1、第第7 7章章 联立方程模型联立方程模型 (7.1.1 经济变量的联立依存性：7.1.2 联立方程模型的后果：7.1.3 联立方程模型的基本形式)(7.2.1 识别的有关概念；7.2.2 模型识别的条件；7.2.3 模型识别实例及实用规则)(7.3.1 估计方法概述；7.3.2 工具变量法；8.3.3 二阶段最小二乘法；8.3.4 三阶段最小二乘法)硕士生硕士生经济计量学经济计量学第五讲第五讲2023-1-26制作人：熊义杰17.1 联立方程模型的基本概念联立方程模型的基本概念7.1.1 经济变量的联立依存性 把OLS方法用于单一方程模型，实际上包含了一个基本假定：即解释变量是外生变量，它不受
2、其它任何因素的影响。换言之，即因变量X和解释变量Y只存在单向因果关系。但客观现实并非如此，现实中大量的因果关系都是双向的，即是互为因果的。对于双向因果关系，必须使用多于一个方程的模型来处理，这就是联立方程模型。即如果Yf（X）,Xg（Y），这就表明，X和Y之间的关系只能用多方程模型来描述。所谓，即描述变量之间联立依存关系的方程体系及其相关假设。可以肯定，任一方程实际上都属于某一联立方程组。比如：(1)需求问题 经济理论指出，某商品的需求量与该商品的价格有密切的关系，但反过来，商品价格又受到商品需求量和其它因素比如其它商品价格的影响，即有：iOdidVPaQaaPUPbbQ210102023-1
3、-26制作人：熊义杰2（2）货币供应问题 货币供应量使影响通货膨胀的重要因素。政府控制货币供应量的主要决定因素是居民的实际收入水平。而反过来，居民的收入水平又受到货币供应量和其它因素比如企业的投资状况的影响,即有：iiVIaMaaYUYbbM21010（3）企业投资问题 企业在一定时期投资的多少，与一定时期生产机会的大小即GDP的产出量多少密切相关，而反过来，GDP产出量的大小又受到投资水平和其它因素比如活劳动投入的影响，即应有：iiVLaKaaYUYbbK210102023-1-26制作人：熊义杰37.1.2 联立方程模型的后果联立方程模型的后果 一个严重后果就是，由于Y和X的相互影响，使得
4、OLS估计中的基本假定E（UX）0遭到破坏，因而使得OLS估计成为有偏和不一致估计量。假定有如下模型：其中：E(U)0；E(U2)2；E(UiUj)0；E(V)0；E(V2)0；E(ViVj)0。且 E(UV)0。该模型在数学上是完整的，X、Y是内生变量，Z是外生变量。把Y代入X，则得到：也就是：不难看出，U与X相关，这说明第一个方程中的X不是外生变量。由此也就不难证明，Cov（UX）0。iiVZaYaaXUXbbY2101011111211100111abVUaZabaababaXiiVZaUXbbaaX21010)(（71）2023-1-26制作人：熊义杰4【证】根据协方差的定义，应有：C
5、ov(U,X)EUE(U)XE(X)由于 E(U)0，所以：Cov(U,X)EUXE(X)已知：所以，即：11111211100111abVUaZabaababaXZabaababaXE1121110011)(0)(1)(11)(1),(21112111111UEabaUVUaEabVUaabUEXUCov2023-1-26制作人：熊义杰5 由此不难看出，在联立方程模型中，单一方程模型中所存在的常方差性假定与 Cov(UX)0 的一致性是不存在的。在联立方程模型条件下，常方差性假定可能满足，但 Cov(UX)却不一定为0，因为在这里X是内生变量而不是外生变量。这正是由于联立方程模型引起的后果。
6、正是由于 E(UX)0，所以在对 方程(7-1)应用OLS方法时，其系数的估计量将是有偏的和不一致的。【证】先证有偏性。已知：211ixxUbb)(1)()(21211xUExbxxUEbbEii)(1)(211xUExbbEi即：偏倚（注意，在这里大写的变量为观测值，小写的为离差）2023-1-266 再证非一致性。所谓一致性是指，当估计式满足如下两个条件时：.是渐进无偏的，即：（Plim是概率极限，即样本容量趋无穷大，概率趋零）.随着n趋于无穷大（或概率趋于0），的方差逼近于0，即：就称估计式 为总体参数 b 的一致估计量。对于（81）式中的 ，有：bbEP)(limbb0)(lim2bD
