作答)所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.-19-一、选择题二
8、、填空题16.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=3.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为4a+4a+1+6+1=32,a=3.解析二 设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5),即8(a+1)=32,解得a=3.6.2统计与概率小题专项练-21-1.抽样方法与频率分布直方图(1)系统抽样又称“等距”抽样,被抽到的各个号码间隔相同.(2)当
9、总体由差异明显的几部分组成时,适用于分层抽样.(4)在频率分布直方图中,小长方形的面积等于频率,各小长方形的面积的总和等于1.2.方差与标准差-22-3.古典概型与几何概型的概率 4.线性回归方程 5.随机变量 6.条件概率-23-24-一、选择题二、填空题1.为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(C )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分
10、层抽样.2.(2017辽宁大连一模,理8)将一枚硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于 ,则n的最小值为(A )A.4 B.5C.6 D.7-25-一、选择题二、填空题3.(2017全国,理2)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(B )-26-一、选择题二、填空题解析:不妨设正方形边长为2,则圆半径为1,正方形的面积为22=4,圆的面积为12=.由图形的对称性,可知图中黑色部分的面积为-27-一、选择题二、填空题4.某公司的班车在7:30,8:00,8:
11、30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(B )解析:这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段:7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=,故选B.-28-一、选择题二、填空题5.在正方体的8个顶点中任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为(C )解析:正方体的8个顶点中任选3个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上,在每一个面上能组成等腰直角三角形的有4个,所以共有46=24个,
12、而在8个顶点中选3个顶-29-一、选择题二、填空题6.(2017浙江,8)已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0p1p2 ,则(A )A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)解析:E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2).D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)0,故选A.-30-一、选择题二、填空题7.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是
13、17.5,30,样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(D )A.56B.60C.120D.140-31-一、选择题二、填空题解析:由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)2.5=0.7,故该区间内的人数为2000.7=140.故选D.-32-一、选择题二、填空题8.(2017山东,理5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点
14、图估计其身高为(C )A.160B.163 C.166D.170-33-一、选择题二、填空题9.从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(C )-34-一、选择题二、填空题10.(2017河北武邑中学一模,理10)在区间-,内随机取两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+2有零点的概率为(B )解析:若f(x)有零点,则=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22,以a为横轴,b为纵轴,则(a,b)构成以原点为中心,
15、边长为2的正方形(边与坐标轴平行),面积为S=(2)2=42,满足a2+b22的区域是圆a2+b2=2-35-一、选择题二、填空题11.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是(A )A.0.8B.0.75 C.0.6 D.0.45解析:设某天空气质量优良为事件A,随后一天空气质量优良为事件B,由已知得P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所求事件的概率为-36-一、选择题二、填空题12.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,理6)在区间1,e上任取实数a,在区间0,2上任取实
16、数b,使函数f(x)=ax2+x+b有两个相异零点的概率是(A )-37-一、选择题二、填空题在1,e上任取实数a,在0,2上任取实数b,这是一个几何概型,所有的实验结果=(a,b)|1ae,且0b2,对应面积为2(e-1),-38-一、选择题二、填空题13.(2017全国,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=1.96.解析:由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96.14.(2017江苏,
17、3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.-39-一、选择题二、填空题15.(2017江苏,7)记函数f(x)=的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是 .解析:由6+x-x20,即x2-x-60得-2x3,所以D=-2,3-4,5,-40-一、选择题二、填空题16.(2017辽宁鞍山一模,理14)现在要安排6名大学生到工厂去做3项不同的实习工作,每项工作需要2人,则甲、乙二人必须做同一项工作,而丙、丁二人不能做同一项
18、工作的概率为 .6.3统计与概率大题-42-43-44-45-46-47-1.统计图表(1)在频率分布直方图中:各小矩形的面积表示相应各组的频率,各小矩形的高=;各小矩形面积之和等于1.(2)茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数;当数据是三位数,前两位相对比较集中时,常以前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推).-48-2.样本的数字特征(1)众数:是指出现次数最多的数,体现在频率分布直方图中,是指高度最高的小矩形的宽的中点的横坐标;(2)中位数是指从左往右小矩形的面积之和为0.5处的横坐标;(5)平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描述了一组数据围
19、绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定.-49-3.变量间的相关关系(1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那么我们说变量x和y具有线性相关关系.(2)线性回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据相关;当r0时,表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量相关性越强;当|r|接近0时,表明两个变量几乎不存在相关性.-50-4.独立性检验对于取值分别是x1,x2和y1,y2的分类变量X和Y,其样本频数列联表是:-51-5.概率的基本性质及常见概率的计算(1)随机事件的概率:0P(A)1;必然事件的概率是1;不可能事件的概率是0.(2
