1、来源2019 年宁波市中考数学 适用范围:3 九年级 标题宁波市二一九年初中学业水平考试 考试时间：120 分钟 满分：150 分 题型:1选择题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分 题目1(2019 年宁波)2 的绝对值为( ) A 1 2 B2 C 1 2 D2 答案B 解析本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值等于这个数在数轴上所表示的点到原点的距离， 因为2 在数轴上所表示的点到原点的距离是 2，因此本题选 B 分值4 章节:1124绝对值 考点:绝对值的意义 类别:常考题 难度:1最简单 题目2(2019 年宁波)下列计算正确的是( ) Aa3a2a5 Ba
2、3 a2a6 C(a2)3a5 Da6 a2a4 答案D 解析本题考查了合并同类项和幂的运算，熟记合并同类项的法则与幂的运算性质是解决该类问题 的关键a3和 a2不是同类项，故不能合并，选项 A 错误；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，a3 a2 a5，选项 B 错误；幂的乘方，底数不变，指数相乘，(a2)3a6，选项 C 错误；同底数幂相除，底 数不变，指数相减，a6 a2a4，选项 D 正确 分值4 章节:11523整数指数幂 考点:合并同类项 考点:同底数幂的乘法 考点:幂的乘方 考点:积的乘方 考点:同底数幂的除法 类别:常考题 难度:2简单 题目3(2019 年宁波)宁波是世界银行在
3、亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项 目总投资为 1526000000 元人民币数 1526000000 用科学记数法表示为( ) A1.526108 B15.26108 C1.526109 D1.5261010 答案C 解析本题考查了科学记数法，15260000001.526109，因此本题选 C 分值4 章节:1152科学计数法 考点:将一个绝对值较大的数科学计数法 类别:常考题 难度:2简单 题目4(2019 年宁波)若分式 1 2x- 有意义，则 x 的取值范围是( ) Ax2 Bx2 Cx0 Dx2 答案B 解析本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不能为零，得到
4、x20，所以 x2，因此 本题选 B 分值4 章节:1151分式 考点:分式的意义 类别:常考题 难度:2简单 题目5(2019 年宁波)如图，下列关于物体的主视图画法正确的是( ) A B C D 答案C 解析本题考查了几何体的三视图，主视图是指从几何体的正面看到的平面图，该几何体从正面看， 只有选项 C 正确，因此本题选 C 分值4 章节:1292三视图 考点:几何体的三视图 类别:常考题 难度:2简单 题目6(2019 年宁波)不等式 3 2 x- x 的解为( ) Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 答案A 解析本题考查了解一元一次不等式根据不等式的解法，不等式的两边同乘以 2，得 3x2
5、x， 再移项，合并同类项，得3x3，解得 x1，因此本题选 A 分值4 章节:192一元一次不等式 考点:解一元一次不等式 类别:常考题 类别:易错题 难度:2简单 题目7(2019 年宁波)能说明命题“关于 x 的方程 x24xm 0 一定有实数根”是假命题的反例 为( ) Am 1 Bm 0 Cm 4 Dm 5 答案D 解析本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部 分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 的形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理任何一个命题非真即假，要 说明一个命题的正确性，
6、一般需要推理、 论证， 而判断一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可 说 明命题“关于 x 的方程 x24xm 0 一定有实数根”是假命题，只要满足164m0 的解即 可，即 m4 的值，因此本题选 D 分值4 章节:154 命题、定理、证明 考点:根的判别式 考点:命题 考点:推理与证明 难度:3中等难度 题目8(2019 年宁波)去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每 棵产量的平均数x(单位：千克)及方差 S2(单位：千克 2)如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又