7、Pb1bnxPnUxEPbxUxEPbEPbEPiiiiii/lim/)(limlim)(lim)(lim212112023-1-26制作人：熊义杰722111112221111)(lim/lim1),(/)(limXUXiUababbEPnxPabaXUCovnxUEP 显然，不是一致估计量。由于OLS方法的基本假定 E(UX)0遭到破坏，导致了有偏和非一致估计量，因此，对于联立方程模型我们必须寻找另外的参数估计方法。1b2023-1-26制作人：熊义杰8一、结构模型一、结构模型 结构模型用以反映经济变量之间各种关系的完整结构。7.1.1 中的三个模型都是结构模型。结构模型的一般形式为：该模
8、型由m个内生变量Yi和k个前定变量Xj组成，方程个数与内生变量个数相等，aij和bij均称作结构参数，其简缩式为：11 111111121 12m211221 1m11tm mttkktttmttkkttmtmmtmtmkktmtb Yb Ya Xa XUb Yb Ya Xa XUb Yb Ya Xa XU),2,1(11miUXaYbikjjijmjjij(72)2023-1-26制作人：熊义杰9mkmkmmkkmmmmmmmuuuUxxxXaaaaaaaaayyyYbbbbbbbbbUUAXBY212121222211121121212222111211ABXYAB其中：或 结构模型也可以
9、用矩阵形式表示如下（注意，在矩阵形式的表达式中，用小写的变量表示观测值）：在一个结构模型中，通常都包括两类方程，一类是包含有随机项的随机方程，另一类是不包含随机项也不包含任何参数的定义方程。定义方程也叫平衡方程。2023-1-26制作人：熊义杰10 以克莱因宏观模型为例：其中：Ytt 时期的国民收入；Ctt时期的国民消费；Itt 时期的企业投资；Gtt时期的政府开支。结构模型的意义在于，每一个结构模型中的相应参数，都表明解释变量对于被解释变量的直接影响。二、约化模型 如果将结构模型中的全部内生变量都表示成前定变量(含外生变量和滞后变量)和随机项的函数，则称作联立方程模型的约化形式，简称为约化模
10、型。如克莱因宏观模型的约化形式为：tttttttttttGICYUYbYbbIUYaaC21210110（73）2023-1-26制作人：熊义杰11ttttttttttttVGYYVGYIVGYC332131302221212011211110其中（常参数暂时忽略）：113211231111221112211111211211111111)1(11bababbabbaabbaababa约化参数的获得可通过连续代换取得。如对模型（73），其中：（74）2023-1-26制作人：熊义杰12011t01101111U ()U UttttttttttCaaYaa CIGaaCa IaG01212011
11、2121()U1 (U)1ttttttttttIbb CIGb YbbCbGb Yb101011121211(1 )UttttttttaCaa CbbCbGbb Yua G而所以2023-1-26制作人：熊义杰13tttttttttttttUaUbGaYbaCababaaUbGbauaYbaGbaCbabaCbaabCb2111112110110011112112111110111011)1()()1()1()1()1()1(1121111111112111011001)1(1 11baUaUbGbaaYbababababaaCttttt即所以也就是11211110VGYCttt2023-1-
12、26制作人：熊义杰14 其余两个约化方程可用同样办法证得。约化模型的意义就在于，模型中的约化参数可以用来度量前定变量的变化对于内生变量的总影响，包括直接影响和间接影响两个部分。例如模型（74）中的 21度量了Yt-1增加一个单位时对于投资值的总影响，这一影响分为两个部分：一是投资结构方程中系数b2对It的影响，是直接影响；二是由下列事实引起的间接影响：即Yt-1的增加影响It，It影响Yt，Yt又影响It；最后，Yt影响Ct，Ct又影响Yt，Yt再影响It。所以，Yt-1对于It的总影响（由 21反映的）可分解为两个部分：总影响=直接影响+间接影响 112121111121112211 1)1
13、(1)1(babbbbabbabbaab2023-1-26制作人：熊义杰15 约化参数的估计通常可采用两种办法：(1)直接估计法直接估计法 即直接把结构模型中的每一个内生变量表示为前定变量和随机扰动项的函数，然后再用普通最小二乘法直接估计约化模型中参数。比如，可直接根据模型（73）写出（74），并对（84）应用OLS方法。因为这种方法不考虑结构参数的信息，不受结构模型具体形式的限制，只要知道模型系统中的前定变量即可，所以也称为无约束最小二乘法。(2)间接估计法间接估计法 即先利用适当的经济计量方法求出结构模型的参数，然后利用约化参数与结构参数的关系式来计算确定约化模型参数的一种方法。比如，对于
