1、一、函数的连续性二、函数的间断点1.8 函数的连续性与间断点上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页教学内容教学内容 上页下页铃结束返回首页教学要求教学要求w理解函数在一点连续以及在区间上连续的理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念概念;w会判断函数间断点的类型。会判断函数间断点的类型。w了解基本初等函数和初等函数的连续性以了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。最值定理）。上页下页铃结束返回首页一、连续函数的概念一、连续函数的概念极限形式极限形式增量形式增量形式上页下页铃结束返回首页设 f(x)在 U(x0
2、)内有定义,若)()(lim0 0 xfxfxx则称函数 f(x)在点 x0 处是连续的.1.函数连续性的定义(极限形式)可减弱：x0 为聚点 函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.是整个邻域上页下页铃结束返回首页函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义；(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)(lim )2(0；存在axfxx)(,(0有极限时xfxx 上页下页铃结束返回首页函数函数 y=x2 在点在点 x=0 处是否连续处是否连续?0lim20 xx 函数函数 y=x2 在点在点 x=
3、0 处连续处连续.又又且且0020 xxxy y=x 2 在在 U(0)内有定义内有定义,例1解上页下页铃结束返回首页例2证明函数证明函数0001sin)(xxxxxf0)0(f)(lim0 xfx在在x=0处连续处连续证明：因为xxx1sinlim0)0(f所以，函数在 x=0 处连续。上页下页铃结束返回首页2.2.连续性概念的增量形式连续性概念的增量形式在某过程中,变量 u 的终值 u2 与它的初值 u1 的差 u2 u1,称为变量 u 在 u1处的增量,记为 u=u2u1.u 是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.上页下页铃结束返回首页
4、 设函数 f(x)在 U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.=f(x0+x)f(x0)y=f(x)f(x0)xyOx0 xxyy=f(x)此时,x=x0+x,相应地,函数在点 x0 点处有增量 y上页下页铃结束返回首页0lim0yx)(0 xxx则称 f(x)在点 x0 处连续.设 f(x)在 U(x0)内有定义.若自变量的增量趋于零时,函数的增量也趋于零.的的连连续续点点为为并并称称)(0 xfx反之反之,称函数在称函数在x0 0 处间断处间断,且将且将 x0叫作函数的间断点叫作函数的间断点 上页下页铃结束返回首页于是于是,连续性的极限形式与
5、增量形式是等价定义连续性的极限形式与增量形式是等价定义因为因为 )()(00 xfxxfy00yxlim)()(lim000 xfxxfx)()(lim00 xfxfx或或故由故由可推得可推得01000)()(lim)(xfxxfx)()(lim)(002xfxfxx上页下页铃结束返回首页3.3.函数的左、右连续性函数的左、右连续性设函数设函数 f(x)在在 x0,x0+)内有定义内有定义.若若 )()(lim 00 xfxfxx则称则称 f(x)在在 x0 点处右连续点处右连续.设函数设函数 f(x)在在(x0 ,x0 内有定义内有定义.若若则称则称 f(x)在在 x0 点处左连续点处左连续
6、.其中其中,为任意常数为任意常数.)()(lim 00 xfxfxx上页下页铃结束返回首页)()(lim00 xfxfxx)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 函数在点函数在点 x0 连续连续,等价于它在点等价于它在点 x0 既既 左连续又右连续左连续又右连续.上页下页铃结束返回首页下页判断下列函数在判断下列函数在 x=0 的连续性的连续性00)(1xxxxxf）（xxf)(2）（因为在因为在 x=0 处无定义处无定义00 xxxx因为因为0)0(f)(lim0 xfx)lim0 xx（0 xxlim0)(lim0 xfx0)(lim0 xfx0)0(f在在 x=0 处连续处连
7、续练习xyy=|x|O例3上页下页铃结束返回首页讨论 y=sgn x 在点 x=0 处的连续性.sgn x1,x 0,11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxxsgn x|x=0=sgn 0=0故符号函数故符号函数 y=sgn x 在点在点 x=0 处不连续处不连续.0,x=0,1,x 1,但由于但由于)1(1)(lim1fxfx例5解上页下页铃结束返回首页4.函数在区间上的连续性设函数 f(x)在开区间(a,b)内有定义.若 x0(a,b),f(x)在点 x0 处连续,则称 f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)C(a,b).上页下页铃结束返回首页若若
8、f(x)C(a,b),且且 f(x)在在 x=a 处处右连续右连续,在端点在端点 x=b 处左连续处左连续,则称函数则称函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续,记为记为f(x)C(a,b).对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性上页下页铃结束返回首页一般地一般地,如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 I上连续上连续,则记为则记为 f(x)C(I).上页下页铃结束返回首页练习0),1(tan)31ln(0,0,sin1sin)(2xxaxxxbxxxxxf设设连连续续在在函函数数0)(xxf为为何何值值时时，问问ba,上页下页铃结束返回首页解x
