1、7.1 引言引言(Introduction)前几章，我们借助齐次变换阐述了对于包括机械手在内的任何物体的位置和姿态的描述方法。研究了机械手的运动学，建立了机械手关节坐标和与直角坐标的位置和速度之间的关系，推导了机械手的动力学方程。本章，我们要根据动力学方程来考虑机械手的控制问题，由于任何机械手的实际控制都是通过对各个关节的协调控制来实现的，因此，必须对每一个关节进行有效的控制。7.3 机器人的位置控制 位置控制是在预先指定的坐标系上,对机器人末端执行器（end effector）的位置和姿态（方向）的控制。如图所示，末端执行器的位置和姿态是在三维空间描述的，包括三个平移分量和三个旋转分量，它们
2、分别表示末端执行器坐标在参考坐标中的空间位置和方向（姿态）。因此，必须给它指定一个参考坐标，原则上这个参考坐标可以任意设置，但为了规范化和简化计算，通常以机器人的基坐标作为参考坐标。机器人的基坐标的设置也不尽相同，如日本的MovemasterEx系列机器人，它们的基坐标都设置在腰关节上，而美国的Stanford机器人和Unimation公司出产的PUM系列机器人则是以肩关节坐标作为机器人的基坐标的。end effectorXXYYZZ图 机器人操作手O 机器人的位置控制主要有直角坐标和关节坐标两种控制方式。直角坐标位置控制：是对机器人末端执行器坐标在参考坐标中的位置和姿态的控制。通常其空间位置
3、主要由腰关节、肩关节和肘关节确定，而姿态（方向）由腕关节的两个或三个自由度确定。通过解逆运动方程，求出对应直角坐标位姿的各关节位移量，然后驱动伺服结构使末端执行器到达指定的目标位置和姿态。解逆运动程Xd d关节位控制PID光电码盘机器人操作手XddibieiX 由图可知，通用机器人是一个半闭环控制机构，即关节坐标采用闭环控制方式，由光电码盘提供各关节角位移实际值的反馈信号bi。直角坐标采用开环控制方式，由直角坐标期望值Xd解逆运动方程，获得各关节位移的期望值di，作为各关节控制器的参考输入，它与光电码盘检测的关节角位移bi比较后获得关节角位移的偏差ei，由偏差控制机器人操作手各关节伺服机构（通
4、常采用PID方式），使机械手末端执行器到达预定的位置和姿态。直角坐标位置采用开环控制的主要原因是目前尚无有效准确获取（检测）末端执行器位置和姿态的手段。但由于目前采用计算机求解逆运动方程的方法比较成熟，所以控制精度还是很高的。如美国Unimation PUMA系列机器人 CINCINNATI-T3系列机器人和Stanford机器人，其直角坐标位置重复定位精度达到0.1mm。日本三菱公司的RM101和 MovemasterEX机器人重复定位精度为0.3mm，而坐标型高精度机器人Delta和Adapt机器人重复定位精度甚至达到0.01mm。（注意：重复定位精度不是轨迹控制精度，后者精度要低得多）。
5、应该指出的是目前通用工业机器人位置控制是基于运动学的控制而非动力学控制。只适用于运动速度和加速度较小的应用场所。对于快速运动，负载变化大和要求力控的机器人还必须考虑其动力学行为。关节坐标位置控制：直接输入关节位移给定值，控制伺服机构。7.4 7.4 二阶线性系统控制规律的分解二阶线性系统控制规律的分解 机器人系统可以简化为一个带有驱动器的质量-弹簧-阻尼系统，系统运动方程为：fkxxbxm 位置控制问题就是建立一个合适的控制器，使物体在驱动力的作用下，即使存在随机干扰力，也能使物体始终在预期位置上。用 表示控制系统的位置和速度增益，适当地选择控制系统的增益可以得到所期望的任意二阶系统的品质。通
