1、1 来源2019 年德州中考数学 适用范围:3 九年级 标题2019 年杭州市中考数学试卷年杭州市中考数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 题型:1-选择题一、选择题（一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一个符合题目要求） 题目1.（2019 年杭州）计算下列各式，值最小的是（ ） A20+19 B2+019 C2+019 D2+0+19 答案A 解析本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序为：先算乘方， 再算乘除，最后算加减； 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算计算得：20+19
2、 8，2+0197，2+0197，2+0+196，比较可知-8 最小，因此本题选 A 分值3 章节:1-1-4-1有理数的乘法 考点:有理数的乘法法则 类别:常考题 难度:1-最简单 题目2. （2019 年杭州） 在平面直角坐标系中， 点 A （m， 2） 与点 B （3， n） 关于 y 轴对称， 则 （ ） Am3，n2 Bm3，n2 Cm2，n3 Dm2，n3 答案B 解析本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的关系，A，B 关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数， 纵坐标相同.点 A（m，2）与点 B（3，n）关于 y 轴对称，m3，n2因此本题选 B 分值3 章节:1-13-1-1轴对称
3、 考点:坐标与图形的性质 类别:常考题 难度:1-最简单 题目3.（2019 年杭州）如图，P 为O 外一点，PA，PB 分别切O 于 A，B 两点，若 PA3，则 PB（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案B 解析本题考查了切线长定理.因为 PA 和 PB 与O 相切，所以根据切线长定理可知 PAPB3，因 此本题选 B 分值3 2 章节:1-24-2-2直线和圆的位置关系 考点:切线长定理 类别:常考题 难度:1-最简单 题目4.（2019 年杭州）已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有 x 人，则（ ） A2x+3（72x）
4、30 B3x+2（72x）30 C2x+3（30x）72 D3x+2（30x）72 答案D 解析本题考查了列一元一次方程解应用题，设男生 x 人，则女生有(30x)人，由题意得：3x+2（30 x）72，因此本题选 D 分值3 章节:1-3-3实际问题与一元一次方程 考点:一元一次方程的应用（工程问题） 类别:常考题 难度:1-最简单 题目5.（2019 年杭州）点点同学对数据 26，36，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个 两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差 答案B 解析本题考查了平均数、中位数、方差、标
5、准差的概念，因为将 6 个数从小到大排列后，被涂的 数总是排在第 5 或第 6 的位置，最中间两个数始终是 36、46，故其中位数不变，始终是 41，因此本 题选 B 分值3 章节:1-20-2-1方差 考点:标准差 考点:统计量的选择 类别:常考题 难度:2-简单 题目6.（2019 年杭州）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DEBC，M 为 BC 边 上一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AM 交 DE 于点 N，则（ ） A. ADAN ANAE = B. BDMN MNCE = C. DNNE BMMC = D. DNNE MCBM = 答案C 解析本题考查
6、了相似三角形的判定与性质，DEBC，ADNABM，ANEAMC E N M D C B A 3 DNAN BMAM =， ANNE AMMC =， DNNE BMMC =，因此本题选 C 分值3 章节:1-27-1-1相似三角形的判定 考点:由平行判定相似 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目7.（2019 年杭州）在ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ） A必有一个内角等于 30 B必有一个内角等于 45 C必有一个内角等于 60 D必有一个内角等于 90 答案D 解析本题考查了三角形的内角和，不妨设在ABC 中，有ACB，所以CA+B， 根据三角形内角和定理得A+B+C18
