1、1. 1. 弹性杆件的变形与变形能计算弹性杆件的变形与变形能计算 2. 2. 变形体虚功原理变形体虚功原理 3. 3. 单位荷载法单位荷载法 4. 4. 图乘法图乘法 5. 5. 其他外因引起的位移计算其他外因引起的位移计算 6. 6. 互等定理互等定理 7. 7. 结论与讨论结论与讨论 第三章第三章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 Displacement of Statically Determinate Structures 1 结构位移计算概述结构位移计算概述 一、结构的位移一、结构的位移 (Displacement of Structures) x y A A FP 线位移，角
2、位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移广义位移 线位移线位移 角位移角位移 DC 相对线位移相对线位移 C D D C FP 相对角位移相对角位移 制造误差制造误差 等等 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: 二、二、 计算位移的目的计算位移的目的 引起结构位移的原因引起结构位移的原因 (1) 刚度要求刚度要求 如：如： 荷载、荷载、 温度温度改变改变 T、 支座移动支座移动 c、 在工程上，在工程上， 吊车梁允许的挠度吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度； 桥梁在竖向活载下，桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度钢板桥梁和钢桁梁最大挠度
3、 1/700 和和1/900跨度跨度 高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。 （3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)。 三、三、 本章位移计算的假定本章位移计算的假定 (2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求）施工要求 叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition) (1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形小变形 (Small Deformation), 返返 首首 2 变形体虚功原理变形体虚功原理
4、(Principle of Virtual Work) 一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功 (Virtual Work) 两种状态两种状态 力状态力状态 位移状态位移状态 FP FP /2 FP /2 （虚）力状态力状态 （虚力状态） （虚位移状态） 无关无关 （虚）位移状态位移状态 q 注意：注意： （3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关； （2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变变 形协调条件形协调条件；力状态应满足；力状态应满足平衡平衡 条件条件。 （1）属）属同一同一体系；体系； 一些基本概念：一些基本概念：
5、实功：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功广义力在自身所产生的位移上所作的功 功：功：力力力方向位移之总和力方向位移之总和 广义力：广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功的表达式中，与广义位移对应的项 功：功：广义力广义力广义位移之总和广义位移之总和 虚功：虚功：广义力与广义位移无关时所作的功广义力与广义位移无关时所作的功 W=FP111 /2 or W=FP222 /2 W=FP112 or W=FP221 W=FP/2 变力功变力功 （1）质点系的虚位移原理）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和某一位置处于平衡的必要和 充分
6、条件是：充分条件是： 1P F 2N F 1N F 2P F 1 m 2 m 二、变形杆件的虚功原理二、变形杆件的虚功原理 fi ri=0 . 对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移， 作用于质点系的主动力所作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即做虚功之和为零。也即 （2）刚体系的虚功原理）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是： 对于任何对于任何可能可能的的 虚位移，作用于刚虚位移，作用于刚 体系的所有外力所体系的所有外力所 做
7、虚功之和为零。做虚功之和为零。 FP Ax F B F Ay F P B - -FP P +FB B=0 原理的表述：原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移时所作的总虚功在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变 形体所接受的总虚变形功形体所接受的总虚变形功Wi。也即恒有。也即恒有 如下虚功方程成立如下虚功方程成立 We = =Wi （3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明 虚位移是光滑、连续的，相邻分割面虚虚位移是光滑、连续
8、的，相邻分割面虚 位移相同。位移相同。 将变形体分割成若干将变形体分割成若干(有限或无限有限或无限)部分，部分， 计算各部分外力总虚功有两种方案计算各部分外力总虚功有两种方案 方案一：方案一： 各部分上的外力区分为：外荷载和分割各部分上的外力区分为：外荷载和分割 面内力两类，相邻分割面内力互为作用与面内力两类，相邻分割面内力互为作用与 反作用关系。反作用关系。 各部分外力总虚功各部分外力总虚功=外荷载总虚功外荷载总虚功 W = =We 变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明 变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。变形体是平衡的，其各部分也必然平衡。 因此，各部分上的外力是平衡力系。因此，各部分
9、上的外力是平衡力系。 方案二：方案二： 各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变各部分的虚位移区分为：刚体虚位移和变 形虚位移两类。但形虚位移两类。但必须注意必须注意，虚位移是光滑，虚位移是光滑 连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一连续的，可刚体和变形虚位移在分割面处一 般是不光滑、连续的。般是不光滑、连续的。 W = =Wi 根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移根据刚体虚位移原理，外力在刚体虚位移 上的总虚功等于零。因此上的总虚功等于零。因此各部分外力总虚功各部分外力总虚功= 外力在变形虚位移上的总虚功外力在变形虚位移上的总虚功 两方案计算同一内容，因此两方案计算同一内容，因此 We = =W
