1、 71 概述概述 72 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 73 求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法 74 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角 75 梁的刚度校核梁的刚度校核 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 76 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 77 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法 78 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 7 7 概概 述述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f
2、同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： v =f (x) 三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) d d tgf x f 小变形小变形 P x v C C1 f 7-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 z z EI xM)(1 一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程 z z EI xM
3、 xf )( )( 式（2）就是挠曲线近似微分方程。 EI xM xf )( )( （2） )( )1 ( )(1 2 3 2 xf f xf 小变形小变形 f x M0 0)( x f f x M0 0)( x f )()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线） )()(xMxfEI 1 d)()(CxxMxfEI 21 d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A B C P D 讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等
4、截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： 0 A f0 B f 0 D f0 D CC ff CC 右左 或写成 CC 右左 或写成 CC ff 例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 )()(LxPxM 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 )()(xLPxMfEI 1 2 )( 2 1 CxLPfEI 21 3 )( 6 1 CxCxLPEIf 0 6 1 )0( 2 3 CPLEIf
5、 0 2 1 )0()0( 1 2 CPLfEIEI 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 PLCPLC 解： P L x f 写出弹性曲线方程并画出曲线 323 3)( 6 )(LxLxL EI P xf EI PL Lff 3 )( 3 max EI PL L 2 )( 2 max 最大挠度及最大转角 x f P L 解：建立坐标系并写出弯矩方程 )( 0 )0( )( )( Lxa axaxP xM 写出微分方程的积分并积分 1 1 2 )( 2 1 D CxaP fEI 21 21 3 )( 6 1 DxD CxCxaP EIf )( 0 )0( )( Lxa axxaP fEI x f
6、 P L a 应用位移边界条件求积分常数 0 6 1 )0( 2 3 CPaEIf 0 2 1 )0( 1 2 CPaEI 3 22 2 11 6 1 ; 2 1 PaDCPaDC )()( afaf )()( aa 11 DC 2121 DaDCaC P L a x f 写出弹性曲线方程并画出曲线 )(a 3 6 )0( 3)( 6 )( 32 323 Lx axa EI P ax axaxa EI P xf aL EI Pa Lff3 6 )( 2 max EI Pa a 2 )( 2 max 最大挠度及最大转角 P L a x f 7-3 求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭
7、梁法 )()(:梁的挠曲线微分方程xMxfEI 一、方法的用途：求一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。梁上指定点的挠度与转角。 二、方法的理论基础：相似比拟。二、方法的理论基础：相似比拟。 )()(:为梁的外载与内力的关系xqxM 上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。 三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）： x轴指向及坐标原点完全相同。 几何形状完全相同。 实梁对应方程： )()(xMxfEI )()(xqxM )()( xMxfEI 虚梁“力”微分方程的积分 0 0 d)
8、()()(QxxqxMxQ x 00 00 d)d)()(MxQxxxqxM xx 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq )()(xqxM 虚梁对应方程： )()( xMxEIf 下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。 实梁“位移”微分方程的积分 )()(xMxfEI 0 0 )()(EIdxxMxfEIEI x 00 00 d)d)()(EIfxEIxxxMxEIf xx )()( xQxEI 依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。 AAAA QEIMEIf ; 中间铰中间铰 支座支座A 虚虚虚虚 梁梁梁梁 实实实实 梁梁梁梁 共共 轭轭 梁梁 支 承 和 端 部 情