14、克莱因宏观模型来说即可先估计出模型（73）中的参数，然后再根据模型（74）中的参数与结构参数的关系式求出约化参数。采用间接估计法必须建立约化参数与结构参数的关系式，而采用直接估计法则不必有这一过程。2023-1-26制作人：熊义杰16.三三.递归模型递归模型 所谓递归模型，就是结构方程式按下列形式排列的一类联立方程模型：首先，在模型的左端每个方程只有一个内生变量；其次，在模型的右端，其第一个方程式的右端只有前定变量xi(i=1,2,k)，第二个方程的右端则有xi和第一个方程式中的内生变量Y1，第三个方程式的右端则又有第二个方程式的各项（参数不同）再加内生变量Y2，依次类推，且其随机扰动项两两互
15、相独立即。用数学式表示即（以三个方程的模型为例）：其中：如果把内生变量系数用矩阵形式表示即：323213123213132121222121212121111UYbYbXaXaYUYbXaXaYUXaXaY0)()()(323121UUEUUEUUE2023-1-26制作人：熊义杰171 0 1 0 0 1323121bbbB 显然，由于递归模型内生变量的系数矩阵是一个主对角线上元素为1的下三角形矩阵，所以递归模型也称作三角形模型，这也是判断递归模型的主要标志。虽然递归模型也是一种联立方程模型，但递归模型所反映的并非双向因果关系，即所有的外生变量影响Y1，Y1又和所有的外生变量影响Y2，Y2又
16、和Y1及所有的外生变量影响Y3，依次类推，最后是所有的(m-1)个内生变量和全部的外生变量影响Ym。所以，对于一个递归模型通常可以依次使用普通最小二乘法来估计参数。一个递归模型必是三角形模型，但三角形模型未必就是递归模型，一个递归模型必须同时满足两个必要条件：（1）内生变量系数矩阵呈下三角形；（2）属于不同方程的随机项必须两两相互独立。2023-1-26制作人：熊义杰18 7.2 联立方程模型的识别联立方程模型的识别7.2.1识别的有关概念识别的有关概念 一.模型的识别 模型的识别，简单地说就是分析所建立联立方程模型能否进行参数估计的一个判断过程。一个联立方程模型不能识别，就意味着这个模型的参
17、数无法估计，因而所建立的模型就毫无意义。在掌握了模型的识别规则以后，我们就会知道，虽然在7.1.1中提出的三个联立方程模型都属于客观经济现象，然而它们却都是不可识别的（主要是第二个方程）。所以，识别问题是构造联立方程模型时必须首先考虑的重要问题。由第一节我们已经知道，由于在结构模型中存在着双向因果关系，因而不能直接对联立方程模型使用OLS（普通最小二乘法）方法。因此，一个自然的想法，就是先把结构模型转化为约化模型，再对约化模型使用OLS法，在取得约化模型参数以后，再采用参数关系式计算确定结构参数。2023-1-26制作人：熊义杰19 容易证明，约化参数的OLS估计量至少具有一致性（在前定变量不
18、含滞后内生变量的情况下，约化参数的OLS估计量还具有无偏性）。但是，从约化参数估计值出发确定结构参数并非在任何情况下都是可能的，因此必须对联立方程模型进行识别。对于任何一个结构方程（不包括恒等式），如果方程中的结构参数估计值可通过约化参数估计值求得，就说这个结构方方程可识别程可识别；相反，如果结构参数估计值不可能由约化参数估计得出，就说这个方程不可识别方程不可识别。一个可识别的方程又分为两种情况，即恰好识别和过度识别。如果从约化参数估计值只能得出唯一的一组结构参数估计值，就说该方程恰好识别恰好识别，也称正确识别；如果从约化参数估计值可以得出一组以上的结构参数估计值，就说该方程过度识别过度识别。
19、如果结构模型中除恒等式以外的所有方程皆可识别，就说这个模型是可识别模型可识别模型。2023-1-26制作人：熊义杰20二、线性组合方程二、线性组合方程识别问题有两种形式不同但彼此完全等价的提法：（1）能否由一组约化参数确定一组唯一的结构参数？（2）结构模型中的某个方程能否同其它方程及其任意的线性组合方程相区别，亦即这一方程是否具有统计形式的唯一性统计形式的唯一性？其中，线性组合方程是指对联立方程模型：中的每个方程两端依次乘以任意常数 ，然后把所有方程相加所得到的方程，即：kjijijmjjjimiUXaYb11),2,1(,21mimimjmikjmiiijijijijiuxaYb111112