7、0，2C180，C90，ABC 是直角 三角形，因此本题选 D 分值3 章节:1-11-2与三角形有关的角 考点:三角形内角和定理 类别:常考题 难度:2-简单 题目8. （2019年杭州） 已知一次函数y1ax+b和y2bx+a （ab） ， 函数y1和y2的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 答案A 解析本题考查了一次函数图象象限分布与系数的关系，从增减性以及直线与 y 轴的交点位置来进 行判断比较快捷，可列表分析如下： 选项 增减性体现的 a、b 符号关系 与 y 轴交点体现的 a、b 符号关系 是否矛盾 A a0、b0 a0、b0 不矛盾 B a、b 异号 a、b 同号 矛盾
8、C a0、b0 a0、b0 矛盾 D a、b 异号 a、b 同号 矛盾 因此本题选 A 分值3 章节:1-19-2-2一次函数 考点:一次函数的图象 类别:常考题 难度:3-中等难度 y x 1 O y x 1 O y x 1 O y x 1 O 4 题目9.（2019 年杭州）如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（OCOB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内）.已知 ABa，ADb，BCOx，则点 A 到 OC 的距离等于（ ） Aasinx+bsinx Bacosx+bcosx Casinx+bcosx Dacosx+bsinx 答案D 解析本题考查了锐角三角函数的简单实际应用，过点
9、 A 作 AEOB 于点 E，在矩形 ABCD 中，且 ABa，ADBC=b，COBABC90 ，ABE+OBC=BCO+OBC90 ,ABE BCOx，sin OB x BC ，cos BE x AB ，sinOBbx，cosBEax ，所以点 A 到 OC 的距离 OE=BE+OB=acosx+bsinx,因此本题选 D 分值3 章节:1-28-3锐角三角函数 考点:余弦 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目10.（2019 年杭州）在平面直角坐标系中，已知 ab，设函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 M 个交点，函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 N 个
10、交点，则（ ） AMN1 或 MN+1 BMN1 或 MN+2 CMN 或 MN+1 DMN 或 MN1 答案C 解析本题考查了二次函数、一次函数图象与 x 轴交点的求解，当 y（x+a） （x+b）=0 时，x=a 或 x=b，ab，函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有两个交点（a，0） 、 （b，0） ，M 2.当 ab0 时，同法可得函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有两个交点（ 1 a ，0） 、 （ 1 b ， 0） ，此时 N=2，故 M=N=2；当 ab=0 时，ab，a 与 b 只能有一个为 0，不能同时为 0，此时函 数为一次函数，其图象与 x 轴
11、有唯一的交点（ 1 a ，0）或（ 1 b ，0） ，此时 N=1，故 MN+1综 上可知，MN 或 MN+1因此本题选 C 分值3 章节:1-22-2二次函数与一元二次方程 5 考点:抛物线与一元二次方程的关系 类别:常考题 类别:易错题 难度:3-中等难度 题型:2-填空题二、填空题二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 题目11.（2019 年杭州）因式分解：1x2 答案（1x） （1+x） 解析本题考查了利用平方差公式进行因式分解，1x212x2（1x） （1+x） ，因此本题答案为： （1x） （1+x） 分值4 章节:1-14-3因式分解 考点:因式分解平方
12、差 类别:常考题 难度:1-最简单 题目12.（2019 年杭州）某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个数 据的平均数为 y，则这 m+n 个数据的平均数等于 答案 mxny mn 解析本题考查了加权平均数，平均数等于总和除以个数，所以平均数 mxny mn ，因此本题答案 为： mxny mn 分值4 章节:1-20-1-1平均数 考点:加权平均数（频数为权重） 类别:常考题 难度:2-简单 题目13.（2019 年杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度） ，已知其母线长为 12cm，底面 圆半径为 3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 cm2（结果精确
13、到个位） 答案113 解析本题考查了圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，半径等于圆锥的母线长 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则其侧面积 3 123636 3.14113.04113Srl 侧 ，因此本题答案为 113 6 分值4 章节:1-24-4弧长和扇形面积 考点:圆锥侧面展开图 类别:常考题 难度:2-简单 题目14.（2019 年杭州）在直角三角形 ABC 中，若 2ABAC，则 cosC 答案 3 2 或 2 5 5 解析本题考查了锐角的余弦值的计算，如图所示，分两种情况讨论，AC 可以是直角边，也可以是 斜边. 当 AC 是斜边，
