1、高考中的轨迹问题（高考中的轨迹问题（1）扬州一中扬州一中 曹阳曹阳 求曲线的方程是解析几何的基本内容，求曲线的方程是解析几何的基本内容，常用方法有：定义法、待定系数法、直接法常用方法有：定义法、待定系数法、直接法（直译法）、代入法、参数法，必须理解各（直译法）、代入法、参数法，必须理解各种方法在什么情况下使用，种方法在什么情况下使用，在解题时考虑顺在解题时考虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序。序使用往往是寻求解题方法的思维程序。1 1、定义法及待定系数法、定义法及待定系数法 若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的若动点的轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，定义
2、，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程。则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程。例例1 1、已知线段已知线段 长为长为2 2，其端点，其端点 、分别分别在在 轴、轴、轴上滑动，试求轴上滑动，试求 中点的轨迹方中点的轨迹方程。程。ABABxyAB例例2 2、已知直角坐标平面上点已知直角坐标平面上点 和圆和圆 ，动点，动点 到圆到圆 的切线长与的切线长与 的比等于常数的比等于常数 ，求动点，求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。2,0Q22:1C xyMCMQ0 M分析：运用求曲线方程的一般方法解决问题，分析：运用求曲线方程的一
3、般方法解决问题，其间步骤可适当简化。其间步骤可适当简化。解：设 ，,M x y 切点设为切点设为 ，则，则 ，即即 ，NMNMQ2222MOrMQ 将将 代入，有代入，有,M x y22222212xyxy 整理得整理得2222214140 xyx当时当时 ，方程为，方程为 ，为一直线；，为一直线；154x 当时当时 ，方程为，方程为 ，为一个圆。，为一个圆。1222222221311xy点评：本例中的点评：本例中的 是一待定的正常数，因此是一待定的正常数，因此在说明曲线时，一定要展开必要的讨论。在说明曲线时，一定要展开必要的讨论。2 2、直接法（直译法）、直接法（直译法）若动点轨迹的几何特征
4、，可直接通过动点若动点轨迹的几何特征，可直接通过动点的坐标间的代数关系表示出来，这类轨迹的的坐标间的代数关系表示出来，这类轨迹的方程可用直接法（直译法）求解。方程可用直接法（直译法）求解。直接法求轨迹方程的五个步骤为：直接法求轨迹方程的五个步骤为：,x y（1 1）设点：建立适当的坐标系，用）设点：建立适当的坐标系，用 表表示曲线上任一点示曲线上任一点 的坐标；的坐标；MMp（2 2）列式：写出适合条件）列式：写出适合条件 的点的点 的集合的集合 ；PM p Mp M（3 3）代换：用坐标表示）代换：用坐标表示 ，列出方程，列出方程 ；,0F x y（5 5）证明：证明化简后的方程的解为坐标）
5、证明：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。的点都是曲线上的点。（4 4）化简：化方程）化简：化方程 为最简形式；为最简形式；,0F x y 例例3 3、一圆被两直线、一圆被两直线x+2y=0 x+2y=0，x-2y=0 x-2y=0截得截得的弦长分别为的弦长分别为8 8和和4 4，求动圆圆心的轨迹方，求动圆圆心的轨迹方程。程。点评：本例中动点的几何特征并不是直接点评：本例中动点的几何特征并不是直接给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状给定的，而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的。态中被挖掘出来的。3 3、相关点法（代入法、坐标代换法）、相关点法（代入法、坐标代换法）当互相联系着
6、的两动点当互相联系着的两动点 、中的一个动中的一个动点点 在定曲线上运动时，求另一动点在定曲线上运动时，求另一动点 的轨迹方程时，可用相关点法。的轨迹方程时，可用相关点法。PQ,Q x y,P x y具体做法是：具体做法是：建立用建立用 表示表示 的式子，而后的式子，而后代入定曲线方程，可得代入定曲线方程，可得 的轨迹方程。的轨迹方程。,x y,x yP例例4 4、已知直线已知直线 ，是直线是直线 上的一个动点，过上的一个动点，过 作作 轴和轴和 轴的垂线，轴的垂线，垂足分别为垂足分别为 ，求把有向线段求把有向线段 分成分成的比的比 的动点的动点 的轨迹方程。的轨迹方程。:143xylMlMy
7、x,A BAB 2P解：设解：设 ，则，则00,M xy,P x y00,0,0,AxBy 分有向线段分有向线段 所成的比所成的比PAB 200000312302212xxxxyyyy 即即 。又又 在直线在直线 上上33,2Mxx143xy332143xx3240 xy例例5 5、已知、已知 是圆是圆 内的一内的一点，点，、是圆上两动点，且满足是圆上两动点，且满足 ，求矩形求矩形 的顶点的顶点 的轨迹方程。的轨迹方程。4,0P2236xyA B90APBAPBQQ点评：点评：在某些复杂的探求轨迹方程的问题中，在某些复杂的探求轨迹方程的问题中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。相关点，求得轨迹方程。例例6 6、过定点、过定点 任作两条互相垂直的直任作两条互相垂直的直线线 ，且，且 与与 轴交于点轴交于点 ，与与 轴交于点轴交于点 ，求线段，求线段 中点中点 的轨迹方的轨迹方程。程。,A a b12ll与1lxM2lyNMNP