20、023-1-26制作人：熊义杰21三、统计形式的唯一性三、统计形式的唯一性 在联立方程模型中，如果某一方程式的内生变量和前定变量不完全与其它方程式及其线性组合方程式相同，则认为该方程具有唯一的统计形式；相反，如果某个方程式与模型中的另一方程式或某一线性组合方程式有相同的内生变量和前定变量，则认为此方程式的统计形式不是唯一的。统计形式的唯一性，是可识别方程的另一种完全等价的说法。凡是不具有唯一统计形式的方程式均为不可识别方程。7.2.2 模型识别的条件模型识别的条件 模型识别的条件包括必要条件和充分必要条件两种，也称阶条件和秩条件，阶条件是必要条件，秩条件是充分必要条件。一、阶条件 一个结构方程
21、式可识别的必要条件是：2023-1-26制作人：熊义杰221MGH（75）根据阶条件，显然在一个数学上完备的结构模型中，其结构参数必须由大量的零元素构成。否则，阶条件将无法满足。比如，在形如（82）的结构模型中，如果所有的结构参数都是非0的，则对于每一个方程有 HG0。因此，阶条件均不能成立。阶条件的另一种完全等价的表达式为：1 KG1 MK或（76）(1)1:)1(1 :1 KGMMKMMGKMMGHKMH也就是或即【证】2023-1-26制作人：熊义杰23二、秩条件 一个结构方程式可识别的充分必要条件为：(77)其中，矩阵A是从由结构方程系数构成的 MH 阶矩阵中划去被识别方程参数所在行和
22、所在列元素之后剩余的矩阵。模型识别的阶条件是必要条件，即满足阶条件的不一定是可识别方程，但不满足阶第件的一定是不可识别方程。而秩条件才是充分且必要条件，即满足秩条件的结构方程，一定是可识别方程，不满足秩条件的结构方程，一定是不可识别方程。应用中，两个条件一般是结合使用的。因为，对于较大的模型来说，阶条件往往具有简便易用的特点，而秩条件则显得相对繁琐些。因此，对于较大模型通常可先使用阶条件，然后只对符合阶条件的方程使用秩条件。1)(RkMA2023-1-26制作人：熊义杰24三、模型识别条件的证明【证】在一个一般形式的结构模型（72）中，假定要识别的是第一个方程，其中包含有G个变量，G=S+L，
23、S为内生变量数，L为前定变量数，模型的总变量数为H，方程数和内生变量数均为M，则不在第一个方程中的剩余变量数为HG。要证明第一个方程统计形式的唯一性，实际上就是要使该方程中所包含的G个变量与其余的HG个变量相区别或者没有共同解。于是，在结构模型的系数矩阵中划掉GSL个变量所在行和所在列的元素（这些无素只与G个变量的值有关）后对剩余元素的系数矩阵重新排序后为：)(21)(21)(33231)(33231)(22221)(22221 LMHmmmsmmmmLMHsmLMHsmaaabbbaaabbbaaabbbA2023-1-26制作人：熊义杰25 根据线性代数知识，如果说第一个方程中的G个变量是
24、有解的，则它们肯定是不全为零的。因此，要使得这G个变量与其余的H-G个变量无共同解，那么一个最简单的办法就是让其余的H-G个变量全部为零，这也就等价于让下列的齐次线性方程组有零解：其中：变量数=首先，根据齐次线性方程组成立（即有零解和非零解）的条件，要使齐次线性方程组（1）有零解和非零解，必须使方程的个数小于和等于未知量的个数，即必须成立：其次，根据齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件，应有：OZATLMHsmXXXYYYZ,2121GHLSHLMHSM)()()(GHM11)(MARk2023-1-26制作人：熊义杰267.2.3 模型识别实例及实用规则模型识别实例及实用规则 最能说明识别问
25、题的例子是供求模型。这个模型一般由需求方程、供应方程和供求平衡条件三个方程构成。这里需要识别的对象是需求方程和供应方程，它们能否识别则取决于它们各自的结构。一、不可识别的情形【例1】设有下列联立方程模型 其中：D表示需求，S代表供给，P为商品价格。各变量间的关系如图71所示。显然，由平衡条件可得到：210110QSDuPaaSuPbbD210110uPaauPbb2023-1-26制作人：熊义杰2711011211100VbauubaabP即 分别代入需求函数和供给函数，有 11211111100111121110010 )(baubuabababaubauubaabbbD1121111110