9、xxxfxxsin1sinlim)(lim20001sinlimsinlim00 xxxxxx)1(tan)31ln(lim)(lim00 xaxxxfxx)1(lim3lim00 xaxxxxa 3根根据据函函数数连连续续的的定定义义知知而而.)0(bf0,3,003baba从从而而得得上页下页铃结束返回首页二二.函数的间断点函数的间断点 通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.上页下页铃结束返回首页函数 f(x)在点 x0 处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在 U(x0)内有定义;(包括在点 x0 处有定义).)()3(0 xfa(极限值等于函数在点 x0 处的函数值);)(lim )
10、2(0存在axfxx)(,(0有极限时xfxx 上页下页铃结束返回首页1.函数间断点的定义满足下述三个条件中的任何一个,则称函数 f(x)若函数 f(x)在)(U0 x内有定义,且在点 x0 处在点 x0 处间断,点 x0 称为函数 f(x)的一个间断点：0 x0处无定义；处无定义；但在点但在点0 x不不存存在在；但但)(lim0 xfxx；但但)()(lim00 xfxfxx处处虽虽有有定定义义，在在点点0)2(x附附近近有有定定义义，在在点点0)1(x存存在在，处处有有定定义义，且且在在点点)(lim)3(00 xfxxx00 x上页下页铃结束返回首页2.函数间断点的分类 函数的间断点第一
11、类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它上页下页铃结束返回首页(1)第一类间断点若 x0 为函数 f(x)的一个间断点,且f(x)的第一类间断点.,)(lim)(lim00存在与xfxfxxxx则称 x0 为函数上页下页铃结束返回首页讨论函数 f(x)=x+1 x 0sinx x 00 21x在 x=0 处的连续性.yxO121)(xfy y=sinxyx+1 由图可知,函数在 点 x0 处间断.例例6上页下页铃结束返回首页 21)0(f)(lim 0 xfx)(lim0 xfx)(lim)(lim 00 xfxfxx故 x=0 是 f(x)的第一类间断点.将左、右极限存在但不相等的间断点,称
12、为函数的跳跃型间断点.)0 )(处有定义在xxf1)1(lim0 xx0sinlim0 xx解上页下页铃结束返回首页讨论.1 11)(2处的连续性在xxxxf函数在 x=1 无定义,2)1(lim11lim 121xxxxx而故 x=1 为函数的第一类间断点.x=1 为函数的间断点.yxO11P(1,2)y x+1 进一步分析该间断点的特点.例例7解上页下页铃结束返回首页补充定义211lim|211xxyxx则函数则函数 f*(x)在在 x=1 连续连续.f*(x)=1 112xxx2 x=1 即定义即定义分析211lim 21xxx由于上页下页铃结束返回首页这种间断点称为这种间断点称为可去间
13、断点.处函数值后处函数值后,可得到一个新的连续函数可得到一个新的连续函数,故将故将在且相等在且相等,即极限存在即极限存在,经过补充定义间断点经过补充定义间断点这个间断点的特点是该处的左、右极限存这个间断点的特点是该处的左、右极限存 补充定义f*(x)=)(lim0 xfxx,x=x0 ,)(0 xxxf上页下页铃结束返回首页 跳跃型间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 极限不相等 极限相等、补充定义上页下页铃结束返回首页(2)第二类间断点 凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.这算定义吗？即左右极限至少有一个不存在的点即左右极限至少有一个不存在的点.上页下页铃结束返回首页讨
14、论函数讨论函数.0 1)(处的连续性在xxxfxyOxy1在在 x=0 无定义无定义,xxf1)(x=0为函数的间断点为函数的间断点,1lim)(lim 00 xxfxx又故故 x=0为函数为函数的第二类间断点的第二类间断点.xxf1)()(lim 0 xfx所以称它为无穷间断点所以称它为无穷间断点.由于由于例8解上页下页铃结束返回首页.0 1sin)(处的连续性在讨论函数xxxf在在 x=0 处无定义处无定义,xxf1sin)(.0 为函数的间断点x又又xxfxx1sinlim)(lim00不存在不存在,故故 x=0 为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点.看看该函数的图形.例例9解上页下
15、页铃结束返回首页O11xy 1sinxy .1sin)(0 的振荡型间断点为称xxfx上页下页铃结束返回首页 无穷型间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷 振荡型间断点 左右极限至少有一个振荡上页下页铃结束返回首页练习练习的的间间断断点点。讨讨论论函函数数xxxfsin)(,2,0 nxx间间断断点点为为：解为为可可去去间间断断点点；知知：由由01sinlim0 xxxx.为为第第二二类类间间断断点点),2,1(sinlimnnxxxnx 知知：由由上页下页铃结束返回首页3 3 连续函数的运算连续函数的运算 及其基本性质及其基本性质 上页下页铃结束返回
16、首页,)(lim0axfxx,)(lim0bxgxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx的极限存在的极限存在时，时，设当设当)(),(0 xgxfxx 上页下页铃结束返回首页,)(lim0axfxx,)(lim0bxgxx则baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000baxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000)0()(lim)(lim)()(lim0