14、设 ABx，则 AC2x，则 BC3x，则 33 cos 22 BCx C ACx ； 当 AC 是直角边， 设 ABx， 则 AC2x， 则 BC5x， 则 222 5 cos 555 ACx C BCx .综上， 3 cos 2 C 或 2 5 5 . ，因此本题答案为： 3 2 或 2 5 5 分值4 章节:1-28-3锐角三角函数 考点:余弦 类别:常考题 类别:易错题 难度:3-中等难度 题目15.（2019 年杭州）某函数满足当自变量 x1 时，函数值 y0；当自变量 x0 时，函数值 y 1.写出一个满足条件的函数表达式 答案yx+1，或 yx2-2x+1，或 y-x2+1，或
15、y-x3+1，y-x4+1，1yx等等（答案不限， 合理即可）. 解析本题考查了根据条件列函数关系式，由于 x、y 可以取 0，所以三种常见函数中不能取反比例 3x 2x x C B A 5x 2x x C A B 7 函数， 只能取一次函数或二次函数.若取一次函数， 可设其解析式为设该函数的解析式为 ykx+b， 由题知 0 1 kb b ，解得 1 1 k b ，所以函数的解析式为 yx+1；若取二次函数，可设其解析 式为 yax2+bx+c， 由题知 0 1 abc c ， 可得 1 1 ba c ， 比如取 a=1， 则 b=-2， 函数为 yx2-2x+1； 取 a=-1，则 b=0
16、，函数为 y-x2+1 等等；若取其它函数，还可以是 y-x3+1，y-x4+1，1yx 等等.因此本题答案为：yx+1，或 yx2-2x+1，或 y-x2+1，或 y-x3+1，y-x4+1，1yx等 等（答案不限，合理即可）. 分值4 章节:1-22-1-4二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 考点:其他二次函数综合题 类别:发现探究 难度:3-中等难度 题目16.（2019 年杭州） 如图， 把某矩形纸片 ABCD 沿 EF，GH 折叠（点 E， H 在 AD 边上， 点 F， G 在 BC 边上） ，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A点，D
17、 点的对称点为 D点.若FPG90， AEP的面积为4， DPH的面积为1， 则矩形ABCD的面积等于 答案10+65 解析本题考查了矩形的折叠问题，涉及相似三角形的判定与性质，在矩形 ABCD 中，设 AB=x，由 折叠知 PAABx， PDCDx， AE=AE， DH=DH， A=A=90， D=D=90， APF=B=90，DPG=C=90，FPG90，FPG+DPG=180，D、 P、F 三点共线.AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1， 1 2 AEx=4， 1 2 DHx=1， AE4DH，设 DHa，则 AE4a.由折叠知 AEPF，AEP=DPH，又A= D=90， AEP
18、DPH， A EA P D PD H , 4ax xa ，x2a，PAPD2a， 1 2 a2a1，a1（负值舍去） ，x2，ABCD2， ，AE=AE=4，DH=DH=1， PE= 22 24=25，PH= 22 12=5，AD4+25+5+15+35， 8 矩形 ABCD 的面积2（5+35）=10+65.因此本题答案为：10+65 分值4 章节:1-27-1-1相似三角形的判定 考点:相似三角形的判定（两角相等） 考点:矩形的性质 考点:折叠问题 类别:发现探究 类别:常考题 难度:4-较高难度 题型:4-解答题三、解答题三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分） 题目17.（20
19、19 年杭州） （本题满分 6 分）化简： 2 42 1 42 x xx - - . 圆圆的解答如下： ()() 2 2 2 42 14224 42 2 x xxx xx xx -=-+- - =-+ 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答. 解析本题考查了异分母分式的加减运算，异分母分式相加减，先通分，再加减而圆圆的做法丢 失了分母，改变了原来式子的值，所以圆圆的做法是错误的. 答案解：圆圆的解答不正确.正确解答如下： 原式 2 42(2)4 (2)(2)(2)(2)(2)(2) xxx xxxxxx 2 4(24)(4) (2)(2) xxx xx (2) (2)(2) x x xx
20、 2 x x . 分值6 章节:1-15-2-2分式的加减 难度:2-简单 类别:常考题类别:易错题类别:新定义 考点:两个分式的加减 题目18.（2019 年杭州） （本题满分 8 分）称重五筐水果的质量，若每筐以 50 千克为基准，超过 基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数.甲组为实际称重读数，乙组为记录数 据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）. 9 （1）补充完整乙组数据的折线统计图； （2）甲、乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系； 甲、乙两组数据的平均数分别为 2 S甲、 2 S乙，比较 2 S甲与 2 S乙的大
