1、章末复习课 一、等差(比)数列的基本运算1数列的基本运算以小题居多,但也可作为解答题第一步命题,主要考查利用数列的通项公式及求和公式,求数列中的项、公差、公比及前n项和等,一般试题难度较小2通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养例1在等比数列an中,已知a12,a416.(1)求数列an的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.反思感悟在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量:a1,an,n,d或q,Sn,其中a1和d或q为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d或q,
2、an,Sn,n的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用跟踪训练1已知等差数列an的公差d1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)在(1)的条件下,若a10,求Sn.二、等差、等比数列的判定1判断等差或等比数列是数列中的重点内容,经常在解答题中出现,对给定条件进行变形是解题的关键所在,经常利用此类方法构造等差或等比数列2通过等差、等比数列的判定与证明,培养逻辑推理、数学运算等核心素养例2已知数列an满足a11,nan12(n1)an.设bn.(1)求b1,b2
3、,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列an的通项公式反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法:对于n1的任意自然数,验证an1an为与正整数n无关的常数(2)中项公式法:若2anan1an1(nN*,n2),则an为等差数列. 若aan1an1(nN*,n2且an0),则an为等比数列(3)通项公式法:anknb(k,b是常数)an是等差数列;ancqn(c,q为非零常数)an是等比数列(4)前n项和公式法:SnAn2Bn(A,B为常数,nN*)an是等差数列;SnAqnA(A,q为常数,且A0,q0,q1,nN*)an是公比不为1的等比数列跟踪训练
4、2已知数列an满足a1,且当n>1,nN*时,有.(1)求证:数列为等差数列;(2)试问a1a2是否是数列an中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由三、等差、等比数列的性质及应用1等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质,利用性质求数列中某一项等试题充分体现“小”“巧”“活”的特点,题型多以选择题和填空题的形式出现,难度为中低档2借助等差、等比数列的性质及应用,提升逻辑推理、数学运算等核心素养例3(1)已知an为等差数列,a1a3a5105,a2a4a699,以Sn表示数列an的前n项和,则使得Sn取得最大值的n是()A21 B20  
5、;C19 D18(2)记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am1am12am0,且T2m1128,则m_.反思感悟等差数列等比数列若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.特别地,若mn2p,则aman2ap若mnpq(m,n,p,qN*),则amanapaq.特别地,若mn2p,则amanaam,amk,am2k,仍是等差数列,公差为kdam,amk,am2k,仍是等比数列,公比为qk若an,bn是两个项数相同的等差数列,则panqbn仍是等差数列若an,bn是两个项数相同的等比数列,则panqbn仍是等比数列Sm,S2mSm,S3mS2m,是等差数列Sm,
6、S2mSm,S3mS2m,是等比数列(q1或q1且m为奇数)若数列an的项数为2n,则S偶S奇nd,若数列an的项数为2n,则q若数列an的项数为2n1,则S奇S偶an1,若数列an的项数为2n1,则q跟踪训练3(1)等差数列an的前16项和为640,前16项中偶数项和与奇数项和之比为119,则公差d,的值分别是()A8, B9, C9, D8,(2)在等差数列an中,3(a3a5)2(a7a10a13)24,则该数列的前13项和为()A13 B26C52 D156四、数列求和1数列求和一直是考查的热点,在命题中,多以与不等式的证明或
7、求解相结合的形式出现一般数列的求和,主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题,题型多以解答题形式出现,难度中等2通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养例4已知数列an是n次多项式f(x)a1xa2x2anxn的系数,且f(1).(1)求数列an的通项公式;(2)求f ,并说明f <2. 2="" 3="" 4="" 5="" 12="" 24="" 30="" 32="" sn.="&qu
8、ot; 0.="" tn.="" _.="" a5.="" a1="">0,求使得Snan的n的取值范围参考答案例1解(1)设数列an的公比为q,由已知得162q3,解得q2,an22n12n,nN*.(2)由(1)得a38,a532,则b38,b532.设数列bn的公差为d,则有解得所以bn1612(n1)12n28,nN*.所以数列bn的前n项和Sn6n222n,nN*.跟踪训练1解(1)因为数列an的公差d1,且1,a1,a3成等比数列,所以a1(a12),即aa120,解得a11或
9、a12.(2)因为a10,所以a12,所以Sn2n,nN*.例2解(1)由条件可得an1an.将n1代入得,a24a1,而a11,所以a24.将n2代入得,a33a2,所以a312.从而b11,b22,b34.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列理由如下:由条件可得,即bn12bn,又b11,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1,所以ann2n1,nN*.跟踪训练2(1)证明当n2时,由得an1an4an1an,两边同除以an1an,得4.所以数列是首项5,公差d4的等差数列(2)解由(1)得(n1)d4n1,所以an,所以a1a2,假设a1a2是数列an中的第t
10、项,则at,解得t11N*,所以a1a2是数列an中的第11项例3(1)答案B解析由a1a3a5105得,3a3105,a335.同理可得a433,da4a32,ana4(n4)(2)412n.由得n20.使Sn取得最大值的n是20.(2)答案4解析因为an为等比数列,所以am1am1a,又由am1am12am0(am0),从而am2.由等比数列的性质可知前(2m1)项积T2m1a,则22m1128,故m4.跟踪训练3(1)答案D解析设S奇a1a3a15,S偶a2a4a16,则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d,.由解得S奇288,S偶352.因此d8,.(2)答案B解析3
11、(a3a5)2(a7a10a13)24,6a46a1024,a4a104,S1326.例4解(1)设f(1)a1a2anSn,则anSnSn1n,n2,当n1时,a11,S11成立所以ann(nN*)(2)由(1)知f(x)x2x2nxn,所以f 23n,f 23(n1)n,由得f n1,所以f 2<2. 4="" 0.="" .="" d="" 32.="" c="" 2n.="" 4.="" d.="" 2.="" a1="">0知d<0,故Snan等价于(n5)d,化简得n211n100,解得1n10,所以n的取值范围是n|1n10,nN*