1、一、一次函数的实际应用1.(2018保定竞秀一模,24)从2017年1月1日起,我国驾驶证考试正式实施新的驾考培训模式,新规规定C2驾驶证的培训学时为60学时.驾校的学费标准分不同时段,普通时段a元/学时,高峰时段和节假日时段都为b元/学时.(1)小明和小华都在此驾校参加了C2驾驶证的培训,下表是小明和小华的培训结算表(培训学时均为40).请你根据提供的信息,计算出a,b的值;学员培训时段培训学时培训总费用小明普通时段206 000元高峰时段5节假日时段15小华普通时段305 400元高峰时段2节假日时段81(2)小陈报名参加了C2驾驶证的培训,并且计划学够全部基本学时,但为了不耽误工作,普通
2、时段的培训学时不会超过其他两个时段总学时的,若小陈普通时段培训了x学时,培训总费用为y元.求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;小陈如何选择培训时段,才能使得本次培训的总费用最低?122解析解析 (1)由题意得解得(2)y=120 x+180(60-x)=-60 x+10 800.由题意得,x(60-x),且x0,解得0 x20.因为在y=-60 x+10 800(0 x20)中,-600).当y=3时,x=1,由函数图象可知当y3时,x的取值范围是0 x1.(2)圆圆的说法不对,方方的说法对,理由如下:设矩形的周长为l,相邻两边长分别为x,l-x,则x=3,即2x2-lx+6=
3、0,则=l2-48,当l=6时,=-120,3x3x1212lx8此时,矩形的相邻两边长分别为,.所以存在面积为3,周长为10的矩形,所以方方的说法对.5132513292.(2017唐山路北三模,24)教室内的饮水机接通电源进入自动程序,开机加热时每分钟上升10,加热到100,停止加热,水温开始下降,此时水温y()与开机后用时x(分钟)成反比例关系.直至水温降至30,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.水温为30 时,接通电源后,水温y()和时间x(分钟)的关系如图.(1)a=;(2)直接写出图中y关于x的函数关系式;(3)饮水机有多少时间能使水温保持在70 及以上?(4
4、)若饮水机早上已加满水,开机温度是20,为了使8:40下课时水温达到70,并节约能源,直接写出当它上午什么时间接通电源比较合适.10解析解析 (1)由题意可得a=(100-30)10=7010=7.(2)y=详解:当0 x7时,设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k0),解得即当0 x7时,y关于x的函数关系式为y=10 x+30,当x7时,设y=(a0),则有100=,解得a=700,即当x7时,y关于x的函数关系式为y=,当y=30时,x=,y 与x 的函数关系式为y=1030(07),700707.3xxxx30,7100,bkb10,30,kbax7a700 x7031030(07)
5、,700707.3xxxx11(3)将y=70代入y=10 x+30,得x=4,将y=70代入y=,得x=10,10-4=6,饮水机有6分钟能使水温保持在70 及以上.(4)由题意可得,6+(70-20)10=11(分钟),40-11=29,即8:29开机接通电源比较合适.700 x12三、二次函数的实际应用三、二次函数的实际应用1.(2019秦皇岛海港一模改编)某批发部某一玩具价格如图所示,现有甲、乙两个商店,计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具,两商店所需玩具总数为120个,乙商店所需数量不超过50个,设甲商店购买x个,如果甲、乙两商店分别购买玩具,两商店需付款总和为y元.(1)求
6、y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)若甲商店购买不超过100个,请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱;(3)“六一”儿童节之后,该批发部对此玩具价格作了如下调整:数量不超过100个时,价格不变,数量超过100个时,每个玩具降价a元,在(2)的条件下,若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具,最多可节约2 800元,求a的值.13解析解析 (1)由题图可知,当50 x100时,设玩具的单价为m元,单价与数量的关系式为m=kx+b(k0),由题意得解得m=-x+100.乙商店所需数量不超过50个,120-x50,x70,70 x120.当70 x100时,y=x
7、+80(120-x)=-x2+20 x+9 600.当1000,抛物线的顶点为最低点,y=x2-x+3=(x-4)2+,绳子最低点离地面的距离为米.(2)由(1)可知,BD=8,令x=0,得y=3,A(0,3),C(8,3).由题意得,抛物线F1的顶点坐标为(2,1.8).设F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8(a0),将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3,抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8.当x=3时,y=0.31+1.8=2.1,MN的长度为2.1米.(3)MN=CD=3,根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上,抛物线F2的顶点坐标为