7、稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 答案B 解析本题考查平均数和方差比较四个品种的平均数可得，甲品种和乙品种的产量更好，而甲的 方差乙的方差，所以乙品种的产量更稳定些，因此本题选 B 分值4 章节:12021方差 考点:算术平均数 考点:方差 考点:方差的性质 考点:方差的实际应用 考点:数据分析综合题 类别:常考题 难度:3中等难度 题目9(2019 年宁波)已知直线 mn，将一块含 45角的直角三角板 ABC 按如图方式放置，其中 斜边 BC 与直线 n 交于点 D若125，则2 的度数为( ) A60 B65 C70 D75 1 2 n m D C A B
8、(第 9 题图) 答案C 解析本题考查了平行线的性质和三角形的外角的性质如图，ABC 是含 45的等腰直角三角 形，B45，3B1452570，m n，2370，因此本题选 C 分值4 章节:153平行线的性质 考点:角的计算 考点:三角形的外角 考点:两直线平行同位角相等 类别:常考题 难度:3中等难度 题目10(2019 年宁波)如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AD6cm，把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 AB 的长为( ) A3.5cm B4cm C4.5cm D5cm E F D BC
9、A (第 10 题图) 答案B 解析本题考查了圆锥的性质根据题意，当裁出的扇形和圆恰好能作为一个圆锥的侧面和底面时， 扇形的弧长等于圆周长欲从矩形 CDEF 中裁出最大的圆，矩形的两条边 CD、EF 恰好与圆相切， 即 DE 长是圆的直径，不妨设 ABx，则扇形弧长为 90 180 xp白白 ，圆的周长为( ) 6x p-，得 90 180 xp白白 ( ) 6x p-，所以 x4，因此本题选 B 分值4 章节:1244弧长和扇形面积 考点:弧长的计算 考点:圆锥侧面展开图 考点:直线与圆的位置关系 考点:一元一次方程的应用(几何图形) 类别:常考题 难度:3中等难度 3 m n 2 1 E
10、D C A B （第 9 题解） 题目11(2019 年宁波)小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元； 若买3支玫瑰和5支百合， 则她所带的钱还缺4元 若只买8支玫瑰， 则她所带的钱还剩下( ) A31 元 B30 元 C25 元 D19 元 答案A 解析本题考查了代数式的概念，二元一次方程的性质以及整体思想不妨设每支玫瑰 x 元，每支 百合 y 元，根据题意可列出方程：5x3y103x5y4，得 xy7，若小慧只买 8 支玫瑰， 则她剩下的钱可以用代数式表示为(5x3y10)8x，即3(xy)10，将“xy7”整体代入 可得解是 31，因此本题选 A
11、 分值4 章节:181二元一次方程组 考点:代数式 考点:二元一次方程的解 类别:思想方法 类别:易错题 难度:4较高难度 题目12(2019 年宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早 有记载如图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( ) A直角三角形的面积 B最大正方形的面积 C较小两个正方形重叠部分的面积 D最大正方形与直角三角形的面积和 图 1 图 2 (第 12 题图) 答案C 解析本题考查了图形的面积计算和勾股定理的应用不妨设图中所给直角三角形的较长直
12、角边为 a，较短直角边为 b，斜边为 c，则 a2b2c2将图中阴影部分分离出来，其每条边长如图所示，利 用图形面积的和差关系可知阴影部分面积可以表示为 c(cb)a(ab)，又因为 a2b2c2，即阴影 部分可表示为 b(abc)直角三角形的面积是 1 2 ab，选项 A 错误；最大正方形的面积为 c2，选项 B 错误； 最大正方形和直角三角形的面积和是 c2 1 2 ab， 选项 D 错误； 用排除法易得选项 C 正确 事 实上，较小两个正方形重叠部分是以 b 为长，(abc)为宽的矩形，所以面积是 b(abc)，选项 C 正确，因此本题选 C 分值4 章节:1171勾股定理 c-b c-
13、a c-a c c-b c-a c-a c （第 12 题解） 考点:代数式 考点:列代数式 考点:勾股定理 考点:勾股定理的应用 考点:几何选择压轴 类别:思想方法 类别:数学文化 类别:发现探究 难度:4较高难度 题型:2填空题二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 题目13(2019 年宁波)请写出一个小于 4 的无理数： 答案p(答案不唯一) 解析本题考查了实数的大小比较和无理数的概念本题答案不唯一，p、2等均符合要求 分值4 章节:163实数 考点:实数的大小比较 考点:无理数的估值 类别:常考题 难度:1最简单 题目14(2019 年宁波)分解因式：x2xy