26、0121121110010 )(baubuabababaubauubaabaaS所以，即该模型有两个约化参数 220VSDQ2023-1-26制作人：熊义杰28 假如约化参数已知，但由于参数关系体系中有四个结构参数未知量，只有两个方程，根据线性方程组有一唯解的定理，显然这四个结构参数是无法确定的，即模型是不可识别的。同时，由结构模型我们不难发现，两个数量函数Q亦即需求函数和供给函数的线性组合实际上是无法区别的，由于D=S=Q，因而两个结构方程中的变量实质是完全同一的，因而两个结构方程均不具有统计形式的唯一性，这也说明了该模型是不可识别的。我们再应用阶条件进行分析。由于平衡条件的保证，因此实际上
27、该模型是有两个结构方程两个内生变量（Q和P，也是内生变量），没有外生变量。显然对于每个方程来说，阶条件都不成立，因为，在这里M-1=1，H-G=0，零不大于等于1。由于阶条件不成立，所以模型不可识别。2023-1-26制作人：熊义杰29二、恰好识别【例2】设有如下联立方程模型：其中：Yt是居民收入，Pt-1是上期价格。据此，可得到的约化模型为：其中：显然，由于约化参数个数与结构参数相等，即由约化参数可求出唯一结构参数，故模型是可识别的。tttttttttttQSDuPaPaaSuYbPbbD212101210 112111211211111222112121111001201121211211
28、110010baubuaVbauuV-baba-babababababaa babbaabtttttttttttttVPYQVPYP21222120111211102023-1-26制作人：熊义杰30 再从每一方程统计形式的唯一性来看，在约化模型中由于两个数量函数所包含的变量及其参数不同，因而是可以互相区别的，即每个方程的统计形式都是唯一的，因而也说明模型是可识别的。从阶识别条件来看，该模型的总变量数是H=4，内生变量数M=2，每一方程中包含的变量数是G=3，每个方程都满足M-1=H-G。由于阶条件只是必要条件，还不能说明每个方程是否一定可识别，所以尚需要对秩条件进行分析。该模型的系数矩阵为：
29、12121 0 10 1t-ttt P Y P QaabbA 不难看出，对于两个方程，均有：所以模型是可识别的。由于模型可识别，因而根据约化参数即可求得结构参数。11)(RkMA2023-1-26制作人：熊义杰31三、过度识别【例3】设有联立方程模型为：其中：P为代用品价格。其对应的约化模型为：显然，由于结构参数只有7个，而约化参数却有8个，这时，如约化参数已知，则结构参数就有无穷多解，即该模型是过度识别的。再从阶识别条件来看，该模型的总变量数H=5，其中内生变量数M=2，对于方程一，G=4，对方程二，G=3，所以对方程一来说，等式成立，对方程二则不成立，所以模型为过度识别。ttttttttt
30、ttQSDuPbPbbSuPaYaPaaD2121013210tttttttVPPYQVPPYP21232221201113121110制作人：熊义杰32四、识别的一些实用规则 (1)如果两个方程包含同一组变量，则这两个方程都不可识别，如上述例1中的两个方程。(2)每个方程都是包含一个内生变量和全部前定变量的模型可恰好识别。这是容易理解的，因为在这种情况下内生变量的系数矩阵为单位阵，恒有Rk(A)M1。同样，每个方程都只包含一个前定变量和全部内生变量的模型也可以恰好识别，如上述的例2。(3)包含模型中全部变量（包括内生变量和前定变量）的方程不可识别，因为这里恒有Rk(A)0。如在7.1.1中提
31、出的形如模型（71）的三个模型中的第二个方程。(4)如果第i个方程的剩余变量都不出现于第个j方程之中，则第i个方程必不满足秩条件，因而不可识别。因为这里充其量只能成立Rk(A)M2。(5)如果第i个方程的剩余变量都不出现于其余的M1个方程的某个线性组合之中，则第i个方程亦不可识别。337.2.4 识别问题与多重共线性识别问题与多重共线性 识别问题是由于模型中包含一个以上的方程而产生的特殊问题，对于单一方程模型来说不存在识别问题。多重共线性问题是由于一个方程包含一个以上的解释变量而产生的特殊问题，只有一个解释变量的方程不存在多重共线性问题。显然，这两个问题之间存在着十分密切的亲缘关系。首先，我们
