1、第一章第一章 集合与函数的概念集合与函数的概念哈三中网校哈三中网校 付老师付老师1.1.11.1.1集合的含义与表示集合的含义与表示知识要点讲授知识要点讲授知识网络梳理知识网络梳理规律方法总结规律方法总结易误问题警示易误问题警示数海拾趣数海拾趣知识要点讲授知识要点讲授集合与元素一、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念,只能给出描述性说明:某些指定的对象集在一起就成为一个集合.组成集合的对象叫元素,集合常用大写字母A,B,C来表示.元素常用小写字母a,b,c.来表示.集合是一个确定的整体,因此对象集合也可以这么描述:具有某种属性的对象的全体组成一个集合.知识要点讲授知识要点讲授 拓展拓展
2、应用应用(1)对于集合我们一定要整体的角度来看待它,例如由”我们班的 同学”组成的一个集合A,则它是一个整体,也就是一个班集体,也可以用我们班的序号来代替它(2)构成集合的对象必须是”确定”的,其中”确定”是指构成 集合的对象具有非常明确的特征,这个特征不是摸棱两可的.(3)要注意组成集合的”对象”的广泛性:一方面,任何一个确定 的对象都可以组成一个集合,如人,动物,物体,数,方程,不等式 等都可以作为组成集合的对象;另一方面,就是集合本身也可以 作为集合的对象,如果上面所提到的集合A,可以作为以”我们 高一年级各班”组成的集合B的元素.知识要点讲授知识要点讲授二、元素与集合间的关系元素与集合
3、的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作,aA,元素a不属于集合A,记作,a A拓展拓展 应用应用(1)aA,a A取决于a是不是集合A中的元素,根据聚合中元素 的确定性,可知对任何a与A,在aA,a A,这两种情况中必有 一种成立.(2)符号“”“”是表示元素与集合之间关系的,不能用来表 示集合与集合之间的关系,这一点千万要记准.知识要点讲授知识要点讲授集合中元素的特征确定性确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的,这就是说不确 定的对象就不能构成一个集合,如”高一(1)班高个 子同学”就不能构成集合,因为组成它的对象是不确 定的.互异性互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是
4、不听的(或者说是互异的).这就是说集合中的任何两个元素 都是不同的对象,相同的对象归入同一集合时只能 算作集合的一个元素.无序性无序性:组成集合的元素没有次序,如集合1,2,3和集合 3,2,1是同一集合知识要点讲授知识要点讲授辨证理解集合和元素这两个概念 集合与元素是两个不同的概念,符号 和是表示集合与元 素之见的关系的,不能用来表示集合间的关系,如 11,2,3就不对,而11,2的写法是正确的,由于集合元素的任意性,所以有些集合的元素本身就是集合.一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象 的全体,而非个别现象,如集合xR|x0指大于或等于0的 所有实数,不是指某一个值.集合具
5、有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素,只要是它的元素就必须符合集合的条件知识要点讲授知识要点讲授特定集合的表示对一些常见数集,为了书写方便,常用特定字母来表示:N N-自然数集 N+N+-正整数集 Z Z -整数集 Q Q -有理数集 R R -实数集知识要点讲授知识要点讲授集合的表示法1自然语言表示法自然语言表示法:用文字叙述的形式描述集合的方法.如:由所有 正方体构成的集合 2列举法列举法:将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的 方法 用列举法表示集合,元素不重复,不计次序,不遗漏,且元素与元素间用”,”隔开列举法适合表示有限集,当集合中的元素的个数减少时,用列举
6、法表示集合较为方便,而且使人一目了然.知识要点讲授知识要点讲授集合的表示法用列举法表示集合时用列举法表示集合时,必须注意如下几点必须注意如下几点:(1)元素与元素之间必须用”,”隔开.(2)集合的元素必须是明确的(3)不考虑元素出现的先后顺序(4)集合的元素不能重复(5)集合的元素可以表示任何事物(6)对含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N*=1,2,3知识要点讲授知识要点讲授集合的表示法描述法描述法:把集合中的元素的共同特征描述出来,写在大括号内表示 集合的方法.它的一般形式是xA|P(x).其中”x”
7、是集合 汇总元素的代表形式.”A”是x的范围,”P(x)”是集合中元素的 共同特征,竖线不可省略.用描述法表示的集合,认识它一要看集合的代表元素是什么,它反映了集合元素的形式;二要看元素满足什么条件,对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的,希望同学们能逐步提高对符号语言的认识.描述法又分为描述法又分为:(1)文字描述法-用文字把元素所具有的属性描述 出来,如自然数;(2)符号描述法符号描述法-用符号把元素所具有的属性描述出来用符号把元素所具有的属性描述出来,即即x|P(x)或或xA|P(x)等等.知识要点讲授知识要点讲授集合的表示法用符号描述法表示集合时,注意:(1)弄清元素所具有的形
8、式(即代表元素是什么),是数,还是有序实 数对(点),还是集合,还是其他形式?(2)元素具有怎样的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有 的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词”且”与”或”等联结;若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围.描述法突出了元素所具有的属性,其中文字描述法通俗易懂,而符号描述法则简洁概括但有点抽象,不易看出集合中到底有哪些元素.知识要点讲授知识要点讲授集合的表示法韦恩图法韦恩图法:为了形象地表示集合,常画一条封闭的曲线,用它的内部 来表示一个集合.这几种方法
9、各有特点及适用范围这几种方法各有特点及适用范围:韦恩图法最大特点是形象,直观,但通常它只是作为一种解题的辅助工具,一般集合的表示方法最终结果不用图示法.为了形象地表示集合,我们通常画一条封闭的曲线,用它的内部表示集合,这就是韦恩图法.如集合A=2的倍数和B=3的倍数可表示为图1-1-1-1.韦恩图法最大特点是形象直观,但通常它只作为一种解题的辅助工具,一般集合的表示方法最终结果不是用图示法.知识要点讲授知识要点讲授集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类:有限集有限集:含有有限个元素的集合无限集无限集:含有无限个元素的集合 特别的,我们把不含有任何元素的集合叫做空集空集,记作 ,空集
10、归入有限集.知识网络梳理知识网络梳理集合集合的分类概念 集合集合的表示方法 集合中元素的特性互异性 有限集元素 确定性无序性无限集元素与集合的关系 属于、不属于规律方法总结规律方法总结 将集合的三种语言之间进行相互转化,或将集合语言转化为自然语言,符号语言,有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高根系和解决问题的能力.易误问题警示易误问题警示例：已知A=y|y=，xR，B=m|m=，nR，写出集合 A与集合B的公共元素组成的集合C2x2n分析：对集合的元素理解不清，实质上集合A与B都是由大于等于 0的所有实数组成的集合.正确解答：C=x|x0,xR数海拾趣数海拾趣 黄山遊記 在北宋年間，有個大詞人黃庭堅很愛去黃山旅遊，有一天他帶一位朋友到黃山觀光，途中遇上了一位喜歡旅遊的數學家，於是三人結伴而行。黃庭堅用青山、碧水、勁松、千峰秀，朋友就用 秀峰、千松勁、水碧、山青，數學家用864197532來達黃山，他們都不明白864197532是甚麼意思，數學家在紙上寫了一條算式：青 山、碧 水、勁 松、千 峰 秀 +秀 峰、千 松 勁、水 碧、山 青 這時後他們才知道數學家要跟他們玩數學遊戲，其實答案是：123456789+864197532=987654321