21、小，并说明理由. 解析本题考查了统计表、折线统计图、平均数和方差，第（1）问先描点再连线即可，画出来的图 形应该与前图一致；第（2）问根据平均数的简化计算公式 xxa容易得到结果；第（3）问根据 方差的公式计算即可. 答案解： （1）补全折线统计图，如图所示. （2）50xx甲乙. 22 SS 甲乙，理由如下： 因为 222222 1( 2 )(2)( 3)( 1)(4) 5 Sxxxxx 乙乙乙乙乙 乙 实际称重读数和记录数据统计表 4-1-32-2 5449475248 54321 乙组 甲组 数据 序号 10 22222 1(48 50)(5250)(4750)(4950)(5450)
22、5 xxxxx 乙乙乙乙乙 22222 1(48 )(52)(47)(49)(54) 5 xxxxx 甲甲甲甲甲 2 S 甲，所以 22 SS 甲乙. 分值 章节:1-20-2-1方差 难度:3-中等难度 类别:常考题 考点:方差的性质 题目19.（2019 年杭州） （本题满分 8 分）如图，在ABC 中，ACABBC （1）已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证：APC2B （2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ若AQC3B， 求B 的度数 （第 19 题（1） ） （第 19 题（2） ） 解析本题考查了线段的
23、垂直平分线的性质和等腰三角形的性质第（1）问现根据垂直平分线条件 证出 PA=PB，在利用等边对等角及三角形外角的性质可证；第（2）问根据作图得出 AB=BQ，从而 得到相等的角，列方程即可求解. 答案解： （1）证明：点 P 在 AB 的垂直平分线上，PA=PB，PAB=B，APC=PAB+ B，APC=2B； （2）根据题意，得 BQ=BA，BAQ=BQA， 设B=x，则AQC=B+BAQ=3x，BAQ=BQA=2x，在ABQ 中，x+2x+2x=180， 解得 x=36，B=36. 分值8 章节:1-13-2-1等腰三角形 难度:3-中等难度 类别:常考题 考点:等边对等角 题目20.（
24、2019 年杭州） （本题满分 10 分）方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程 为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（单位：小时） ，行驶速度为 v（单位：千米/小时） ，且全程 速度限定为不超过 120 千米/小时. （1）求 v 关于 t 的函数表达式； （2）方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发. 11 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点（含 12 点 48 分和 14 点）间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的 范围； 方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由. 解析本题考查了反比例函数的实际应用问题第（1）问根据题意直接列式即
25、可；第（2）问第一 小问利用极端值可以确定速度的范围；第二小问可以用两种方法：一是时间相同比速度，二是速度 相同比时间. 答案解： （1） 根据题意，得480vt ，所以 480 v t ，因为4800，所以当120v 时，4t ， 综上，v 关于 t 的函数表达式为 480 (4)vt t ； （2）根据题意，得4.86t ，当 t=4.8 时，v=10；当 t=6 时，v=8. 小汽车行驶速度 v 的范围是80100v； 方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地.理由如下： 法一：若方方要在 11 点 30 分前到达 B 地，则3.5t ， 所以 480 120 3.5 v ，所以方方
26、不能在 11 点 30 分前到达 B 地； 法二：方方按最快的速度行驶，那么 v=120，当 v=120 时，可得 t= 480 120 =4,8+4=12,方方最早也要 12 点才能到达，不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地. 分值10 章节:1-26-2实际问题与反比例函数 难度:3-中等难度 类别:常考题 考点:生活中的反比例函数的应用 题目21.（2019 年杭州） （本题满分 10 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积 为 S2，且 S
