1、2023-2-16北京邮电大学电子工程学院1概率论与随机过程概率论与随机过程唐碧华唐碧华 黎淑兰黎淑兰n学时数：学时数：60n教材：王玉孝，教材：王玉孝，概率论与随机过程概率论与随机过程，北京邮电大学出版社，北京邮电大学出版社n参考书：参考书：1.陆大琻，陆大琻，随机过程及其应用随机过程及其应用，清华大学出版社，清华大学出版社2.林元列，林元列，应用随机过程应用随机过程，清华大学出版社，清华大学出版社3.刘嘉焜等，刘嘉焜等，应用随机过程应用随机过程，科学出版社，科学出版社4.严士健等，严士健等，测度与概率测度与概率，北京师范大学出版社，北京师范大学出版社2023-2-16北京邮电大学电子工程学
2、院2教学安排教学安排n上课时间共上课时间共16次次n考试时间：见研究生院发布的考表考试时间：见研究生院发布的考表n电子讲稿网址：电子讲稿网址：http:/ .2005应用举例应用举例.ppt2023-2-16北京邮电大学电子工程学院4第一章第一章 概率空间概率空间首先，回顾初等概率论的一些基本概念：首先，回顾初等概率论的一些基本概念：E1.在相同条件下可重复进行；在相同条件下可重复进行；2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性不可预知性；不可预知性；3.全体可能结果的可知性。全体可能结果的可知性。n 样本空间样本空间随机试验所有可能的结果组成的集合。随机试验所有可能的结果组成的集合。n 样
3、本点样本点 中的元素。中的元素。n 随机事件随机事件样本空间样本空间的子集合，称为的子集合，称为事件事件。n 基本事件基本事件中每个样本点所构成的单点集。中每个样本点所构成的单点集。n 必然事件必然事件本身。本身。n 不可能事件不可能事件不包含任何元素的空集合不包含任何元素的空集合。n 随机试验随机试验，满足如下条件：满足如下条件：2023-2-16北京邮电大学电子工程学院5第一章第一章 概率空间概率空间n概率的定义概率的定义若对若对E的每一个事件的每一个事件A，有一个实数，有一个实数与之对应，记为与之对应，记为 AP，且满足：，且满足：（非负性）10.1AP（归一性）1.2P1121,.3k
4、kkkAPAPAA两两互不相容，则有：若事件 的概率。为事件称AAP2023-2-16北京邮电大学电子工程学院6第一章第一章 概率空间概率空间 在初等概率论中，我们定义随机事件在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间为样本空间的子的子集，即集，即 ，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都是一个随机事件？是一个随机事件？（举例说明）（举例说明）若把若把 看作集合看作集合A的函数，那么象高等数学里的普的函数，那么象高等数学里的普通函数一样，我们必须考虑通函数一样，我们必须考虑A在什么范围内，在什么范围内，才有定义？这才有定义？这是初等概率论的遗留问题
5、。为此，我们考虑以事件是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的为元素的集合，称为集合类或事件体，记作集合，称为集合类或事件体，记作F。F的结构？在的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主要问题，为此我们必须引入测度论的概念。要问题，为此我们必须引入测度论的概念。A APA AP2023-2-16北京邮电大学电子工程学院7第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数一、集合代数和-代数定义定义1.1.1 设是任一非空集合，A是由的一些子集组成的非空集合类，若A满足：1.A ；2.若AA，有 A（余运算封闭）；3.若 A，有 A（有限并
6、运算封闭）；则称A是上的一个集合代数，简称集代数集代数。容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：A,BABA2023-2-16北京邮电大学电子工程学院8定理定理1.1.1 设A是由的一些子集组成的非空集合类，则：1.A是由的集代数 A是包含且对余运算和有限交运算封闭；2.A是由的集代数 A是包含且对差运算封闭。证明可简单阐述。例例1.1.1 设=R，则：A则A为集代数。（b取正 无穷 则 闭区间 改为开区间）第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数baRbaAAAAARAnknk,121形如2023-2-16北京邮电大学电子工程学院9第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数定义定义1.1