20、)若事件A,B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B).(3)若事件A,B对立,则P(AB)=P(A)+P(B)=1.(4)两种常见的概率模型古典概型的特点:有限性,等可能性;几何概型的特点:无限性,等可能性;-52-(6)相互独立事件同时发生的概率:P(AB)=P(A)P(B).(7)超几何分布中的概率:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.6.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=pkqn-k,其中0p6.635,
21、故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为-65-考向一考向二解题心得有关独立性检验的问题解题步骤:(1)作出22列联表;(2)计算随机变量K2的值;(3)查临界值,检验作答.考向三-66-考向一考向二对点训练对点训练2(2017辽宁沈阳三模,理18)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用
22、户满意度评分的样本,并绘制出如图茎叶图.(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求计算出具体值,给出结论即可);考向三-67-考向一考向二(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成下面22列联表,并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;(3)若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人,则在此2人中恰有1人认可的条件下,此人来自B城市的概率是多少?考向三-68-考向一考向二解(1)A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值;A城市评分的方差大于B城市评分的方差.(2)22列
23、联表如下.所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.考向三-69-考向一考向二(3)设事件M:恰有1人认可;事件N:此人来自B城市;事件M包含的基本事件数为510+1510=200,事件MN包含的基本事件数为1510=150,考向三-70-考向一考向二考向三依据统计数据求事件发生的概率依据统计数据求事件发生的概率例3某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:73836251914653736482934865817456547
24、66579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);-71-考向一考向二考向三(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.-72-考向一考向二考向三解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评
25、分比较分散.(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,-73-考向一考向二考向三则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).-74-考向一考向二考向三解题心得1.直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件
26、或几个相互独立事件同时发生的事件或一独立重复试验问题,然后用相应概率公式求解.2.间接法:当复杂事件正面情况比较多,反面情况比较少,则可利用其对立事件进行求解,即“正难则反”.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.-75-考向一考向二考向三对点训练对点训练3A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;-76-考向一
27、考向二考向三(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中数据的平均数记为0,试判断0和1的大小.(结论不要求证明)解(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100 =40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2,8.-77-考向一考向二考向三设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1A1C2A2C1A2C2A2
28、C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15 .(3)10.6.3.2随机变量及其分布-79-离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列(多维探究多维探究)题型1相互独立事件、互斥事件的概率及分布列例1(2017天津,理16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇
29、到红灯的概率分别为 .(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.-80-解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为-81-(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)解题心得字母表示事件法:使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不会有遗漏,也不会重复.-82-对点
30、训练对点训练1在某娱乐节目的一期比赛中,有6位歌手(1号至6号)登台演出,由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的歌手,各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人,其中媒体甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,另在2号至6号中随机地选2名;媒体乙不欣赏2号歌手,他必不选2号;媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号歌手中随机地选出3名.(1)求媒体甲选中3号,且媒体乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.-83-解 设事件A表示“媒体甲选中3号歌手”,事件B表示“媒体乙选中3号歌手”,事件C表示“媒体丙选中3号歌手”.媒体甲选中3号,且
31、媒体乙未选中3号歌手的概率为-84-故X的分布列为-85-题型2古典概型的概率及其分布列例2(2017山东,理18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分
32、布列与数学期望E(X).-86-解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,因此X的分布列为-87-X的数学期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)-88-对点训练对点训练2(2017北京,理17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“”表示服药者,“+”表示未服药者.-89-(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选
33、出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为 =0.3.(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.-90-所以的分布列为(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.-91-题型3条件概率与其分布列的综合例3某险种的基本保费为a(单位:元),继续