8、,11011045110757514,2mk20抛物线F2的解析式为y=+k.把(8,3)代入,得+k=3,k=-+3,k=-(m-8)2+3,k是关于m的二次函数.又m8,k随m的增大而增大.当k=2时,-(m-8)2+3=2,解得m1=4,m2=12(不符合题意,舍去).当k=2.5时,-(m-8)2+3=2.5,解得m1=8-2,m2=8+2(不符合题意,舍去).142142xm142142m142142m11611611622m的取值范围是4m8-2.221一、一次函数的实际应用1.(2019云南,22,9分)某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为
9、6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示:(1)求y与x的函数解析式(也称关系式);(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值.教师专用题组22解析解析 (1)当6x10时,由题意设y=kx+b(k0),它的图象经过点(6,1 000)与点(10,200),解得即y=-200 x+2 200.(2分)当10 x12时,y=200.故y与x的函数解析式为y=(4分)温馨提示:y与x的函数解析式写为y=与y=都是正确的.(2)当6x10时,y=-200 x+2 200,W=(x-6)y=(x-6)
10、(-200 x+2 200)=-200+1 250.-2000,6x10,当x=时,W最大,且W的最大值为1 250.(6分)当100,W=200 x-1 200随着x的增大而增大.又101 200,W的最大值为1 250.答:这一天销售西瓜获得的利润的最大值为1 250元.(9分)242.(2018陕西,21,7分)经过一年多的精准帮扶,小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国.小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表:根据上表提供的信息,解答下列问题:(1)已知今年前五个月,小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3 000 kg,获得利润4.2万元,求这前五
11、个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋;(2)根据之前的销售情况,估计今年6月到10月这后五个月,小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2 000 kg,其中,这种规格的红枣的销售量不低于600 kg.假设这后五个月,销售这种规格的红枣为x(kg),销售商品红枣小米规格1 kg/袋2 kg/袋成本(元/袋)4038售价(元/袋)605425这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(元),求出y与x之间的函数关系式,并求这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元.26解析解析 (1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,则销售这种规格的小米 袋,根据题意,得(60
12、-40)m+(54-38)=42 000,解得m=1 500.这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1 500袋.(3分)(2)根据题意,得y=(60-40)x+(54-38)=12x+16 000.y与x之间的函数关系式为y=12x+16 000.(5分)120,y的值随x值的增大而增大.x600,当x=600时,y最小,为12600+16 000=23 200.这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润为23 200元.(7分)3 0002m3 0002m2 0002x27思路分析思路分析 (1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋,根据“销售题表中规格的红枣和小
13、米共3 000 kg,获得利润4.2万元”列出方程求解即可;(2)这后五个月,销售这种规格的红枣为x(kg),列出y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性及x的取值范围求出最值.解题关键解题关键 本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,确定自变量的取值范围,列出函数关系式是解题的关键.283.(2015张家口二模,26)王老师想骑摩托车送甲、乙两位同学去会场参加演出,由于摩托车后座只能坐1人,为了节约时间,王老师骑摩托车先带乙出发,同时,甲步行出发,已知甲、乙的步行速度都是5 km/h,摩托车的速度是45 km/h.预设方案:(1)方案1:王老师将乙送到会场后回去接甲,再将甲送到会场.图1
14、中折线ABBCCD和折线ACCD分别表示王老师、甲在上述过程中离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系.学校与会场的距离为 km;求出点C的坐标,并说明它的实际意义.图129(2)方案2:王老师骑摩托车行驶a小时后,将乙放下,让乙步行去会场,同时王老师回去接甲并将甲送到会场,图2中折线ABBCCD、折线ACCD和折线ABBE分别表示王老师、甲、乙在上述过程中离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系,求a的值;图2(3)你能否设计一个方案,使甲、乙两位同学能在最短的时间内都赶到会场?请你直接写出这个最短时间,并在图3中画出这个设计的大致图象.(不需要写出具