14、答案x(xy) 解析本题考查了因式分解提取公因式原式 x(xy) 分值4 章节:1143因式分解 考点:公因式 考点:因式分解提公因式法 类别:常考题 难度:1最简单 题目15(2019 年宁波)袋中装有除颜色外其余均相同的 5 个红球和 3 个白球从袋中任意摸出一 个球，则摸出的球是红球的概率为 答案 5 8 解析本题考查概率的基本计算用红球的个数除以球的总个数即为所求的概率因为一共有 8 个 球，其中 5 个红球，所以从袋中任意摸出 1 个球是红球的概率是 5 8 分值4 章节:12512概率 考点:可能性的大小 考点:概率的意义 考点:一步事件的概率 类别:常考题 难度:1最简单 题目1
15、6(2019 年宁波)如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘 船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 米(精确到 1 米，参考数据：21.414，31.732) 北北 东东 4560 BA O (第 16 题图) 答案566 解析本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识如图，在 RtACO 中，ACO90 ，AO 400，AOC45 ，COAO cos45 200 2，在 RtBCO 中，BCO90 ，COB60 ， OB cos60 CO 400 24001.414566 分值4 章节
16、:12812解直角三角形 考点:解直角三角形方位角 类别:常考题 类别:易错题 难度:3中等难度 题目17(2019 年宁波)如图，RtABC 中，C90，AC12，点 D 在边 BC 上，CD5，BD 13点 P 是线段 AD 上一动点，当半径为 6 的P 与ABC 的一边相切时，AP 的长 为 DC B A P (第 17 题图) 答案13 2 或3 13 解析本题考查了直线和圆的相切， 相似三角形的判定和性质， 勾股定理， 分类讨论思想 在 RtACD 中，C90 ，AC12，CD5，由勾股定理得 AD13如图，点 P 到 AC 的最远距离是 5，又因 为P 的半径为 6，所以当点 P
17、在线段 AD 上运动时，P 不可能与 AC 相切，有可能与 BC，AB 相 切当P 与 BC 相切时，作 PEBC 于点 E(如图(1)所示)，此时 PE6，PEDACD90 ， PDEADC，PDEADC， PD AD PE AC ，即 13 PD 6 12 ，得：PD6.5，APAD PD6.5；当P 与 AB 相切时，作 PFAB 于点 F(如图(2)所示)，DQAB 于点 Q，在 RtABC 中， （第 16 题解） 6045 东东 北北 BA O C C90 ，AC12，BC18，由勾股定理得 AB6 13ADBD13，DQAB，AQ 1 2 AB 3 13， DQ 22 ADAQ-
18、2 13，AFPAQD90 ，PAFDAQ，APFADQ， AP AD PF DQ ，即 13 AP 6 2 13 ，得：AP3 13综上所述，AP 的值为13 2 或3 13 E D B C A P F Q D B C A P 图(1) 图(2) (第 17 题解) 分值4 章节:12422直线和圆的位置关系 考点:直线与圆的位置关系 考点:切线的性质 考点:三线合一 考点:勾股定理 考点:相似三角形的判定(两角相等) 考点:相似三角形的性质 考点:几何填空压轴 类别:思想方法 类别:易错题 难度:4较高难度 题目18(2019 年宁波)如图，过原点的直线与反比例函数 y k x (k0)的
19、图象交于 A，B 两点，点 A 在第一象限点 C 在 x 轴正半轴上，连结 AC 交反比例函数图象于点 DAE 为BAC 的平分线， 过点 B 作 AE 的垂线，垂足为 E，连结 DE若 AC3DC，ADE 的面积为 S，则 k 的值 为 x y E B C D O A (第 18 题图) 答案6 解析本题考查了反比例函数， 相似三角形， 角平分线等知识 如图， 连结 OE， 作 AMx 轴， ANx 轴，垂足分别为点 M，N过原点的直线与反比例函数 y k x (k0)的图象交于 A，B 两点， AO BO， 又AEBE， OEAO， OAEOEA， AE 为BAC 的平分线， OAEDAE
20、， OEADAE，OEAC，SOADSEAD8，S四边形OADNSOAMS四边形AMNDSODN SOAD，又点 A、D 均在反比例函数 y k x 的图象上，SOAMSODN 2 k ，S四边形AMND SOAD 8AMx 轴，ANx 轴，AMDN，CDNCAM， DN AM CD CA 3 CD CD 1 3 ，不 妨设 DNa，AM3a，点 A、D 均在反比例函数 y k x 的图象上，OM 3 k a ，ON k a ，MN OMON 2 3 k a ，S四边形AMND 1 2 (AMDN)MN 4 3 k8，k6 分值4 章节:12713相似三角形应用举例 考点:等边对等角 考点:平
21、行线的性质与判定 考点:由平行判定相似 考点:相似三角形的性质 考点:代数填空压轴 考点:几何填空压轴 类别:易错题 难度:5高难度 题型:3解答题三、解答题：本大题有 8 小题，共 78 分 题目19(2019 年宁波)先化简，再求值： (x2)(x2)x(x1)，其中 x 3 解析本题考查了整式的乘法和代数式求值首先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并 同类项，化简后再把 x 的值代入即可 答案解：原式x24x2xx4 当 x3 时，原式341 分值6 章节:1141整式的乘法 难度:2简单 类别:常考题 考点:合并同类项 考点:代数式求值 考点:去括号 考点:整式加减 考点:整式化
