1、1 2 61 引言引言 62 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 63 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 64 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面 65 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心 66 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩 第五章第五章 弯曲应力弯曲应力 6 6 引言引言 1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力 内力 剪力Q 剪应力t t 弯矩M 正应力s s 平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
2、平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况) 2、研究方法、研究方法 纵向对称面纵向对称面 P1 P2 例如： 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 P P a a A B Q M x x 纯弯曲纯弯曲(Pure Bending): 6 62 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变 形后仍为直线，但有转动； 纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变 形后仍正交。 （一）变形几何规律：（一）变形几何规律： 一、一、 纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面 上的正应力上的正应力 中
3、性层中性层 纵向对称面纵向对称面 中性轴中性轴 b d a c a b c d M M 横截面上只有正应力。 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 （可由对称性及无限分割法证明） 3.推论 2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 A1 B1 O1 O 4. 几何方程： (1) y x a b c d A B dq q x y 11111 OOBA AB ABBA x OO1 q qqyy + d dd)( （二）物理关系：（二）物理关系： 假设：纵向纤维互
4、不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。 (2) s Ey E xx s sx s sx （三）静力学关系：（三）静力学关系： 0ddd s z AAA x ES Ay E A Ey AN 轴过形心中性)( 0zSz 0dd)d( s yz AAA y EI Ayz E A Eyz zAM （对称面）（对称面） M EI Ay E A Ey yAM z AAA z sdd)d( 2 2 z z EI M 1 (3) EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。 (4) z x I M y s s （四）最大正应力：（四）最大正应力： z W M max s (5) D d D d a )1 ( 3
5、2 4 3 max a D y I W z z 圆环 b B )1 ( 6 3 32 max BH bhBH y I W z z 回字框 max y I W z z 抗弯截面模量。抗弯截面模量。 例例1 受均布载荷作用的简支梁 如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点 的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11 截面的曲率半径。 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 1 x M + 8 2 qL M1 Mmax 1 2 120 180 z y 解：画M图求截面弯矩 kNm60) 22 ( 1 2 1 x qxqLx M 30
6、Q=60kN/m A B 1m 2m 1 1 x M + 8 2 qL M1 Mmax 1 2 120 z y kNm5 .678/3608/ 22 max qLM 4512 33 m10832. 510 12 180120 12 bh Iz 34 m1048. 62/ zz IW MPa7 .6110 832. 5 6060 5 1 21 z I yM ss 求应力 180 30 MPa6 .9210 48. 6 60 4 1 max1 z W M s m4 .19410 60 832. 5200 1 1 M EIz MPa2 .10410 48. 6 5 .67 4 max max z W
7、 M s 求曲率半径 Q=60kN/m A B 1m 2m 1 1 x M + 8 2 qL M1 Mmax 1 2 120 180 30 6 63 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡 0)( 112 dxbNNXt dx x Q(x)+d Q(x) M(x) y M(x)+d M(x) Q(x) dx s s x y z s s1 1 t t1 1 t t 图图a 图图b 图图
8、c dx x Q(x)+d Q(x) M(x) y M(x)+d M(x) Q(x) dx s s x y z s s1 1 t t1 1 t t 图图a 图图b 图图c z z A z A I MS Ay I M AN * * * dd 1 s z z I SMM N * + )d( 2 z z z z bI QS bI S x M * d d 1 t 由剪应力互等由剪应力互等 z bI QS y * 1 )(ttt ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 y hb y h b y h AyS cz + * tt5 . 1 2 3 max A Q ) 4 ( 2 2 2 y h I Q
9、z 矩 t Q t t方向：与横截面上剪力方向相同； t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 二、其它截面梁二、其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为： z z bI QS * 1 t 其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩； * 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 工字钢截面：工字钢截面： max t min t ; max A Q t t f 结论：结论： 翼缘部分tmax 腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅
10、垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力 Af 腹板的面积。 ; max A Q t t f 圆截面： tt 3 4 3 4 max A Q 薄壁圆环： tt22 max A Q 槽钢： x y z P QRR z z bI QS * ，合力为腹板上; t 。合力为翼缘上H z I QA ; 2 1 * t 0)d( A x dAM 力臂 t R Hh e Q e Q e h 6-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面 1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截
11、面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。 Q t t s s s s s s M t t 一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件 2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件： 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲） t tt t * * z z Ib SQ maxmax max s ss s z W Mmax max 3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算： s s M Q t