6、常，系统具有指定的刚度k，这时所选的增益应使系统具有临界阻尼b。vpkk、00)()(xkxbxmxkkxkbxmkxxbxmxkxkfpvvp 轨迹跟踪控制 如果要求受控物体能跟踪指定的目标轨迹，即物体沿着一条充分光滑的轨迹函数xd(t)运动，伺服误差e=xd-x。那么，轨迹跟踪的位置控制规律可选为：ekekxfpvd 将上述控制规律与无阻尼、无刚度的单位质量系统运动方程式联立得到系统运动的误差方程为：0ekekeekekxxpvpvd 可以通过适当选择kp和kv的值，很容易地确定系统对于误差的抑制特性，当kv2=4kp时，这个二阶系统处于临界阻尼状态，没有超调。下图所示的是控制只有一个自由
7、度的单位质量系统轨迹跟踪位置控制器框图：控制规律的分解控制规律的分解 采用控制规律分解的方法，将系统控制器分解成两个部分基于模型控制部分和伺服控制部分。结果使特定的受控系统参数m、b、k仅出现在基于模型控制部分，而伺服控制部分与这些参数无关。fxkxxbmfkxxbxm 原系统在基于上述模型的控制规律后，完全等效于在新输入f作用下的单位质量系统。采用前面单位质量系统的轨迹跟踪控制规律，确定控制增益十分简单，并与系统参数无关。pvpvpvdkkekekeekekxf20 7.5 单关节机器人的建模与控制)()()()()()()()()(tktetiktfJttedttdiLtiRtUmbbaa
8、meffmeffbaaaaa 对以上各式进行拉普拉斯变换，并忽略La的影响，单关节控制系统所加电压与关节位移的传函如下：)()()(baeffaeffaaakkfRJsRsnksUs1.单关节的位置和速度控制位置控制输入信号：nttkntektULdppa)()()()(系统的闭环传函：effabaeffabaeffaeffapadLLJRkkJRkkJRssJRkkss/)(/)(2）（传函表明，单关节位置控制是二阶系统，为改善系统的动态性能，减少静态误差，可以加大位置反馈增益kp和增加阻尼，下面再引入位置误差的导数作为反馈信号。位置和速度控制信号：ntektektUvpa)()()(位置和
9、速度控制的框图：其闭环传函：pavabaeffaeffapavadLLkkkkkkfRsJRskkskkss)()(2）（当有重力负载以及连杆变形作用时，操作臂受到D(s)的影响2.位置和速度反馈增益的确定位置和速度反馈增益的确定此时，关节的实际位移：pavabaeffaeffaadLvpaLkkkkkkfRsJRsDnRsskkkss)()()()()(2（7-39）其 和 分别为：nabaeffaaeffpavaeffpavabaeffaaeffvabaeffanaeffpankkkfRRJkkkRJkkkkkkfRRJkkkkfRRJkk21222二阶系统的响应速度由固有频率和阻尼比决定
10、，由于机械手不能有超调，所以，其阻尼比应等于1（7-43）系统存在共振频率effrJJ00为了不引起共振，应rn5.0aaaaeffrpkRJkpkRJk40400202（7-49）由上式可确定kp,由（7-43）可确定kv如果固有结构谐振频率0，是按惯量为J0的情况测定的。那么当惯量为另一个值Jeff时，结构频率就由下式确定3.稳态误差及其补偿系统的误差：sTesTcsTsDkkkkkkfRsJRssDnRsssEekkkkfRsJRssDnRskkfRsRJssEttteGpavabaeffaeffaassssvabaeffaeffaadLbaeffaaeffLdL/)()()()()()