22、简求值 考点:单项式乘以多项式 考点:多项式乘以多项式 考点:平方差公式 （第 18 题解） x y N E B C D M O A 题目20(2019 年宁波)图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 5 个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得 6 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形 (2)使得 6 一个中心对称图形 (请将两个小题依次作答在图 1，图 2 中，均只需画出符合条件的一种情形) 图 1 图 2 (第 20 题图) 解析本题考查了轴对称图形和中心对称图形的作图，熟练掌握轴对称图形和中心对
23、称图形定义是 解题的关键 答案解：(1)画出下列其中一种即可 (2)画出下列其中一种即可 分值8 章节:1233课题学习图案设计 难度:2简单 类别:常考题 类别:易错题 考点:作图轴对称 考点:利用轴对称设计图案 考点:中心对称图形 题目21(2019 年宁波)今年 5 月 15 日，亚洲文明对话大会在北京开幕为了增进学生对亚洲文化 的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动为了解这次宣传活动的效果，学校从全校 1200 名 学生中随机抽取 100 名学生进行知识测试(测试满分 100 分， 得分均为整数)， 并根据这 100 人的测试 成绩，制作了如下统计图表 成绩 a(分) 频数(人)
24、50a60 10 60a70 15 70a80 m 80a90 40 90a100 15 (第 21 题图) 由图表中给出的信息回答下列问题： (1)m ，并补全频数直方图； (2)小明在这次测试中成绩为 85 分，你认为 85 分一定是这 100 名学生知识测试成绩的中位数吗？请 简要说明理由； (3)如果 80 分以上(包括 80 分)为优秀，请估计全校 1200 名学生中成绩优秀的人数 解析本题考查了频数表，频数直方图，中位数，用样本估计总体明确题意，找出所求问题需要 的条件、利用数形结合思想解析问题 答案解：(1)20 补全频数直方图： (2)不一定是，理由：将 100 名学生知识测试
25、成绩从小到大排列，第 50 名与第 51 名的成绩都 在分数段 80a90 中，但它们的平均数不一定是 85 分 (3) 40 15 100 + 1200660(人) 答：全校 1200 名学生中，成绩优秀的约有 660 人 分值8 章节:1102直方图 100 名学生知识测试成绩的频数表 15 40 15 10 40 30 20 10 10090807060500 频数频数（人人） 成绩成绩（分分） 100 名学生知识测试成绩的频数直方图 100 名学生知识测试成绩的频数直方图 20 5060708090100成绩成绩（分分） 1515 40 10 0 10 20 30 40 频数频数（人人
26、） 难度:3中等难度 类别:常考题 类别:易错题 考点:抽样调查 考点:总体、个体、样本、样本容量 考点:样本的代表性 考点:用样本估计总体 考点:频数(率)分布表 考点:频数(率)分布直方图 考点:统计的应用问题 题目22(2019 年宁波)如图，已知二次函数 yx2ax3 的图象经过点 P(2，3) (1)求 a 的值和图象的顶点坐标 (2)点 Q(m，n)在该二次函数图象上 当 m2 时，求 n 的值； 若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围 解析本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离问题 在第(2)题的第小题中先确定到 y 轴的距离等于 2
27、 的 x 的值，再利用 数形结合思想确定 n 的取值范围是解此题的关键 答案解：(1)把 P(2，3)代入 yx2ax3，得 3(2)22a3，解得 a2 yx22x3(x1)22，顶点坐标为(1，2) (2)把 x2 代入 yx22x3，求得 y11， 当 m2 时，n 11 2n11 分值10 章节:12214二次函数 yax2bxc 的图象和性质 难度:3中等难度 类别:思想方法 类别:常考题 类别:易错题 考点:二次函数 yax2bxc 的性质 考点:抛物线与不等式(组) 题目23(2019 年宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点