10、i 需要强调的几个问题需要强调的几个问题 原理的证明表明，原理适用于原理的证明表明，原理适用于任何力学行任何力学行 为为(线性和非线性线性和非线性)的变形体的变形体，适用于，适用于任何结任何结 构构。 虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满 足协调条件。因此原理仅是足协调条件。因此原理仅是必要性命题必要性命题。 由于外力在变形虚位移上所作的功相对分由于外力在变形虚位移上所作的功相对分 割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多割面内力的虚变形功为高阶小量，因此许多 文献上文献上称称Wi为内力总虚功为内力总虚功。
11、 原理可有两种应用：原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位 移状态，将移状态，将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。 需要强调的几个问题需要强调的几个问题 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡 力状态，将力状态，将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理”“虚位移原理”， 而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理”“虚力原理”。更确切。更确切 的说法为，的说法为，两种应用的依据是上述两原理的两种应用的依据是上述
12、两原理的 必要性命题必要性命题。上述两原理都是充分、必要性。上述两原理都是充分、必要性 命题，命题，它们和虚功原理是有区别的它们和虚功原理是有区别的。 质点系是一个离散化体系，变形体是一个质点系是一个离散化体系，变形体是一个 连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原 理理( )“应用于变形体”是不妥当应用于变形体”是不妥当 的。的。 fi ri=0 . 当变形体为杆件体系时，如：当变形体为杆件体系时，如： A B C D q(s) i j p(s) m(s) * j M * Qj F 取任一单元取任一单元 * Nj F * Qi F * i M * Ni F
13、 We 的计算的计算: 当无结点荷载时当无结点荷载时,We =pu+qv+mds 当有结点荷载时当有结点荷载时 We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i 结点荷载结点荷载 结点位移结点位移 Wi 的计算的计算: 微段拉伸微段拉伸 微段剪切微段剪切 微段扭转微段扭转 微段弯曲微段弯曲 Wi =FN+FQ+Mx+Mds 取微段取微段,其受力如下其受力如下 对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以对于直杆体系，由于变形互不耦连，所以 变形可看成有如下几部分变形可看成有如下几部分 微段受力微段受力 杆系结构虚功方程杆系结构虚功方程 根据上述推证，可得杆系结构虚功方程如下根据上述推证，可得
14、杆系结构虚功方程如下 We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i =FN+FQ+Mx +Mds = Wi 以上结论与材料物理性质及具体结构无关，以上结论与材料物理性质及具体结构无关， 因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结 构，也适用于一切非线性结构构，也适用于一切非线性结构。 希望能很好理解，尽可能达到掌握！希望能很好理解，尽可能达到掌握！ 三、虚功原理的两种应用三、虚功原理的两种应用 1）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与 实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。 例例. 求求 A 端的支座反力端
15、的支座反力(Reaction at Support)。 FP A B a C (a) b 解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相，构造相 应的虚位移状态如图应的虚位移状态如图(b)、(c) 0 P CX FX 0 XX a b PX P a b X 待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态 X (b) FP 由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即： X C (c) 直线直线 虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态 通常取通常取 xX 1 单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚对静定结构，这里实际
16、用的是刚体虚 位移原理，实质上是位移原理，实质上是实际受力状态的平衡实际受力状态的平衡 方程方程，即，即 0 B M 几点说明：几点说明： (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位求解时关键一步是找出虚位移状态的位 移关系。移关系。 (2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设 1 x 特点特点: 用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题。 例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点点 的竖向位移的竖向位移 . (a) A B a C b A C c 2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实实 际的际的协
17、调位移状态协调位移状态之间。之间。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，解：首先构造出相应的虚设力状态。即， 在拟求位移之点（在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向点）沿拟求位移方向 （竖向）设置（竖向）设置单位荷载单位荷载。 1 A B C (b) A F 由由 求得：求得： 0 B M a b FA 虚功方程为：虚功方程为： 01cFA c a b 这便是这便是单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，提出， 故也称为故也称为Maxwell-Mohr Method 几点说明：几点说明： (1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。 (3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力求解时关键一步是找出虚力状态的静力 平衡关系。平衡关系。 (2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故虚设的力状态与实际位移状态无关，故 可设单位广义力可设单位广义力 P=1 总的来讲，必须非常清楚的是：总的来讲，必须非常清楚的是： 单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程 特点特点: 是用静力平衡法来解几何问题。是用静力平衡法来解几何问题。 单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 返回首页返回首页