11、()()()()()()()()(20022limlim当为阶跃输入时TG(s)为重力产生的力矩Tc(s)为离心力产生的力矩Te/s 为未知的幅值很小的恒值干扰系统的误差与重力、离心力和常值干扰有关，为了减小稳态误差，在控制系统中加入补偿力矩TCOM,系统的稳态误差表达式为：重力负载造成的偏差比较大，但是，我们可以利用运动学和动力学方法计算关节的重力矩TG。给这个关节的附加一个前馈力矩，其大小与计算的重力负载力矩相等。则可以消去重力的影响至于离心力，当 时，因此Tc不会产生稳态位置误差 系统的稳态位置误差仅与常值干扰Te/s有关，通常该值很小t0）（L pavabaeffaeffa2Ga0ss
12、skk)kkkkfR(sJRsTcoms/Te)s(Tc)s(TnRselim 7.6 柔顺控制 柔顺控制又叫依从控制或顺应控制，它是在机器人的操作手受到外部环境约束的情况下，对机器人末端执行器的位置和力的双重控制。顺应控制对机器人在复杂环境中完成任务是很重要的，例如装配，铸件打毛刺，旋转曲柄，开关带铰链的门或盒盖，拧螺钉等。顺应控制可分为两种方式:被动式(Passive Compliance)主动式(Active Compliance)被动式顺应 被动式顺应控制是设计一种柔性机械装置，并把它安装在机械手的腕部，用来提高机械手顺应外部环境的能力，通常称之为柔顺手腕（Compliance Wri
13、st）。这种装置的结构有很多种类型，比较成熟的典型结构是由美国麻省研制的一种称之为RCC（Remote Center Compliance）的无源机械装置，它是一种由铰链连杆和弹簧等弹性材料组成的具有良好消振能力和一定柔顺的无源机械装置。该装置有一个特殊的运动学特性，即在它的中心杆上有一个特殊的点，称为柔顺中心（Compliance Center。若对柔顺中心施加力，则使中心杆产生平移运动，若把力矩施加到该点上，则产生对该点的旋转运动，该点（柔顺中心）往往被选作为工作坐标的原点。被动顺应的结构像RCC这样的被动式柔顺手腕，由于不需要信息处理，而只靠自身的机构调整，所以具有快速响应的能力，而且结
14、构简单，价格低廉。但它只能在诸如插轴入孔这样一些专用场合使用，且柔顺中心的调整也比较困难，不能适应杆件长度的变化，柔顺度固定，无法适应不同作业任务要求，这些都是由于其机械结构和弹性材料决定的，因此其通用性较差。主动柔顺 通过改变控制器控制方式，增加力反馈等使机器人与工作对象间按需要的刚度运动的柔顺方式。（必须控制器参与）分为阻抗控制，力和位置混合控制1.1.阻抗控制阻抗控制 (Impedance Control)(Impedance Control)通过控制力和位置间的动态关系（阻抗），来实现柔顺功能。通过控制使机械手末端呈现所需要的刚性和阻尼。这样的动态关系类似于电路中阻抗的概念，因而称为阻
15、抗控制。对于需要进行位置控制的自由度，给予大的刚性；对于需要进行力控制的自由度，给予小的刚性。图 7-10 一种阻抗控制结构图 J-1KPARMXdXJ-1JTKvKf1KE力传感器FsFKf2XEXdX 图7-10中，当阻尼反馈矩阵Kf20时，称为刚度控制。刚度控制是用刚度矩阵Kp来描述机器人末端作用力与位置误差的关系，即F(t)=Kp X (7.5.1)式中Kp通常为对角阵，即KpdiagKp1 Kp2 Kp6。刚度控制的输入为末端执行器在直角坐标中的名义位置，力约束则隐含在刚度矩阵Kp中，调整Kp中对角线元素值，就可改变机器人的顺应特性。当阻尼反馈矩阵Kf10时，称为阻尼控制。阻尼控制则
16、是用阻尼矩阵Kv来描述机器人末端作用力与运动速度的关系，即F(t)=Kv （7.5.2）式中Kv是六维的阻尼系数矩阵，阻尼控制由此得名。通过调整Kv中元素值，可改变机器人对运动速度的阻尼作用。X 阻抗控制本质上还是位置控制，因为其输入量为末端执行器的位置期望值Xd（对刚度控制而言）和速度的期望值（对阻抗控制而言）。但由于增加了力反馈控制环，使其位置偏差X 和速度偏差 与末端执行器与外部环境的接触力的大小有关，从而实现力的闭环控制。这里力位置和力速度变换是通过刚度反馈矩阵Kf1和阻尼反馈矩阵Kf2来实现的。X2.2.主动刚度控制主动刚度控制 广义直角坐标刚度与关节坐标刚度广义直角坐标刚度与关节坐