28、 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 (1)求证：BGDE； (2)若 E 为 AD 的中点，FH2，求菱形 ABCD 的周长 解析本题考查了矩形、菱形的性质，全等三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质根据矩形和菱形的相关性质得到判定 三角形全等的条件，进而得出边相等利用中点的定义进行边的 （第 22 题图） x y P O （第 23 题图） G H E D A B C F 等量转化，判定四边形 ABGE 是平行四边形，再利用矩形的对角 线相等这一性质进行边的转化，求出菱形 ABCD 周长 答案解：(1)在矩形 EFGH 中，EHFG，EHFG GFHEHF BFG180GF
29、H，DHE180EHF， BFGDHE 在菱形 ABCD 中，ADBC，GBFEDH BGFDEH(AAS)BGDE (2)如图，连结 EG 在菱形 ABCD 中，ADBC，且 ADBC E 为 AD 中点，AEED，又BGDE， AEBG，且 AEBG 四边形 ABGE 为平行四边形 ABEG 在矩形 EFGH 中，EGFH2，AB2，菱形的周长为 8 分值10 章节:11822菱形 难度:3中等难度 类别:常考题 类别:易错题 考点:平行四边形边的性质 考点:全等三角形的判定 ASA,AAS 考点:全等三角形的性质 考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 考点:矩形的性质 考点:与矩
30、形菱形有关的综合题 题目24(2019 年宁波)某风景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿 该公路开往草甸，途中停靠塔林(上下车时间忽略不计)第一班车上午 8 点发车，以后每隔 10 分钟 有一班车从入口处发车小聪周末到该风景区游玩，上午 740 到达入口处，因还没到班车发车时 间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林离入口处的路程 y(米)与时间 x(分) 的函数关系如图 2 所示 (1)求第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式 (2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间 (3)小聪在塔林游玩 40 分钟后， 想坐班车到草甸
31、， 则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到 草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？(假设每一班车速度均相同，小聪步行 速度不变) （第 23 题解） G H E D A C B F (第 24 题图) 解析本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的生活应用，一元一次不等式，主要 考查学生能否把实际问题转化成数学问题在第(1)小题中，根据(20，0)，(38，2700)这两个特殊点， 利用待定系数法可以求出 y 关于 x 的函数关系式在第(2)小题中，已知函数值求自变量第(3)小题 中，利用一元一次不等式求出最早可以坐的班车，进而求出时差 答案解：(1)由题意得，可
32、设函数表达式为：ykxb(k0) 把(20，0)，(38，2700)代入 ykxb，得 020 270038 kb kb =+ =+ ，解得 150 3000 k b = =- 第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达式为 y150x3000(20x38)(注：x 的取值范围可省略不写) (2)把 y1500 代入，解得 x30，则 302010(分) 第一班车到塔林所需时间 10 分钟 (3)设小聪坐上第 n 班车 302510(n1)40，解得 n4.5， 小聪最早坐上第 5 班车 等班车时间为 5 分钟，坐班车所需时间：12001508(分)， 步行所需时间：1200(
33、150025)20(分)，20(85)7(分) 小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早 7 分钟 分值10 章节:1193一次函数与方程、不等式 难度:3中等难度 类别:思想方法 类别:常考题 类别:易错题 考点:待定系数法求一次函数的解析式 考点:一次函数与一元一次方程 图 2 x y 2700 1500 65382520 小聪小聪 第一班车第一班车 （分分） （米米） O 图 1 考点:一次函数与一元一次不等式 考点:方案比较 考点:一次函数与行程问题 题目25(2019 年宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称 为邻余线 (1)如图 1，在AB