32、知道，当两个变量共线时，从统计的观点来看，这个变量不能作为不同的变量来处理，因此往往需要将其中之一删除或者改变模型的数学形式。识别问题也是如此。当某方程不可识别时，即是说该方程不具有统计形式的唯一性，即它不能与其它的方程或这些方程的线性组合方程相区别，因此该方程也是应该由模型中删除的。当然也可以象处理多重共线性问题一样，通过改变模型的数学形式来解决。比如在7.1.1中的三个模型中对第一个方程引入第二个内生变量的滞后变量后，模型即由不可识别变为可识别。2023-1-2634 其次，不可识别的问题和多重共线性问题都给参数估计造成困难，这一点具有完全相同的性质。最后，识别问题和多重共线性问题产生的根
33、源，都是因为变量之间存在着多重关系的缘故。正因为如此，在存在这两类问题的场合，都很难用统计方法满意地评价每一个变量对被解释量的影响。2023-1-26制作人：熊义杰357.3.1估计方法概述估计方法概述 联立方程模型的参数估计是一个相当复杂的问题，因为存在着多种不同的估计方法，而且每种方法的适用范围、计算量和所给出的估计量的统计性质又不尽相同，所以处理具体问题时必须根据研究目的进行适当选择。联立方程模型的估计方法一般分为单方程估计法和系统估计法两类。如果在估计参数时将模型中的每一个方程单独进行处理而不考虑其余方程的存在对所估计方程的约束，这种方法就称为单方程估计方法。单方程方法也称为有限信息估
34、计法，因为这种方法没有考虑对所估计方程具有约束的其余方程的有关信息。单方程方法包括以下五种方法：2023-1-26制作人：熊义杰36一、普通最小平方方法（一、普通最小平方方法（OLS法）法）一般地说，把OLS法直接用于联立方程模型得出的估计量不仅在小样本情况下有偏，甚至在大样本条件下也是不一致的。这在第一节已经做过证明。所以一般地说，OLS法只适用于递归模型。在递归模型中，由于属于不同方程的同期随机项互不相关，每个方程中的内生解释变量与随机项也不相关，所以可直接使用OLS法逐一地对每个方程进行估计。但是对此说法也有不同意见，认为对于结构模型的OLS估计法未必不适用，其理由是：(1)虽然OLS法
35、估计量有偏，但在小样本情形下用其它方法估计的参数同样是有偏的。此外，同其它估计量相比，OLS估计量的方差最小，因此在小样本情形下的OLS估计量的均方误差也是最小的。这一看法已经为蒙特卡罗（Mont Carlo）研究所证实。(2)蒙特卡罗还表明，同其它估计量相比，OLS估计量的统计性质对于多重共线性和定型错误等常见的估计问题较不敏感，在小样本情形下尤其如此。(3)在很多情形下发现，用OLS法估计的模型同用其它方法估计的同一模型相比，前者所给出的预测结果并不比后者差。二、间接最小平方方法（二、间接最小平方方法（ILS）ILS（Indirect Least Squares）法即通过对约化模型使用OL
36、S法以便利用约化参数确定结构参数的一种方法。这一方法一般只适用于可恰好识别的方程和模型，而不适用于过度识别的模型。即使是对于可恰好识别的模型而言，ILS法实际也并非是最佳估计方法。因为，即使约化模型中每一个方程所含的随机项都满足经典回归的基本假定，结构参数的ILS估计量也仍然是有偏的。这是因为约化参数的OLS估计量虽然是无偏的，但由于结构参数与约化参数之间的关系是非线性的，2023-1-26制作人：熊义杰38所以由这种非线性关系得出的结构参数估计量将仍然是有偏的。所以，用ILS法得出的结构参数估计量只是一致估计量。也就是说，在大样本条件下，结构参数的ILS估计量将优于OLS估计量，但是在小样本
37、条件下这一优越性并不十分明显。三、工具变量法（三、工具变量法（IV法）和二阶段最小平方法（法）和二阶段最小平方法（2SLS法）法）IV（Instrumental Variables）法在联立方程模型的估计中有重要应用，我们在下面将专门作为一个部分来讨论。2SLS（TWO-Stage Least Squares）法实际是IV法的一种特殊情形，我们也将在下一部分与IV法来一起讨论。四、有限信息最大似然法（四、有限信息最大似然法（LI/ML 法）法）2SLS法有一个主要的缺点，即估计量同正规化方式或被解释变量的选择有关，估计结果因每一方程中被解释变量选择的不同而异。而LI/ML（Limit Info
