1、1 2 51 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 52 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 53 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 54 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 55 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 56 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课弯曲内力习题课 第五章第五章 弯曲内力弯曲内力 3 41 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 一、弯曲的概念一、弯曲的概念 1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲
2、线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。 4 3. 3. 工程实例工程实例 5 6 4. 4. 平面弯曲：平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。 对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。 纵向对称面纵向对称面 M P1 P2 q 7 非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。 8 二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身
3、的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。 3. 支座简化支座简化 9 固定铰支座 2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。 可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。 10 固定端 3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 XA YA MA 4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式 简支梁 M 集中力偶集中力偶 q(x) 分布力 分布力 悬臂梁 11 外伸梁 集中力集中力 P q 均布力 均布力 5. 静
4、定梁与超静定梁静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。 12 例例11贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm， 钢的密度为： 7.8g/cm ，液体的密度为：1g/cm ,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。 解：解： q 均布力 均布力 13 L gLAgLA L gV L mg q 2211 rad85513106 0 gRRgDt 2 22 1 )sin( 2 1 gAgA 2211 (kN/m) 9 9.81000)sin106.3(1.8
5、550.5 2 1 0.53.148978000101143 2 2 . q 均布力 均布力 14 42 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 一、弯曲内力：一、弯曲内力： 举例举例已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。 P a P l YA XA RB A A B B 解：求外力 l alP YY l Pa Rm XX A BA A )( , 0 , 0 0 , 0 15 A B P YA XA RB m m x 求内力截面法 xYMm l alP YQY AC A , 0 )( , 0 A YA Q M RB P M Q 弯曲构件内力 剪力 弯矩 1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
6、其作 用面垂直于截面的内力偶矩。 C C 16 2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。 3.内力的正负规定: 剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。 Q(+) Q() Q() Q(+) M(+) M(+) M() M() 17 例例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。 x y qLQ QqLY 1 1 0 解：解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。 图（a） 11 11 0)( qLxM MqLxFm iA 二、例题二、例题 q qL a b 1 1 2 2 qL Q1
7、 A M1 图（b） x1 18 L)axq Q 22 ( axqMqLx Fm iB 0)( 2 1 , 0)( 2 222 2-2截面处截取的分离体如图（c） )ax( qQqLY0 22 2 2 22 )( 2 1 qLxaxqM x y 图（a） q qL a b 1 1 2 2 qL Q2 B M2 x2 图（c） 19 1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。 2. 剪力图和弯矩图： ) ( x Q Q 剪力方程 ) ( x M M 弯矩方程 ) ( x Q Q 剪力图 的图线表示 ) ( x M M 弯矩图 的图线表示 43 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程
8、剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 20 例例3 3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 PY)x(Q O 解：求支反力 )Lx(P MxY)x(M OO 写出内力方程 PL MPY OO ; P YO L 根据方程画内力图 M(x) x Q(x) Q(x) M(x) x x P PL MO 21 解：写出内力方程 根据方程画内力图 qx)x(Q 2 2 1 qx)x(M L q M(x) x Q(x) Q(x) x M(x) x qL 2 2 qL 22 )3( 6 22 0 xL L q )x(Q 解：求支反力 内力方程 3 ; 6 00 Lq R Lq R BA q0 RA 根据方程画内力
9、图 RB L )xL( L xq xM 22 0 6 )( x L 3 3 Q(x) x 6 2 0L q 3 2 0L q 27 3 2 0L qM(x) 23 一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系 对dx 段进行平衡分析，有： 0dd 0 )x(Q)x(Qx)x( q)x(Q Y )x(Qx)x( qdd 44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 dx x q(x) q(x) M(x)+d M(x) Q(x)+d Q(x) Q(x) M(x) dx A y xq x xQ d d 剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处
10、的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 24 q(x) M(x)+d M(x) Q(x)+d Q(x) Q(x) M(x) dx A y 0)(d)()()(d( 2 1 )d( , 0)( 2 xMxMxMxxqxxQ Fm iA )( d )(d xQ x xM 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM 弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是： 25 二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 外 力 无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
11、q=0 q0 q0 Q Q0 q0 Q Q0 x 斜直线 增函数 x Q x Q 降函数 x Q C Q1 Q2 Q1 Q2=P x Q C 自左向右突变 无变化 斜直线 x M 增函数 x M 降函数 x M x M x M x M 曲线 坟状 盆状 自左向右折角 折向与P反向 M1 M2 自左向右突变 与 m 反 mMM 21 45 例例1 绘制下列图示梁的弯矩图。 2P a a P = 2P P + x M x M1 x M2 = + + + 2Pa 2Pa Pa (1) 46 (2) a a q q q q = + x M1 = x M + + x M2 3qa2/2 qa2/2 qa
12、2 47 (3) P a a PL/2 = + P x M2 x M = + PL/2 PL/4 PL/2 x M1 + PL/2 48 (4) 50kN a a 20kNm = + x M2 x M = + 20kNm 50kNm x M1 20kNm 50kN 20kNm 20kNm + + 20kNm 30kNm 20kNm 49 y z h b ) 4 ( 2 2 2 y h I Q bI QS zz z 解： （1）横截面的剪应力为： 例例22结构如图，试证明： （1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力； （2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩； （3）过高度中点做纵
13、截面，那么，此纵截面上的剪应力的 合力由哪个力来平衡？ q 50 h. h.zA yBy h I Q A 50 50 2 2 d) 4 ( 2 d MI I M A I My M z z h. h.z z 50 50 2 d (2) 横截面上的合剪力为： Q) h ( h I QB z 23 2 4 2 3 3 (3) 合力偶 51 )( bh qx . A xQ .51 )( 51 max h qL x)qx( h AQ LL AB 4 3 d 2 3 d 2 00 z A W AM AN 22 1 1max 1max 1 1 AAB NQ (4)中面上的剪应力为： 纵面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡。 (5) 纵截面上的合剪力大小为： max h qLbh bh qL 4 3 2 6 22 1 2 2 2 52