15、体的方案设计)图330解析解析 (1)由题图1知学校与会场的距离为15 km.设王老师把乙送到会场后,再经过m小时与甲相遇,根据题意得(45+5)m=15-5,解得m=,王老师与甲相遇时,王老师行驶的时间为+=(h),甲离会场的路程为15-5=12(km),C.C的实际意义:甲出发 h后与送乙去会场回来的王老师相遇,此时离会场12 km.(2)设王老师把乙放下后,再经过n小时与甲相遇.根据题意,得(45+5)n=45a-5a,解得n=a,由于王老师骑摩托车一共行驶了 h,134151341535353,1253,12535455631可得方程15-5=45,解得a=.(3)最短时间为 h,这个
16、设计方案的大致图象如下.折线ABBCCD、ACCD、ABBD分别表示王老师、甲、乙离会场的距离y(km)与王老师所用时间x(h)之间的函数关系.45aa5465aa5167932二、反比例函数的实际应用二、反比例函数的实际应用1.(2017石家庄裕华一模,23)小明家饮水机中原有水的温度为20,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y()与开机时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100 时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温y()与开机时间x(分)成反比例关系),当水温降至20 时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)当0
17、x8时,求水温y()与开机时间x(分)的函数关系式;(2)求图中t的值;(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家时,饮水机内水的温度约为多少.33解析解析 (1)当0 x8时,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系为y=kx+b,依据题意,得解得故此函数解析式为y=10 x+20.(2)在水温下降过程中,设水温y()与开机时间x(分)的函数关系式为y=,依据题意,得100=,即m=800,故y=,当y=20时,20=,解得t=40.(3)45-40=58,当x=5时,y=105+20=70.答:小明散步45分钟回到家时,饮水机内水的温度约为70.20,8100,bk
18、b10,20kbmx8m800 x800t342.(2018山东济宁,21,9分)知识背景当a0且x0时,因为0,所以x-2+0,从而x+2(当x=时取等号).设函数y=x+(a0,x0),由上述结论可知,当x=时,该函数有最小值,最小值为2.应用举例已知函数y1=x(x0)与函数y2=(x0),则当x=2时,y1+y2=x+有最小值,最小值为2=4.解决问题(1)已知函数y1=x+3(x-3)与函数y2=(x+3)2+9(x-3),当x取何值时,有最小值?最小值是多少?(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设
19、备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使用成本最低?最低是多少元?2axxaaxaxaaaxaa4x44x421yy35解析解析 (1)x-3,x+30,=(x+3)+2,即6.令x+3=,解得x=0或-6(舍去),当x=0时,有最小值,最小值是6.(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元.根据题意,得w=+0.001x+200,w=0.001+200.x0,w0.0012+200,即w201.4.令=x得x=700或-700(舍去),当x=700时,w有最小值,w的最小值为201.4元.21yy2(
20、3)93xx93x9(3)3xx21yy93x21yy24902000.001xxx490 x490 000 xx490 000 xx490 000 x36三、二次函数的实际应用三、二次函数的实际应用1.(2018湖北黄冈,23,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系式为y=每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表:4(18,),20(912,),xxxxxx 为整数为整数x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式;(2)若
21、月利润w(万元)=当月销售量y(元件)当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式;(3)当x为何值时,月利润w有最大值?最大值为多少?37解析解析 (1)根据表格可知,当1x10且x为整数时,z=-x+20;当11x12且x为整数时,z=10.z与x的关系式为z=或z=(2)当1x8且x为整数时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80;当9x10且x为整数时,w=(-x+20)(-x+20)=x2-40 x+400;当11x12且x为整数时,w=10(-x+20)=-10 x+200,w与x的关系式为w=或w=20(110,),10(1112,).xxxx