9、况支 承 和 端 部 情 况 位移边界位移边界相应的支承和端部情况相应的支承和端部情况 力边界力边界 0 A f 0 A 0 A f 0 A 右左AA 右左AA ff 右左AA MM 右左AA QQ 固定端固定端A A 0 A M 0 A Q 0 A M 0 A Q 0 A M 0 A Q 0 A f 0 A 0 右左AA 0 A f 0 右左AA QQ 0 A M 固定端固定端A A 自由端自由端A A 自由端自由端A A 铰支端铰支端A A 铰支端铰支端A A 中间铰中间铰 支座支座A 中间铰中间铰A 中间铰中间铰A 总结：等截面实梁与虚梁的关系如下：总结：等截面实梁与虚梁的关系如下： x
10、 轴指向及坐标原点完全相同。 几何形状完全相同。 依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。 AAAA QEIMEIf ; EI Q EI M f x x x x ; 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。 a ：固定端 自由端 b ：铰支座 铰支座 c ：中间铰支座 中间铰链 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq 解： 建立坐标和虚梁 例例2 2 求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。 求虚梁B点的剪力和弯矩， 以求实梁B点的转角和挠度 求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载 2 )( 2 q )( xLxM 2 )( 2 q )( )( xLxMxq q L A B f
11、x 2 2 0 qL q )(xq A B L 求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度 3 0L q QEI BB 84 3 4 qLL AMEIf qBB EI qL B 6 3 EI qL fB 8 4 面积)的(点左侧 xqBQB 2 2 0 qL q )(xq A B L 面积对)的(点左侧 xqB B M B点之矩 解： 建立坐标和虚梁 求虚梁B点的剪力和弯矩 求实梁的弯矩方程以确定 虚梁荷载 ) )( M(xxq 2 ; 2 qa R qa R DA q qa2 qa A B C D qa2/2 x M qa2/2 qa2/2 3qa2/8 + a a a f x D 求
12、虚梁B点的剪力和弯矩 72 13 3 qa RA 3 23 72 5 22 1 72 13 qaa qaqa B Q C点左右位移怎样？点左右位移怎样？ 4 23 72 7 322 1 72 13 qa a a qa a qa B M EI qa B 72 5 3 EI qa fB 72 7 4 qa2/2 x M qa2/2 qa2/2 3qa2/8 + A B C a a a D qa2/2 3qa2/8 将截面的变化折算到弯矩之中去。 几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。 实梁对应方程： 虚梁对应方程： )()( 0 xMxfEI )()(xqxM 四、变截面直梁的共轭梁法：四、变截面
13、直梁的共轭梁法： 00 0 )( )( )( )( EI xM I I xEI xM xf )()( 0 xMxfEI )( )()( 0 xI I xMxM 其它与等截面直梁完全相同。 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq 例例3 3 求下列变截面直梁C点的位 移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。 解： 建立坐标和虚梁 ) )( (xMxq ADADAD xM xI I xMxM)( )( )()( 0 2 )( )()( DE DE AD DEDE xM I I xMxM a a P 0.5a A B C D E x f x M 2 Pa 4 Pa 4 Pa 4 Pa
14、M )(xq 4 Pa 4 Pa 4 Pa a a P 0.5a A B C D E x f x M 2 Pa 4 Pa 4 Pa 4 Pa M )(xq 4 Pa 4 Pa 4 Pa 求虚梁C点的剪力和弯矩 32 5 2 Pa RA 0 C Q 3 32 3 6282 1 428 Pa aaPaaaPa 0 C AD C EI Pa f 32 3 3 3 2 242 1 32 5 2 aaPa a Pa C M 7 7- -4 4 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角 一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数
15、和。 )()()()( 221121nnn PPPPPP )()()()( 221121nnn PfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 例例4 4 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。 解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 EI Pa f PC 6 3 EI Pa PA 4 2 EI qL fqC 24 5 4 EI qa qA 3 3 q q P P = + A A A B B B C a a EI Pa f PC 6 3 EI Pa PA 4 2 EI qL fqC 24 5 4 EI qa qA 3 3 q q P
16、 P = + A A A B B B C a a 叠加 qAPAA )43( 12 2 qaP EI a EI Pa EI qa fC 624 5 34 例例5 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图 由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 叠加 EI bLbP f dPC 48 )43()d( 32 b L bq xxqPd 2 d)(d 0 b EI bLqb d 24 )43( 322 dPCqC ff EI qL b EIL bLqb L 240 d 24 )43( 4 5.0 0 322 q0 0.5L 0.5L x dx b x f C 例例6 结构形式叠加（逐段刚化