7、.2 设是任一非空集合，A是由的一些子集组成的非空集合类，若A满足：1.A2.若A A，有 A（余运算封闭）3.若 A ，有 A（可列并运算封闭）则称A是上的一个-代数代数。定理定理1.1.2 设A是-代数，则：1.A定是集代数；2.若 A ，有 A（可列交运算封闭）k A kA 1kkA kA 1kkA k2023-2-16北京邮电大学电子工程学院10第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数 设是一非空集合，F 是由的一切子集组成的集合类，则 F 是一个-代数。若 ，且 ，则集合类是一个-代数。显然，集代数的交仍是集代数；代数的交仍是-代数。集代数与代数的差异在于对有限并和可列并封闭。A
8、AA,AA2023-2-16北京邮电大学电子工程学院11第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数二、包含某一集合类的最小-代数 C是由的一些子集组成的非空集合类，那么至少存在一个-代数包含C。为什么？由于 F 是一个-代数，且C F 。是否存在最小的-代数？若存在，是否唯一？2023-2-16北京邮电大学电子工程学院12第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数定理定理1.1.3 设是任一非空集合，C是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的-代数F 0，满足：1.C F 0；2.对包含C的任一-代数F，有F 0 F证明：构造F*A为所有包含C的-代数的交。下面说明这样构成的F *即为
9、包含C的最小的-代数，F *=F 0 由构造性可知它不仅存在而且唯一。由于-代数的交仍为-代数，所以F*为包含C 的-代数。由构造，则可知其最小性。FA2023-2-16北京邮电大学电子工程学院13第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数定义定义1.1.3 称定理1.1.3中的F 0是包含C的最小-代数，或者是由C生成的-代数，记为(C)。例例1.1.2 设 ，且 ，则包含A的最小-代数为 。三、Borel域 设 ，考虑由 的一些子集组成的集合类：C ，称(C)为 上的Borel域，记为B(1)，并称B(1)中的元素为一维的Borel集。AAA,AA)1(R)1(R)1(R 1:,Raa
10、2023-2-16北京邮电大学电子工程学院14第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数推广情形：推广情形：设 为n维实数空间，考虑由 的一些子集组成的集合类：C称(C)为 上的Borel域，记作B（n）。niRxxxxRinn,2,1,:,)1(21)()(nR)(nR niRaainii,2,1,:,112023-2-16北京邮电大学电子工程学院15第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数四、单调类和-系、-系 实际问题中要检验一个集合类是否为-代数比较困难，但把集代数与单调类结合起来讨论，会使问题简化。定义定义1.1.4 设A由的一些子集组成的非空集合类，且满足：1.若 A A 2
11、.若 A A称A是上的一个单调类。容易证明，单调类的交仍是单调类。1211,2,nnnnAAAAnA，则以后表为，1211,2,nnnnAAAAnA，则以后表为，2023-2-16北京邮电大学电子工程学院16第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数定理定理1.1.4 设是任一非空集合，C是由的一些子集组成的非空集合类，则存在唯一的 上的单调类M0，满足：1.CM02.对包含C的任一单调类A，有 CA称这样的单调类M0为包含C的最小单调类，记为 M(C)定理定理1.1.5-代数是单调类；若一集代数是单调类，则它是-代数。证明：证明：若An A，n=1,2,因A是集代数，故 A AnkknAB
12、1，令 1nnnnBBB，则，则，又，又2023-2-16北京邮电大学电子工程学院17第一节 集合代数和-代数定理定理1.1.6 若是集代数，则：()=()证明：证明：-代数一定是单调类，则()()因此只须证明 ()是一-代数。由于集代数+单调类 -代数，所以只须证明它是集代数即可1.2.2的证明略 BABA，有，若2023-2-16北京邮电大学电子工程学院18第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数1.1.6()()AAMA定理若是集代，。是一单调类。代数一定是单调类知，证明：由)(A()()()MAMAA由的定有：。下面证明M(A)还是一个-代数即可。这只需要证明M(A)是一集代数即可。1().AMA。2023-2-16北京邮电大学电子工程学院19第一节第一节 集合代数和集合代数和-代数代数证明：对任意的证明：对任意的 ()，令辅助集合类，令辅助集合类 若能证明对每一个若能证明对每一个 ()，有：，有：即对差运算封闭，则得证。即对差运算封闭，则得证。，ABBABBA,:A 显然，显然，A2023-2-16北京邮电大学电子工程学院20，请自学为何是单调类，见下面主要分析的最小的单调类是包含、是单调类、4PA21AAA不妨分二步加以说明：