38、rmation/Maximum2023-1-26制作人：熊义杰39Likelihood）法则恰恰可以克服这一缺陷。LI/ML法同2SLS法相比，一个显著的优点，即估计量对正规化方式的选择具有不变性。换言之，即在被估计方程中，不管选取哪一个内生变量作解释变量，LI/ML估计量都一样。遗憾的是，LI/ML法的这一优点被这一方法的两个缺点所掩盖：（1）这一方法的计算量比2SLS法大，因而计算费用较高；（2）这一方法得出的估计量对多重共线性的敏感程度要比2SLS法估计量高，因而极不稳定。正因为如此，这一方法虽然在历史上曾起过重要作用（50年代的许多重要模型都是用这一方法估计的），目前已经很少使用。以上
39、方法都是单方程法。如果在估计参数时对模型中的所有方程同时进行估计，这种估计方法就称为系统估计法系统估计法。由于这类方法考虑了与各方程之间的相互联系有关的全部信息，所以这类方法也称作完全信息估计法完全信息估计法。系统估计法主要包括两种方法：2023-1-26制作人：熊义杰40（1）三阶段最小平方方法（3SLS法）；（2）完全信息最大似然法（FI/ML法）。由于多方面原因，系统估计法使用并不很广泛，所以本节将主要对3SLS法作以简单介绍。7.3.2工具变量法工具变量法 IV估计法的基本思路是当某个解释变量与随机项相关因而不能应用OLS法时，可引入一个与此解释变量强相关而与相应的随机项又不相关的前定
40、变量作为工具，以便达到消除该解释变量与随机项之间相关关系的目的。由于将OLS法应用于结构方程模型时产生估计偏倚的根源，正是因为某些解释变量与随机项相关即 ，所以这种估计问题正好可以通过引入适当的工具变量来解决。不过对于联立方程模型而言，其中的每一个内生解释变量都需要单独地引进一个相应的工具变量。可以证明，IV估计量不具备无偏性，但具备一致性。证明如下：0)(uxE2023-1-26制作人：熊义杰41设有如下单一方程模型：其中：于是可得到由样本观测值表示的第一个正规方程式为：但由于 即 ，所以就不能由方程两端乘 后加总获得第二个正规方程。为克服这一困难，我们设想用工具变量 代替 ，与 强相关而与
41、ui 不相关，于是用 乘方程式两端加总得到：代入 后，再代入 ，可求得 iiiuXY0)(0)(uXEuEiiiiXnY0)(iiuXE 0iiuXiXiZiXiZiXiZZXZZYXY ZnZXYzxzy2023-1-26制作人：熊义杰42 可以证明，通过IV方法获得的估计量不是无偏估计量，但是一致估计量。把IV法用于联立方程模型，不仅要求经典回归的基本假定都满足，而且还假定适当的工具变量都存在。IV估计法应用中最重要的问题是如何寻找恰当的工具变量。合适的工具变量必备的条件包括：一是必须同方程所考虑的内生解释变量强相关；二是必须同该方程中的随机项不相关。按照这两个条件，显然单一方程模型中的O
42、LS估计量实际也是一种IV估计量，它所用的工具变量就是方程中的解释变量X，由于X与自身完全相关，而且与不相关，所以完全符合作为工具变量的条件。由此看来，在联立方程模型中利用某一方程剩余的前定变量作为内生解释变量的工具变量以求得参数的一致估计量也就是十分自然的想法，因为模型中的所有前定变量都正好具备工具变量的两个条件。问题是，在联立方程模型中内2023-1-26制作人：熊义杰43生解释变量一般不止一个，每个内生解释变量都需要一个前定变量作工具变量，那么会不会出现前定变量不够用的情况？一般地说，只要方程是可以识别的，就保证了有足够的前定变量可用来作为内生解释变量的工具变量使用。我们知道，阶识别条件
43、的另一种完全等价的表述是：被识别方程剩余的前定变量数必须大于等于该方程的内生变量数减1（参式76，被作为被解释变量的内生变量无需工具变量）。所以，方方程的可识别性是应用工具变量法的基本前提。程的可识别性是应用工具变量法的基本前提。我们知道，可识别包括两种情况，即恰好识别和过度识别。在恰好识别的情况下，所需的工具量数与能够提供的变量数相等，选择不成问题。在过度识别的情况下，能够提供的工具变量数大于需要的工具变量数，因此就有一个如何选择的问题。因为，在用不同的前定变量作工具变量时，毫无疑问，系数的估计值将是不同的。所以在方程过度识别的情况下，IV法不适用。在模型过度识别的情况下，2SLS法是一种常
44、用的估计方法。2023-1-26制作人：熊义杰44 然而，即使是在恰好识别的情况下，当模型中的某一方程有多个剩余的前定变量时，要从中选择一个最合适的前定变量作为工具变量也相当困难。原因是：（1）这里有多种可能情况；（2）作为工具变量除满足两个方面的一般条件外，尚要求它必须与方程中的其它前定变量无关或相关很小，如果在一个结构方程中引入了两个以上的工具变量，则它们之间也必须互相独立，以避免多重共线性；（3）每个结构方程中的随机扰动项都是不能观测的，因此事实上很难断定它是否与某个拟选为工具变量的前定变量相互独立。正因为如此，IV法在联立方程模型的估计中，实际并不常用。之所以说它重要，是因为它是实际理