22、x 为整数为整数20(19,),10(1012,)xxxxx 为整数为整数221680(18,),40400(910,),10200(1112,).xxxxxxxxxxx为整数为整数为整数221680(18,),40400121(9),10200(1012,)xxxxxxxxxx为整数为整数38(3)当1x8且x为整数时,w=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,当x=8时,w有最大值,为144;当9x10且x为整数时,w=x2-40 x+400=(x-20)2,当x=9时,w有最大值,为121;当11x12且x为整数时,w=-10 x+200,当x=11时,w有最大值,为90.901
23、21144,当x=8时,w有最大值,为144.(或当1x8且x为整数时,w有最大值144;当x=9时,w=121;当x=10时,w=100;当x=11时,w=90;当x=12时,w=80,当x=8时,有最大值,为144)392.(2017湖北随州,23,10分)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.(1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)
24、之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大;时间x(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格 销量(斤)80-3x120-x储存和损耗费用(元)40+3x3x2-64x+400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?40解析解析 (1)设该种水果每次降价的百分率是x,由题意得10(1-x)2=8.1,解得x=10%或x=190%(舍去).答:该种水果每次降价的百分率是10%.(2)当1x9时,第1次降价后的价格为10(1-10%)=9元/斤,y=(9-4.1)(80-3
25、x)-(40+3x)=-17.7x+352,-17.70,y 随x的增大而减小,当x=1时,y有最大值,ymax=-17.71+352=334.3(元),当9x15时,第2次降价后的价格为8.1 元/斤,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60 x+80=-3(x-10)2+380,-30,当9x10 时,y随x的增大而增大,当10 x15时,y随x的增大而减小,当x=10时,y有最大值,ymax=380(元),41综上所述,y 与x(1x15)之间的函数关系式为y=第10天时销售利润最大.(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元,由题意得380-
26、127.5(8.1-4.1-a)(120-15)-(3152-6415+400),即252.5105(4-a)-115,解得a0.5.答:第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.217.7352(19),36080(915),xxxxx思路分析思路分析 (1)设百分率是x,根据某商品原价为10元,由于各种原因连续两次降价,降价后的价格为8.1元,可列方程求解;(2)根据两个取值先计算:当1x9时和9x15时的销售单价,由“利润=(售价-进价)销量-费用”列函数关系式,并根据增减性求最大值,作对比得解;(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元,根据第15天的利润比(2)中最大利润最
27、多少127.5元,列不等式可得结论.423.(2017保定二模,25)进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P(元)与时间x(天)的关系如下表:已知每天生产的空调数量y(台)与时间x(天)近似满足函数关系y=2x+16,每台空调的出售价格为1 400元.请解答下列问题:(1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的函数关系式;(2)该厂哪一天获得最大利润?最大利润是多少?(3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1.现计划从第13天开始,按每台成本P1元,每天生产
28、y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,时间x(天)每台空调的成本P(元)0 x5P=4005x12P=40 x+200使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值.43解析解析 (1)当0 x5时,W=y(1 400-P)=(2x+16)(1 400-400)=2 000 x+16 000;当5x12时,W=y(1 400-P)=(2x+16)1 400-(40 x+200)=-80 x2+1 760 x+19 200.(2)当00,W随x的增大而增大,当x=5时,W有最大值26 000;当5x12时,W=-80 x2+1 760 x+19 200=-80(x-11)2+28 880,当x=11时,W有最大值28 880.综上,第11天的利润最大,最大利润是28 880元.(3)y1=211+16=38,P1=4011+200=640,由题意得1 400-640(1+a%)3810=28 8808,解得a=23.75,a的值为23.75.44思路分析思路分析 (1)分0 x5、5x12两种情况,根据“总利润=单件利润销售量”列出函数解析式;(2)结合x的范围,分别根据一次函数和二次函数的增减性求解可得最大利润;(3)先根据题意求得y1、P1,再由“厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平”列方程得解.45
