1、5.4 二次型及其标准形二次型及其标准形 的概念的概念一、二次型及其标准形一、二次型及其标准形 二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩 的正交变换法的正交变换法四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形 五、小结、思考题 一、二次型及其标准形的概念 nnnn nnnn xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 1, 131132112 22 222 2 11121 222 , 称为二次型称为二次型. . 的二次齐次函数的二次齐次函数个变量个变量含有含有定义定义 n xxxn, 1 21 ; , 称为称为是复数时是复数时当当faij复二次型复二次型 .
2、, 称为称为是实数时是实数时当当faij实二次型实二次型 本课程只考虑实二次型说明说明 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型 22 22 2 11nn ykykykf 称为二次型的称为二次型的标准形标准形 例如例如 31 2 3 2 2 2 1321 4542,xxxxxxxxf 都为都为二次型；而二次型；而 2 3 2 2 2 1321 44,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形. . 323121321 ,xxxxxxxxxf 1 1用和号表示用和号表示 nnnn nnnn xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 1, 131132112 22 222 2 11121 2
3、22 , 对二次型对二次型 , aa ijji 取取,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij 则则 于是于是 nn xxaxxaxaf 112112 2 111 . 1, xxa ji n ji ij nn xxaxaxxa 22 2 2221221 2 2211nnnnnnn xaxxaxxa 二、二次型的表示方法 2 2用矩阵表示用矩阵表示 nn xxaxxaxaf 112112 2 111 nn xxaxaxxa 22 2 2221221 2 2211nnnnnnn xaxxaxxa )( )( )( 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn xa
4、xa xax xaxa xax xaxa x a x nnnnn nn nn n xaxa xa xaxa xa xaxa x a xxx 2211 2222121 1212111 21 ),( ., 为实对称矩阵为实对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxf T , 2 1 21 22221 11211 nnnnn n n x x x x aaa aaa aaa A 若记若记 nnnnn n n n x x x aaa aaa aaa xxx 2 1 21 22221 11211 21 , 三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个
5、二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系 ; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型实对称矩阵实对称矩阵fA ; 的二次型的二次型叫做实对称矩阵叫做实对称矩阵 Af . 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型实对称矩阵实对称矩阵fA 解解 ,a,a,a321 332211 ,aa2 2112 ,aa0 3113 .aa3 3223 . 330 322 021 A . 6432 3221 2 3
6、2 2 2 1 的矩阵的矩阵 写出二次型写出二次型 xxxxxxxf 例例 2例例试写出二次型试写出二次型 31 2 2 2 14321 423),(xxxxxxxxf .A的矩阵的矩阵 解解阵应为阵应为依题意，该二次型的矩依题意，该二次型的矩 0000 0002 0020 0203 A 三个不同变量，但三个不同变量，但虽然实际表达式中只有虽然实际表达式中只有说明说明 不过一般不不过一般不量个数为准量个数为准必需按记号中出现的变必需按记号中出现的变. 际出现的不同变量数为际出现的不同变量数为特别指明的话，总以实特别指明的话，总以实 .其矩阵的维数其矩阵的维数 3例例试写出二次型试写出二次型 3
7、 2 1 321 020 511 132 , x x x xxxf .A的矩阵的矩阵 解解实对称矩阵，故实对称矩阵，故由于二次型的矩阵必是由于二次型的矩阵必是 而有而有 0 2 25 2 01 2 25 1 2 31 2 01 2 31 2 A 02721 2711 2112 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 , , 设有可逆设有可逆 线性变换线性变换 四、化二次型为标准形的正交 变换法 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性
8、变换，将二次型化为标准形 ),(cijC 若记矩阵若记矩阵 记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx Axxf T 有有将其代入将其代入, Ax x f T . yACCy TT CyACy T 说明：说明： ; ,1 AC C BA fCyx. T 变为变为的矩阵由的矩阵由 但但其秩不变其秩不变后后二次型经可逆变换二次型经可逆变换 22 22 2 11nn T T y k y k y k ACy Cy 就是要使就是要使 变成标准形变成标准形经可逆变换经可逆变换要使二次型要使二次型, 2 Cyxf. ,),( 2 1 2 1 21 y y y k k k yyy n n n .