17、法) 原理说明。 = + P L1 L2 A B C B C P L2 f1 f2 等价 等价 x f x f 21 fff f P L1 L2 A B C 刚化刚化AC段段 P L1 L2 A B C 刚化刚化BC段段 P L1 L2 A B C M x f 7 7- -5 5 梁的刚度校核梁的刚度校核 ) 1000 1 250 1 ( :对土建工程( max L f L f L f m ax 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件 进行如下三种刚度计算： 、校核刚度： 、设计截面尺寸； 、设计载荷。 L f L fmax m ax (但：对于
18、土建工程，强度常处于主要地位， 刚度常处于从属地位。特殊构件例外） P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B 例例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm， 杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001 弧度,试核此杆的刚度。 = + + = P1=1kN A B D C P2 B C D A P2=2kN B C D A P2 B C a P2 B C D A M P2 B C a = + + 图图1 1 图图2 2 图图3 3 EI aLP af BC 16 2 1 11 EI LP B
19、 16 2 1 1 EI LaP EI ML B 33 2 3 EI LaP af BC 3 2 2 33 解：结构变换，查表求简单 载荷变形。 0 2 B EI aP f C 3 3 2 2 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B P1=1kN A B D C P2 B C D A M x f P2 B C a = + + 图图1 1 图图2 2 图图3 3 P L=400mm P2=2kN A C a=0.1m 200mm D P1=1kN B P1=1kN A B D C P2 B C D A M x f EI LaP EI aP EI
20、aLP fC 3316 2 2 3 2 2 1 EI LaP EI LP B 316 2 2 1 叠加求复杂载荷下的变形 48 1244 44 m10188 10)4080( 64 14. 3 )( 64 dDI m1019. 5 3316 6 2 2 3 2 2 1 EI LaP EI aP EI aLP fC )(10423. 0) 3 200 16 400 ( 1880210 4 . 0 316 4 2 2 1 弧度 EI LaP EI LP B 001. 010423. 0 4 max L f L fmax m10m1019.5 56 m ax ff 校核刚度 dx x Q Q+dQ
21、M M+dM 一、弯曲应变能的计算：一、弯曲应变能的计算： 76 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 EI xM)(1 d)( 2 1 ddxMWU x EI xM Ud 2 )( d 2 L x EI xM Ud 2 )( 2 xd d 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 ddM d M(x) P1 M x f P2 dx d 例例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 C PfW 2 1 解：外力功等于应变能 L x EI xM Ud 2 )( 2 )0( ; 2 )(axx P xM 在应用对称性，得： EI aP xx P EI U a 12 d) 2 ( 2 1 2 32 0
22、2 EI Pa fUW C 6 3 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ P a a q x f 二、二、 梁的冲击问题梁的冲击问题 1.1.假设：假设： 冲击物为钢体； 不计被冲击物的重力势能和动能； 冲击物不反弹； 不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。 0)( 2 1 冲击前 2 111 d fhmgmv UVT mg L h A B C A B C x f fd 22 2 222 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 1 00 冲击后 d j d j j ddd f f mg f f P fkfP UVT 冲击前、后，能量守恒，所以： A B C x f fd 22 )(
23、 2 )( 2 1 d j d f f mg fhmgmv jdj j fKf f hgv f ) 2)( 11 ( 2 d jj d d f hgv f f K 2) 2 ( 11: 动荷系数 j f h d K 2 11:)1(自由落体2:)2( d K突然荷载 h B A C mg E =P 三、动响应计算：三、动响应计算： 解：求C点静挠度 221 1 ; 2 P ACj RCC AA f 动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积. . 例例9 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点， 求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动
24、应力。 ABDE A EI PL EI LR 9648 33 EI PL 192 5 3 C1 A1 D EIEIEI DEAB L C2 动荷系数 3 64 11 2 11 PL EIh f h d K Cj 求C面的动应力 zz C dCjdCd W PL PL EIh W M KK 4 ) 64 11( 3 maxmax h B A C mg E =P C1 A1 D EIEIEI DEAB L C2 7-7 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法 1、处理方法：变形协调方程、物理 方程与平衡方程相结合，求全部未 知力。 解：建立静定基 确定超静定次数，用反力 代替多余约束所得到的