34、购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.-92-解(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0
35、.15.又P(AB)=P(B),(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为-93-E(X)=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.解题心得在P(A|B)中,事件A,B的发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.-94-对点训练对点训练3某市环保知识竞赛由甲、乙两支代表队进行总决赛,每队各有3名队员,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错或者不答都得0分.已知甲队3人答对的概率分别为 ,乙队每人答对的概率都是 ,设每人回答正确与
36、否相互之间没有影响,用表示甲队总得分.(1)求随机变量的分布列及其数学期望E();(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.-95-解(1)由题设知的可能取值为0,1,2,3,所以的分布列为-96-(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B,则-97-题型4二项分布例4(2017辽宁鞍山一模,理19)上周某校高三年级学生参加了数学测试,年级部组织任课教师对这次考试成绩进行分析.现从中抽取80名学生的数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.-98-(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数;(2)假设抽出学生的数学成绩在90,100段各不
37、相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数字中任意抽取2个数,有放回地抽取3次,记这3次抽取中恰好有2名学生的数学成绩的次数为X,求X的分布列和期望.解(1)估计平均分为0.0545+0.1555+0.265+0.375+0.2585+0.0595=72(分).众数的估计值是75分.-99-(2)数学成绩在90,100段的人数为800.05=4,设每次抽取的2个数恰好是2名学生的成绩的概率为p,X的分布列为-100-解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式
38、P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提高运算速度和准确度.-101-对点训练对点训练4某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次,在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进球得0分,得分高的选手胜出.已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是 .(1)如果该选手以在A,B区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准,问该选手应该选择哪个区投篮?请说明理由;(2)求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率
39、.所以该选手应该选择在A区投篮.-102-(2)设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C,“该选手在A区投篮得4分,且在B区投篮得3分或0分”为事件D,“该选手在A区投篮得2分,且在B区投篮得0分”为事件E,则事件C=DE,且事件D与事件E互斥.-103-题型5超几何分布例5(2017辽宁大连一模,理18)某手机厂商推出一款智能手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:-104-(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);(2)根据评分的不同,采用分层抽样从男性
40、用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.-105-解(1)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如图所示.女性用户 男性用户由图可得女性用户的波动大,男性用户的波动小.故女性用户评分的方差比男性用户评分的方差大.-106-(2)运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分有6人,其中评分小于90分的人数为4,从6人中任取3人,记评分小于90分的人数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,所以X的分布列为-107-解题心得超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,
41、则P(X=k)=,k=0,1,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.-108-对点训练对点训练5甲、乙两人参加普法知识竞赛,共设有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个.(1)若甲、乙二人依次各抽一题,计算:甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是多少?甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?(2)若甲从中随机抽取5个题目,其中判断题的个数为,求的分布列和期望.解(1)甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率为-109-(2)的所有可能取值为0,1,2,3,4,所以的分布列为-110-样本的均值、方差与正态分布的综合样本的均值、方差与正态分布的综合例6(2017全国,理19改编
42、)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:-111-其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i
43、=1,2,16.附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),-112-解(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.997 3,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的数学期望为E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天
44、的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.-113-114-解题心得解决正态分布有关的问题,在理解,2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线,很多问题都是利用图象的对称性解决的.-115-对点训练对点训练6从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).-116-(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数 ,2近似为样本
45、方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用的结果,求E(X).附:12.2.若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5.-117-解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)0.682 7.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,依题意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.27.