45、解其它重要方法如2SLS法的基础。7.3.3 二阶段最小二乘法二阶段最小二乘法 一、一、2SLS法的基本思路法的基本思路2023-1-26制作人：熊义杰45 2SLS法的实质是一种存在多个剩余前定变量条件下的工具变量法。设有如下模型：24223211212021212111211101uxaxaYbbYuxaxaYbbY 其中，Y代表内生变量，x代表前定变量。利用阶识别条件不难看出，两个方程均属于过度识别。按照IV法，该模型中的每一个前定变量都与随机项不相关，因而均可作为任一内生解释变量的工具变量。然而，对于每一个方程来说，都有两个剩余的前定变量供选择。所以存在的问题是，就某一特定的内生解释变
46、量而言，究竟选哪一个前定变量作工具变量最适当，这里并没有一个可遵循的准则。也就是说，我们需要解决如何利用模型中的前定变量来构造内生解释变量的唯一和“最佳”工具变量的问题。对于这一问题，2SLS法是采用这样一种思路解决的：2023-1-26制作人：熊义杰46首先，选取模型中所有前定变量的线性组合作为工具变量的最普遍形式，以克服“究竟选择哪一个前定变量作工具变量”的困难。这种形式的工具变量，在把线性组合中的参数作为把线性组合中的参数作为常数看常数看的情况下，满足工具变量的第一条件即与随机项独立。因为，所有的前定变量均与随机项不相关，因而它们的线性组合亦必与随机项不相关。其次，将模型中的每一个内生解
47、释变量分别对所有的前定变量的线性组合进行回归，以这些内生解释变量的回归估计量（即利用回归方程得到的理论估计值）分别作为各自的工具变量。显然，在前定变量的所有可能的线性组合中，只有这种回归估计量与它们所代表的内生解释变量之间的相关最强。按照这一思路，对上述模型使用IV法，通常就分为以下两个阶段：第一阶段：先将模型中的内生解释变量分别写成所有前定变量的线性组合并加上随机项，这相当于把模型写成如下2023-1-26制作人：熊义杰47的约化形式：然后对每一个方程分别应用OLS法，得出和的回归估计量：在这里，并不需要象ILS法那样先求出约化参数与结构参数之间的关系。第二阶段：用内生解释变量的回归估计量分
48、别作为原相应内生解释变量的工具变量，再用IV法估计结构参数。这时，原模型变为：24243232221212021414313212111101VxxxxYVxxxxY424323222121202414313212111101xxxxYxxxxY2023-1-26制作人：熊义杰48*2422322121202*1212111211101uxaxaYbbYuxaxaYbbY 对该模型中的每一个方程分别应用OLS法，便可得出所有结构参数的估计值。不难看出，2SLS法对恰好识别和过度识别的方程都适用，而且即使方程是过度识别的，所得出的结构参数估计量也是唯一的。二、方程恰好识别时二、方程恰好识别时2S
49、LS法与法与ILS法的比较法的比较 当模型恰好识别时，同一结构参数的2SLS估计量与ILS估计量完全相同，因而在这种情况下两种估计方法彼此等价。我们先从数学形式上进行比较，设有如下模型：ttttttttQSDuWPSuYPD22101210其中，Y为收入，W为气候条件指数。该模型的两个方程都恰好识别。2023-1-26制作人：熊义杰49 第一阶段：写出约化形式如下：对两个约化方程使用OLS法，得到：第二阶段：按照2SLS法，是将代入原模型后得到：再次对每一方程使用OLS法，得到：22221201121110VWYQVWYPWYQWYP222120121110*2210*1210)()(uWPS
50、QuYPDQWPSQYPDQ210210)()(2023-1-26制作人：熊义杰50 而按照ILS，在求出约化参数的估计值以后，则是按照如下的参数关系体系来确定结构参数：现在把的估计式直接代入原模型第一个方程，有：把此方程跟约化模型的估计式进行比较，显然有：这三个关系式利用参数关系体系是不难证明的。在参数关系体系中，已知：111222112121111000202121211211110010 *112121111010*1212111010)()()()(uWYuYWYDQ12122211121101020 2023-1-26制作人：熊义杰511100110011101011101020 )