9、成为对角矩阵成为对角矩阵也就是要使也就是要使AC C T 2定义定义,PnBAn阶满秩阵阶满秩阵若存在若存在和和阶方阵阶方阵对对 使成立使成立 APPB T BA与与则称则称.合同合同 合同这种关系的性质：合同这种关系的性质： ）同与同与 合合则则合同于合同于合同与合同与（即若（即若传递性传递性 ）则则对称性；（即若对称性；（即若 ）自反性；（即自反性；（即 C ACBBA BPPAAPPB AIIA TT T ,.)3( )(,)2( )1( 11 形的问题就转变成如何形的问题就转变成如何于是，化二次型为标准于是，化二次型为标准 .对角矩阵的问题对角矩阵的问题使实对称矩阵合同于实使实对称矩阵
10、合同于实 即有即有用于二次型用于二次型 因此把这个结论应因此把这个结论应即即使使 总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩 , ., , 1 APAP PA PP T 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换 总有总有任给二次型任给二次型 fPyx aaxxaf jiij n ji jiij , , 1, , 22 22 2 11nn yyyf ., 21 的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中 ijn aAf 1定理定理 . 1 的特征值的特征值系数一定是系数一定是 准形准形经过正交变换化成的标经过正交变换化成的标、 A Axxf T 说明：说明： 时，必有时，
11、必有在在持向量的长度不变，即持向量的长度不变，即 而言，正交变换将保而言，正交变换将保、对正交变换、对正交变换 Qyx Qyx 2 22 yx 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤： ;,. 1AAx x f T 求出求出将二次型表成矩阵形式将二次型表成矩阵形式 ;,. 2 21n A 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 3 21n 征向量征向量求出对应于特征值的特求出对应于特征值的特 ;, ,. 4 2121 21 nn n C 记记 得得单位化单位化正交化正交化将特征向量将特征向量 . ,. 5 22 11nn yyf fCyx 的标准形的标准形
12、则得则得作正交变换作正交变换 1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 1442 4142 2217 A 1442 4142 2217 IA 918 2 什么曲面？什么曲面？ 表示表示化成标准形，并问化成标准形，并问通过正交变换通过正交变换 将二次型将二次型 2, 844141417 323121 2 3 2 2 2 1 fPyx xxxxxxxxxf 例例4 4 解解 从而得特征值从而得特征值 .18, 9 321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 09 1 xIA 2 2求特征向量求特征向量 得基础解系得基础解系代入代入将将, 018 32 xIA ,)
13、0 , 1 , 2( 2 T .)1 , 0 , 2( 3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化 , 1 1 取取 ) 1, 1, 21 ( 1 T , 22 , , , 2 22 32 33 得正交向量组得正交向量组 .)1 , 54, 52( 3 T ,)0 , 1 , 2( 2 T , ) 1, 1, 21 ( 1 T ,3 , 2 , 1, i i i i 令令 得得 , 0 51 52 2 , 32 32 31 1 . 455 454 452 3 . 455032 4545132 4525231 P 所以所以 4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵
14、P 于是所求正交变换为于是所求正交变换为 , 455032 4545132 4525231 3 2 1 3 2 1 y y y x x x .18189 2 3 2 2 2 1 yyyf 且有且有 即即,Pyx 表示椭球面。表示椭球面。此时，容易看出此时，容易看出2 f 5例例AxxfA T 阶实对称矩阵，二次型阶实对称矩阵，二次型为为已知已知3 . ,1, 1, 1 3 1 , ,4 3321 2 3 2 2 2 1 Qyx Q yyyQyx T 所作的正交变换所作的正交变换 试求试求，且，且中矩阵中矩阵 其其化为标准形化为标准形经正交变换经正交变换 解解 两两正交，且由两两正交，且由，正交
15、知，正交知，由由 321 Q 知则由 的特征向量为对应特征值征向量，设 的特是对应于，的特征值为题设知 0, 1 4411 3321 3 xxxx xA A T T 0 321 xxx 的线性无关特征向量的线性无关特征向量的对应于特征值的对应于特征值由此可得由此可得1A TT 1, 0, 1,0, 1, 1 21 经正交化、单位化，得经正交化、单位化，得 TT 2, 1, 1 6 1 ,0, 1, 1 2 1 21 为为因此，正交变换因此，正交变换Qyx 323 3212 3211 3 1 6 2 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 yyx yyyx yyyx 实二次型的化简，并不
16、局限于使用正交矩实二次型的化简，并不局限于使用正交矩 阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换算更快的可逆变换拉格朗日配方法拉格朗日配方法 用拉格朗日配方法化二次型为标准形的步骤用拉格朗日配方法化二次型为标准形的步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是 保持几何形状不变保持几何形状不变 1. 若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积的乘积 项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都 配成平方项为止，经过非退化线性
17、变换，就得到标准形配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; i x i x kk jij jii yx yyx yyx jiknk, 2 , 1 且且 拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换 0 ij a),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方 法配方。法配方。 解解 323121 2 3 2 2 2 1 62252xxxxxxxxxf ., 62252 323121 2 3 2 2 2 1 并求所用的变换矩阵并求所用的变换
18、矩阵为标准形为标准形 化二次型化二次型 xxxxxxxxxf 例例 3121 2 1 22xxxxx 32 2 3 2 2 652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1 含有平方项含有平方项 2 321 xxx 32 2 3 2 2 652xxxx 32 2 3 2 2 2xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 32 2 3 2 2 2 321 44xxxxxxx .2 2 32 2 321 xxxxx 33 322 3211 2 xy xxy xxxy 令令 33 322 3211 2 yx yyx yyyx 3 2 1 3 2 1 100 210 111 y y y x x x
19、 323121 2 3 2 2 2 1 62252xxxxxxxxxf . 2 2 2 1 yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01, 100 210 111 CC , 33 212 211 yx yyx yyx 令令 解解 ,622 323121 xxxxxxf 代入代入 .8422 3231 2 2 2 1 yyyyyyf 得得 ., 622 323121 并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵成标准形成标准形 化二次型化二次型 xxxxxxf 例例 由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 y y y x x x 3 2 1 3 2 1 100 011 011 即即
20、再配方，得再配方，得 .6222 2 3 2 32 2 31 yyyyyf 33 322 311 2 yz yyz yyz 令令 ,2 33 322 311 zy zzy zzy .622 2 3 2 2 2 1 zzzf 得得 z z z y y y 3 2 1 3 2 1 100 210 101 即即 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100 210 101 100 011 011 C . 100 111 311 .02 C 五、小结 1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法