25、结构 静定基。 = EI q0 L A B L q0 MA B A q0 L RB A B x f 几何方程变形协调方程 0 B BRBqB fff + q0 L RB A B = RB A B q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 EI LR f EI qL f B BRBq B 3 ; 8 34 0 38 34 EI LR EI qL B 8 3qL RB 求解其它问题（反力、应力、 变形等） 几何方程 变形协调方程： 解：建立静定基 BCBRBqB Lfff B = 例例10 结构如图，求B点反力。 LBC EA x f q0 L RB A B C q0 L RB A B EI
26、 = RB A B + q0 A B = LBC EA x f q0 L RB A B C RB A B + q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 求解其它问题（反力、应力、 变形等） EI LR f EI qL f B BRBq B 3 ; 8 34 EA LR EI LR EI qL BCBB 38 34 ) 3 (8 3 4 EI L A L I qL R BC B EA LR L BCB BC 7 7- -8 8 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力 强度：正应力： 剪应力： max z W M z z bI QS * z EI XM f )( 刚度： 稳定性： 都与内力
27、和截面性质有关。 一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 北宋李诫于1100年著 营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著 自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为 刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2 b h b h R b h 一般的合理截面 A Q 3 4 33. 1 mmax 32 3 1 D Wz 1 32 2 1.18 6 )( 6 zz W Rbh W mmax 5 . 1 )2/( ;, 4 1 2 2 1 DRaa D 时当 1 1、在面积相
28、等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a a 1.05 12 1 3 2zz I bh I mmax 2 1 4 3 3 75. 2 )0.8-(1 32 zz W D W 1 222 1 67. 1, 4 )8 . 0( 4 DD DDD 时当 11 2 1 2 1 2,2 4 Daa D 时当 1 3 1 2 4 67. 1 6 4 6 zz W abh W mmax 5 . 1 z D 0.8D a1 2a1 z 59. 4)8 . 01 ( 64 1 4 4 3zz I D I 2.09 12 8 12 z1 4 1 3 4 I abh
29、 I z 55.9 15zz II )(= 3 . 2 mmax f A Q 工字形截面与框形截面类似。 15 57. 4 zz WW 12 2 2 2 2 2 1 05. 1,6 . 18 . 02 4 Daaa D 时当 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 G z 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图： 二、采用变截面梁二、采用变截面梁 最好是等强度梁，即 )( )( )( max xW xM x 若为等强度矩形截面，则高为 )(6 )( b xM xh 同时 )( 5 . 1 max xbh Q 5 . 1)( b Q
30、 xh P x EI PL y 3 max 021. 0 EI PL y 3 max 014. 0 EI PL y 3 max 0073. 0 三、合理布置外力（包括支座），使三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。 P L/2 L/2 M x + PL/4 P L/4 3L/4 M x 3PL/16 P=qL L/5 4L/5 对称 M x qL2/10 EI qL y 4 max 013.0 EI qL y 4 3 max 107875. 0 EI qL y 4 3 max 10326. 0 M x 8 2 qL q L L/5 q L/5 40 2 qL 50
31、2 qL M x q L/2 L/2 32 2 qL M x 512/9 2 qL Z Y cr I I L GEb 四、梁的侧向屈曲四、梁的侧向屈曲 1.矩形纯弯梁的临界载荷 M M x y z 2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷 M M x y z h Z Y Z Y Z Y cr I I I I EG I I L E L 2 2 2 2 )( 2 h 由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳 的可能性却增大了，这点应引起注意。 五、选用高强度材料，提高许用应力值五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“ jx”相差较大相差较大，故换故换 用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E= =200GPa , , 铜铜 E= =100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳 定性的目的。但是，改换材料，其定性的目的。但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生也会随之发生 很大的改变！很大的改变！