34、C 中，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，E，F 分别是 BD，AD 上的点求证： 四边形 ABEF 是邻余四边形 (2)如图 2，在 54 的方格纸中，A，B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF，使 AB 是邻余线，E，F 在格点上 (3)如图 3，在(1)的条件下，取 EF 中点 M，连结 DM 并延长交 AB 于点 Q，延长 EF 交 AC 于点 N若 N 为 AC 的中点，DE2BE，QB3，求邻余线 AB 的长 Q M F N F E D C B A B D C AB E A 图 1 图 2 图 3 (第 25 题图) 解析本题综合考查了直角三角形，等腰三角形，相
35、似三角形的知识根据邻余四边形的定义判定 四边形 ABEF 是邻余四边形，利用直角三角形的两锐角互余画出图形，利用等腰三角形，相似三角 形的判定和性质求出 AB 长 答案解：(1)ABAC，AD 是ABC 的角平分线， ADBC，ADB90，DAB DBA90， FAB 与EBA 互余，四边形 ABEF 是邻余四边形 (2)如图所示(答案不唯一) FA E B 四边形 ABEF 即为所求 (3)ABAC，AD 是ABC 的角平分线， BDCD，DE2BE，BDCD3BE，CECDDE5BE EDF90，M 是 EF 中点， DMME，MDEMED， ABAC，BC，DBQECN， QB NC B
36、D CE 3 5 QB3，NC5，又ANCN， AC 2CN10，ABAC10 分值12 章节:12713相似三角形应用举例 难度:4较高难度 类别:常考题 类别:易错题 类别:新定义 考点:三线合一 考点:直角三角形两锐角互余 考点:相似三角形的判定(两角相等) 考点:相似三角形的性质 考点:新定义 考点:几何综合 题目26 (2019 年宁波)如图 1， O 经过等边ABC 的顶点 A， C(圆心 O 在ABC 内)， 分别与 AB， CB 的延长线交于点 D，E，连结 DE，BFEC 交 AE 于点 F (1)求证：BDBE (2)当 AFEF32，AC6 时，求 AE 的长 (3)设
37、AF EF x，tanDAEy 求 y 关于 x 的函数表达式； 如图 2，连结 OF，OB，若AEC 的面积是OFB 面积的 10 倍，求 y 的值 O F D A BC E O F D A C B E 图 1 图 2 (第 26 题图) 解析本题综合考查了圆，等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质第(1)小题中利用同弧所 对的圆周角相等，等角对等边推出两边相等第(2)小题中利用等边ABC 的性质求出相关边长，再 利用相似三角形对应边成比例求出 EG 长，然后由勾股定理求出 AE第(3)小题中通过构造直角三角 形，有效利用 tanDAE，找出 y 与 x 之间的函数关系；通过设参数 a 表
38、示相关线段长，由面积关系 找出等量关系，既而求出 y 值 答案解：(1)ABC 为等边三角形，BACC60， DEBBAC60，DC60， DEBD，BDBE (2)如图，过点 A 作 AGEC 于点 G， ABC 是等边三角形，AC6， BG 1 2 BC 1 2 AC3， 在 RtABG 中，AG3BG3 3 BFEC，BFAG， AF EF BG EB ， AFEF32，BE 2 3 BG2，EGBEBG325， 在 RtAEG 中，AE 22 AGEG+ 22 (3 3)5+213 (3)如图，过点 E 作 EHAD 于点 H EBDABC60， 在 RtBEH 中， EH BE si
39、n60 3 2 ， EH 3 2 BE，BH 1 2 BE， BG EB AF EF x，BGxBE， ABBC2BG2xBE， AHABBH2xBE 1 2 BE(2x 1 2 )BE， 在 RtAHE 中，tanEAD EH AH 3 2 1 (2) 2 BE xBE+ 3 41x+ ， y 3 41x+ G O F D A BC E （第 26 题第（2）题解） （第 26 题第 （3） 题解） H G O F D A BC E 如图，过点 O 作 OMEC 于点 M，设 BEa， BG EB AF EF x，CGBGxBEax， ECCGBGBEa2ax， EM 1 2 EC 1 2
40、aax， BMEMBEax 1 2 a， BFAG，EBFEGA， BF AG BE EG a aax+ 1 1x+ AG3BG3ax，BF 1 1x+ AG 3 1 ax x+ ， OFB 的面积 2 BF BM 1 2 3 1 ax x+ (ax 1 2 a)， AEC 的面积 2 EC AG 1 2 3ax(a2ax)， AEC 的面积是OFB 的面积的 10 倍， 1 2 3ax(a2ax)10 1 2 3 1 ax x+ (ax 1 2 a)， 2x27x60，解得 x12，x2 3 2 ， y 3 9 或 3 7 分值14 章节:12713相似三角形应用举例 难度:5高难度 类别:易错题 考点:圆周角定理 考点:等角对等边 考点:平行线分线段成比例 考点:勾股定理 考点:正弦 考点:由平行判定相似 考点:正切 考点:圆与相似的综合 考点:一元一次方程的应用(几何图形) 考点:几何综合 （第 26 题第 （3） 题解） MG O F D A C B E