17、标刚度 将线性弹簧的虎克定理f k dx 推广到直角坐标中六维矩阵的形式有 f kx （7.6.3）式中x dx dy dz x y z T 称为位置偏差向量，其中前三个分量是位置偏差平移分量，后三个分量是旋转分量；f=fx fy fz mx my mz T 是六维力向量；k 66 维刚度矩阵，矩阵元素 kij(i,j=1,2,3 6)表示位置偏差向量与力向量之间的关系，如果将k选定为66的对角阵，即 k diag k11 k22 k66，即表明力向量与位置偏差向量是去耦的，这时它们之间的各个分量之间具有一一对应的线性关系。式 f kx 是在直角坐标中描述六维力向量与位置偏差向量的关系式，因而
18、称k为广义直角坐标刚度矩阵。运用Jacobian阵J作微分变换，则有 x J （7.6.4）式中d，为指令关节角位移与实际关节角位移的差值。设静力和动态力均被补偿，则满足式（7.6.3）作用力f所需的关节力矩为：JT f （7.6.5）f kx （7.6.6）x J (7.6.7）JT f （7.6.8）由式（7.6.6）（7.6.8）可得：JT k J （7.6.9）令 kP JT k J，则有 kP （7.6.10）我们将kP称为关节刚度矩阵（Joint Stiffness Matrix），它表示关节位移偏差与关节力矩之间的关系。如果直角坐标刚度矩阵k是对角阵，由kP JT k J 可知，
19、关节刚度矩阵kP是非对角的对称阵。这意味着有关关节的位置误差会影响其它关节的指令力矩，即关节刚度是耦合的。正是基于这个原因，采用直角坐标刚度控制比较方便。主动刚度控制结构主动刚度控制结构J为机械手末端执行装置的雅可比矩阵，Kp为定义于末端笛卡儿坐标系的刚性对角矩阵（与关节刚度不同，人为定义的对角阵），如果希望在某个方向上遇到实际约束，那么这个方向的刚性应当降低，以保证有低的结构应力；反之，在某些不希望碰到实际约束的方向上，则应加大刚性，这样机械手紧紧跟随期望轨迹。于是，就能够通过改变刚性来适应变化的任务要求。7.7 7.7 位置和力的混合控制位置和力的混合控制1.C曲面 自然约束：机器人末端与
20、环境或作业对象接触时，环境的几何特性或作业结构特性对机器人构成的约束。自然约束与机器人打算作的运动无关。一般将接触表面定义为一个广义曲面，沿法向定义自然位置约束，沿切向定义自然力约束。人为约束：用来描述机器人预期的运动或施加的力时，由人为定义的一组约束条件。由于在一个给定的自由度上不能同时对力和位置实施控制，认为约束就必须与自然约束相适应。机器人工作程序：自然约束发生变化的情况是通过检测发现的，而检测量并不是受控量；手部的位置控制是沿着有自然力的约束方向；手部的力控制是沿着有自然位置约束的方向。在机器人的作业任务中定义一个广义平面沿此平面的法线方向有自然位置约束，可以加入人为的力约束，即实施力
21、控制；而沿此平面的切线方向有自然力约束，可以加入人为的位置约束，即实施位置控制。为了便于描述这个广义平面，也可以用一个坐标系C来取代这个广义平面。C就是compliance frame。有些文献称之为task frame，或者constraint frame。它具有以下四个特点：a.为了方便描述作业，把机器人末端的自由度总是分解为两个正交集合，C是直角坐标系。b.C总是处于与某项具体任务有关的位置。c.视任务不同，C可能在环境中固定不动，也可能随手爪一起运动。d.C有6个自由度。任一时刻的作业均可以分解为沿每一个自由度的位置控制或者力控制。图7-13是由Raibert和Craig提出的一种力/