17、00bbaxgxfxgxfxxxxxx现在怎么说?的极限存在的极限存在时，时，设当设当)(),(0 xgxfxx 处连续处连续在在设设0)(),(xxgxf上页下页铃结束返回首页1.连续函数的四则运算 设函数 f(x)、g(x),fi(x)在点 x0 处连续,)()(lim00 xfxfxx则),2 ,1()()(lim00nxfxfiixx即,)()(lim00 xgxgxx上页下页铃结束返回首页(1)有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数.即上页下页铃结束返回首页(2)有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数.即上页下页铃结束返回首页(
18、3)两个在点 x0 处连续函数的商,当分母不为 零时,仍是一个在点 x0 处连续函数.即上页下页铃结束返回首页四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的.初等函数在其有定义的区间内连续.注意两者的区别！注注:所谓定义区间所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间就是包含在定义域内的区间 上页下页铃结束返回首页求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan)12ln(12 连续性给极限运算带来很大方便.例例10解上页下页铃结束返回首页例例11),2()2,1()1,(连续区间：连续区间：讨论：讨论：22)(2xxxxf求求的连续区间21
19、arcsin)(xxf的连续区间的连续区间连续区间：连续区间：31，上页下页铃结束返回首页例例12.21,211,)(2的的连连续续性性讨讨论论xxxxxf.2,1)(上上连连续续在在故故xf连连续续；在在1)(xxf在在各各自自的的区区间间上上连连续续；为为初初等等函函数数2,)1(2 xx),1()(lim)(lim1)2(11fxfxfxxx处，处，解上页下页铃结束返回首页1、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的初等函数在其定义区间上求极限即求该点的 函数值函数值.2、初等函数求连续区间即求定义区间初等函数求连续区间即求定义区间.上页下页铃结束返回首页（一）最大值和最小值定理设 f(x
20、)C(a,b),则 (i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时 aObxyaObxyOab xyOabxy上页下页铃结束返回首页y=f (x)a,b,y=f(x)a,b,.)()(max,bfxfbax,)()(min,afxfbax，)()(max,afxfbax.)()(min,bfxfbax此时,函数 f(x)恰好在 a,b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值.则则上页下页铃结束返回首页 (ii)y=f(x)为一般的连续函数时xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am上页下页铃结束返回首页(最大值和最小值定理)若 f(x)C
21、(a,b),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次.在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x 在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.上页下页铃结束返回首页若 f(x)C(a,b),则 f(x)在 a,b 上有界.xya a1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O1am2am3am4am5am6am 看图就知道如何证明了.推论推论上页下页铃结束返回首页f(x)在 a,b 上可取到它的最大值 M 和 f(x)C(a,b)故 m f(x)M,xa,b,|f(x)|M*,xa,b,令 M*=max|m|,|M|,则即 f(x)在 a,b 上有界.最小值 m,证上页
22、下页铃结束返回首页axyy=f(x)f(a)bf(b)Of(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.先看一个图 描述一下这个现象上页下页铃结束返回首页(根存在定理或零点定理)则至少存在一点 (a,b),使得 f()0.设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,axyy=f(x)f(a)bf(b)O上页下页铃结束返回首页f(a)=Af(b)=Byy=f(x)Cy f()=C下面看看,坐标平移会产生什么效果.xxxxOabxabxO如何描述这个现象?上页下页铃结束返回首页(介值定理)设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a,b),使得 f()=C.上页下页铃结束返回首页最大、最小值定理介质定理？引入设 f(x)C(a,b),则 f(x)取得值 m 之间的任何一个值.推论推论介于其在 a,b 上的最大值 M 和最小上页下页铃结束返回首页证明方程 x5 3x=1,在 x=1 与 x=2 之间令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,即 方程在 x=1 与 x=2 之间至少有一根.故 至少存在一个(1,2),使得 f()=0,至少有一根.例例13证