27、1S2 （1）求线段 CE 的长； （2）若点 H 为 BC 边的中点，连接 HD，求证：HDHG 解析本题考查了在正方形条件下列一元二次方程解决问题第（1）问设小正方形边长为未知数， 根据 S1=S2即可列方程求解；第（2）问在第一问的基础上利用勾股定理计算即可. 答案解：（1） 在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中， AD=BC=CD=1， BCD=90.设 CE=x （0x1） ， 则 DE=1x，因为 S1=S2，所以 x2=1x，解得 x1= 51 2 ,x2= 51 2 （舍去） ，CE= 51 2 ； G FE H D C B A 12 （2）因为点 H 为 BC 边的中点
28、，所以 CH= 1 2 ，所以 HD= 5 2 ，因为 CG=CE= 51 2 ，点 H，C，G 在同一直线上，所以 HG=HC+CG= 1 2 51 2 = 5 2 ，所以 HD=HG. 分值10 章节:1-21-4实际问题与一元二次方程 难度:3-中等难度 类别:常考题 考点:一元二次方程的应用面积问题 考点:正方形的性质 题目22.（2019 年杭州） （本题满分 12 分）设二次函数 y（xx1） （xx2） （x1，x2是实数） （1）甲求得当 x0 时，y0；当 x1 时，y0；乙求得当 x= 1 2 时，y= 1 2 若甲求得的结果都 正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由 （
29、2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 x1，x2的代数式表示） （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n 是实数） ，当 0x1x21 时，求 证：0mn 1 16 解析本题考查了二次函数的有关性质，重点考查了二次函数与一元二次方程的关系第（1）问根 据甲的结果求出函数解析式， 再通过代入比较判断乙的结果是否正确； 第 （2） 问注意不能再利用 （1） 的结论，而是要用含 x1，x2的代数式来进行计算，算的时候抓住抛物线的轴对称性就比较方便了； 第（3）问需要先用含 x1，x2的代数式来表示出 m、n 以及 mn，然后再通过配方法变形来证出结论， 难度
30、较大. 答案解： （1）乙求得的结果不正确，理由如下：根据题意，知图象经过点（0，0） ， （1，0） ， 所以(1)yx x，当 1 2 x 时， 1111 (1) 2242 y ，所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为 12 2 xx x ，当 12 2 xx x 时，设函数有最小值 M，则 2 121212 12 () 224 xxxxxx Mxx ； （3）因为 12 ()()yxxxx， 所以 12 mx x， 12 (1)(1)nxx， 所以 22 12121122 (1)(1)()()mnx xxxxxxx 22 12 1111 () () 2424 xx 因为 12
31、 01xx，并结合函数(1)yxx的图象， 13 所以 2 1 111 0() 244 x ， 2 2 111 0() 244 x 所以 1 0 16 mn， 因为 12 xx，所以 1 0 16 mn. 分值12 章节:1-22-2二次函数与一元二次方程 难度:5-高难度 类别:高度原创 考点:抛物线与一元二次方程的关系 题目23.（2019 年杭州） （本题满分 12 分）如图，已知锐角三角形 ABC 内接于O，ODBC 于 点 D，连接 OA （1）若BAC60， 求证：OD= 1 2 OA 当 OA1 时，求ABC 面积的最大值 （2） 点 E 在线段 OA 上， OEOD.连接 DE
32、， 设ABCmOED， ACBnOED （m， n 是正数） ， 若ABCACB，求证：mn+20 解析本题考查了垂径定理，圆周角、圆心角、弧的关系等相关圆的知识 （1）连接 OB、OC， 将 OD 与 OA 的关系探究转化为 OD 与 OB（或 OC）的关系来进行探究即可；BC 长度为定值，要 使ABC 面积取得最大值，就要要求 BC 边上的高最大，即可求解； （2）设OEDx，则BAC 180ABCACB180mxnx= 1 2 BOCDOC，而AODCOD+AOC180 mxnx+2mx180+mxnx，即可求解 答案解： （1）证明：如图 1，连接 OB，OC，因为 OB=OC，ODB
33、C， 所以BOD= 1 2 BOC= 1 2 2BAC=60，cosBOD= OD OB = 1 2 ,所以 OD= 1 2 OB= 1 2 OA； O E D C B A 14 作 AFBC，垂足为点 F，所以 AFADAO+OD= 3 2 ，等号当点 A，O，D 在同一直线上时取到 由知，BC=2BD=3，所以ABC 的面积 1133 33 2224 BC AF， 即ABC 面积的最大值是 3 3 4 ； （2）如图 2，连接 OC， 设OEDx，则ABCmx，ACBnx， 则BAC180ABCACB180mxnx= 1 2 BOCDOC， AOC2ABC2mx， AODCOD+AOC180mxnx+2mx180+mxnx， OEOD，AOD1802x，即：180+mxnx1802x， 化简即可得：mn+20 分值12 章节:1-24-1-4圆周角 难度:5-高难度 类别:高度原创 考点:垂径定理 考点:圆心角、弧、弦的关系 考点:圆周角定理