22、位置控制方案，即著名的RC控制器。该控制器不同于刚度控制和阻抗控制，阻抗控制和刚度控制的输入是位置和速度，其力控隐含在刚度反馈矩阵中，其本质还是属于位置控制。而RC控制器的输入变量既有位置、速度，也有力。RC控制器是位置/力混合控制的经典之作，以后许多控制方案都是在这一方案基础上演变或改进的结果。图7-13中，机器人各关节驱动电机的力矩分别由位置环（上部）和力控制环（下部）这两个相对独立的控制环共同提供。位置环由PI调节器整定，而力控制环由带限幅器的PI调节器整定，给定力通过Jacobian矩阵转换直接加到关节驱动器。关节位置q和速度由光电码盘或测速发电机提供。用Jacobian矩阵转换为直角
23、坐标变量 和 ，力反馈信号由腕力传感器测取Hf，通过坐标变换为C坐标系力向量cf。图7-13中的s为66的对角阵，即 s=diag s1 s2 s6，称为顺应选择矩阵。其对角线元素为1或0，由它来确定（选择）那些自由度施加力控，那些自由度施加位置控制。I 是66的单位矩阵。所以Is是选择矩阵s的逆。xcxc2.R-C控制器Kfp+JJKpp+KpidtKpdI-S I-SSSJTJTJ-1J-1Kfidt cTHcfdcfcfe cfd+图7-13 RC 力/位置混合控制器ARMecxecx eq dcxeqqfHqq q xcxcdcx 7.8 7.8 分解运动控制分解运动控制1 分解运动控
24、制原理 根据雅可比矩阵定义，有若逆雅可比矩阵存在，则有，这是分解速度控制的基础。)()()()()()()()(621tqqJqJqJtqqJttv)()()()(1ttvqJtq对于加速度有：从而有：这是分解加速度控制的基础。)t(q)q(J)t()t(v)q(J)q,q(J)t(q)q(J)t(q)q,q(J)t()t(v1 )t()t(v)q(J)q,q(J)q(J)t()t(v)q(J)t(q111 2 分解运动速度控制 分解运动速度控制，各关节电机联合运行，保证夹手沿笛卡儿坐标稳定运动。先把夹手运动分解为各关节的期望速度，然后对各关节实行速度伺服控制。TnTzyxqqqtqppptx
25、tqftx21)()()()()()()()(tqqJtxdttdx当m=n，机械手非冗余时，有当mn，机械手为冗余，需要用广义逆：A为对称正定矩阵mjniqfJiiij1,1,)()()(1txqJtq)()()()()(111txqJAqJqJAtqTT3 分解运动加速度 分解运动加速度控制：首先计算出工具的笛卡儿坐标加速度，然后将其分解为相应的各关节加速度，再按照动力学方程计算出控制力矩。实际位置和姿态 期望的位置和姿态位置误差姿态误差1000)()()()()(tptatotntH1000)()()()()(tptatotntHddddd)()()()()()()()()(tptptp
26、tptptptptptezdzydyxdxdpdddataotontnte)()()(21)(0 为减少位置和姿态误差，要求因为)(),()()()()()()()()(tqqqJtqqJtxtqqJttvtx )()()()()()()()()()(2121tekttktttektvtvktvtvoddpdd)()()(,)()()(tetetettvtxopddd从而有：代入得：因为这里考虑的是误差项，因此是闭环控制，精度高。)()()()()(21tektxtxktxtxdd )(),()()()(tqqqJtqqJtx )(),()()()()()()(2111tqqqJtektxktxqJtqktqdd 7.8 其他控制方法1.变结构控制2.自适应控制3.神经网络控制4.模糊控制48 结束语结束语