12、t t t s s 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况： 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相 应比值时，要校核剪应力。 梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。 、校核强度： 校核强度： 设计截面尺寸： 设计载荷： ; maxmax ttss max s M Wz )( ; maxmax MfPWM z s 解：画内力图求危面内力 例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面 木梁如图，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力 之比,并校核梁的强度。
13、N5400 2 33600 2 max qL Q Nm4050 8 33600 8 22 max qL M q=3.6kN/m x M + 8 2 qL A B L=3m Q 2 qL 2 qL + x 求最大应力并校核强度 应力之比 7 .16 3 2 max max max h L Q A W M z t s q=3.6kN/m x M + 8 2 qL Q 2 qL 2 qL + x 7MPa6.25MPa 18. 012. 0 405066 22 maxmax max s s bh M W M z 0.9MPa0.375MPa 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 ma
14、x max t t A Q y1 y2 G A1 A2 A3 A4 解：画弯矩图并求危面内力 例例3 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的sL=30MPa，sy=60 MPa，其截面形心位于C点， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ kN5 .10;kN5 . 2 BA RR )(kNm5 . 2下拉、上压 C M （上拉、下压）kNm4 B M 4 画危面应力分布图，找危险点 P1=9kN 1m 1m 1m P2=4kN A B C D x 2.5kNm -4kNm M 校核强度 MPa2 .28 10763 885
15、. 2 8 2 2 z C LA I yM s MPa2 .27 10763 524 8 1 3 z B LA I yM s MPa2 .46 10763 884 8 2 4 z B yA I yM s LL ss2 .28 max yy ss2 .46 max T字头在上面合理。 y1 y2 G A1 A2 A3 A4 x 2.5kNm -4kNm M y1 y2 G A3 A4 二、梁的合理截面二、梁的合理截面 （一）矩形木梁的合理高宽比（一）矩形木梁的合理高宽比 R 北宋李诫于1100年著 营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1
16、807年著 自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为 刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2 b h b h b h A Q 3 4 33. 1 mmax tt 32 3 1 D Wz 1 32 2 1.18 6 )( 6 zz W Rbh W mmax 5 . 1tt )2/( ;, 4 1 2 2 1 DRaa D 时当 强度：正应力： 剪应力： 1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 ss z W M tt z z bI QS * 其它材料与其它截面形状梁的合理截面 z D z a a m tt2 max 1 4
17、3 3 75. 2 )0.8-(1 32 zz W D W 1 222 1 67. 1, 4 )8 . 0( 4 DD DDD 时当 11 2 1 2 1 2,2 4 Daa D 时当 1 3 1 2 4 67. 1 6 4 6 zz W abh W m tt5 . 1 max z D 0.8D a1 2a1 z )(= 3 . 2 mmax f A Q tt 工字形截面与框形截面类似。 15 57. 4 zz WW 12 2 2 2 2 2 1 05. 1,6 . 18 . 02 4 Daaa D 时当 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字
18、形类的截 面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱， 而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图： 2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 s s G z （二）采用变截面梁（二）采用变截面梁 ，如下图：，如下图： 最好是等强度梁，即 )( )( )( max ss xW xM x 若为等强度矩形截面，则高为 )(6 )( sb xM xh 同时 )( 5 . 1 max tt xbh Q 5 . 1)( tb Q xh P x 6-5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心开口薄壁截面的弯曲中心 轴过形心中性)( z
19、 0 z S 0dd)d( s yz AAA y EI Ayz E A Eyz zAM 0dd)d( s z AAA ES Ay E A Ey AN 外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、, 0zyI yz 几何方程与物理方程不变。 P x y z O M EI Ay E A Ey yAM z AAA z sdd)d( 2 2 exdAM A x 轴到杆轴的距离依此确定 力臂 , 0)d( t 依此确定正应力计算公式。 剪应力研究方法与公式形式不变。 弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O） P x y z O 槽钢： 非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必
20、须作用在主惯性面非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面 内，中性轴为形心主轴，内，中性轴为形心主轴，, ,若是横向力，还必须过弯曲中心。若是横向力，还必须过弯曲中心。 x y z P P s s M QRR z z bI QS * ，合力为腹板上; t 。合力为翼缘上H z I QA ; 2 1 * t 0)d( A x dAM 力臂 t R Hh e Q e z z bI QS * : :求任意一点剪应力求任意一点剪应力 弯曲中心的确定弯曲中心的确定: : A C dAM 力臂 向形心简化)d(:t (1)双对称轴截面，弯心与形心重合。 (2)反对称截面，弯心与反对称中心重合
21、。 (3)若截面由两个狭长矩形组成， 弯心与两矩形长中线交点重合。 (4)求弯心的普遍方法： yC eQMe :求弯心到形心距离 C C C Qy e C s ss s ss 6-6 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩 （一）物理关系为：（一）物理关系为： sx ss 全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。 s s s ss s ss 理想弹塑性材料的理想弹塑性材料的 s s 图图 s ss s ss 弹性极限弹性极限 分布图分布图 塑性极限塑性极限 分布图分布图 （二）静力学关系：（二）静力学关系： )( 依此确定中性轴的位置 CS AA 0)(dd)(d+
22、CSs A s A s A AAAAAN SC ssss )( 轴的位置依此确定y CySy SS 0)(dd)()d(+ cySys A s A s A y SSAzAzzAM LC ssss （一）物理关系为：（一）物理关系为： sx ss y z x s ss Mjx 横截面图 正应力分布图 + 压拉 A S A S A z AyAyyAMdd)d(sss jxzzS MSS)( 压拉 s y z x s ss Mjx 横截面图 正应力分布图 )( zzSjx SSM 压压拉拉 s s SS Ws s 例例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之 比。 解： ss bh WMss 6 2 max ssszsSjx bhhbh SWMssss 442 22 2 拉 3 2 max jx M M 41
