1、)( 2 tP )( 122 yyk 11y k )( 22 ty m )( 11 ty m )( 1 tP )()( 12211111 yykykymtP )()( 122222 yykymtP 例例7.7. m1 )( 1 tP 2 k 1 EI 1 EI 1 k )( 2 tP m2 )( 1 ty )( 2 ty )( 22 ty m )( 1 tP )( 1 ty )( 2 ty )( 11 ty m )( 2 tP 例例8 8 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程 0 A M m EI2m l l l k A y(t) 2y(t) 3y(t) )(2ty m yk2 )(3
2、ty m 033222lymlyklym 0)(4)(11tkyty m l 1 EI l EI )(tP m 例例9 9 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程 )(t)(tlm )(tlm )(tP )(4ti A B 0 B M 04 3 2 2 1 )(i l llmltP ltPilm)(4 3 1 3 )(tP )(t J )(tlm )(tP )(4ti J 0 B M 04)(iJltP 2 3 1 llmJ XMbXkbXk )()( 例例10 10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板图示体系为质量均匀分布的刚性平板, ,试建立运动方程试建立运动方程. . 总质量为总质量
3、为M, ,转动惯量为转动惯量为J. 设设 水平位移为水平位移为x 竖向位移为竖向位移为y 转角为转角为 2b kk k k 2a X Y XM YM J )(bXk )(bXk )(aYk )(aYk YMaYkaYk )()( 0)()( )()( JaaYkaaYk bbXkbbXk 02 kXXM 02 kYYM 0)(2 22 kabJ M ba J 3 22 2.单自由度体系的振动分析单自由度体系的振动分析 2.1 2.1 不计阻尼自由振动不计阻尼自由振动 自由振动自由振动-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振动中无动荷载作用的振动。在振动中无动荷载作用的振动。 分
4、析自由振动的目的分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 阻尼阻尼-耗散能量的作用。耗散能量的作用。 m EI l )(ty )(ty m )()( 11 tymty )()( 11 tymtyk 0)()( 2 tyty 令令 11 11 2 1 mm k 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 m EI l )(ty )(ty m )()( 11 tymty )()( 11 tymtyk 0)()( 2 tyty 令令 11 11 2 1 mm k 二阶线性齐次
5、常微分方程二阶线性齐次常微分方程 其通解为其通解为 tctctysincos)( 21 由初始条件由初始条件 0 )0(yy 0 )0(yy 可得可得 01 yc / 02 yc t y tyty sincos)( 0 0 令令 sin 0 Ay cos/ 0 Ay )sin()(tAty 其中其中 2 2 0 2 0 y yA 0 0 tan y y 二二. .振动分析振动分析 其通解为其通解为 tctctysincos)( 21 由初始条件由初始条件 0 )0(yy 0 )0(yy 可得可得 01 yc / 02 yc t y tyty sincos)( 0 0 令令 sin 0 Ay c
6、os/ 0 Ay )sin()(tAty 其中其中 2 2 0 2 0 y yA 0 0 tan y y 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. . ) 2 () 2 (sin)2sin()sin()( tytAtAtAty 2 T自振周期自振周期 2 1 T 自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) ) 与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性 A 振幅振幅 初相位角初相位角 二二. .振动分析振动分析 单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. . ) 2 () 2 (si
7、n)2sin()sin()( tytAtAtAty 2 T自振周期自振周期 2 1 T 自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) ) 与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性 A 振幅振幅 初相位角初相位角 三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算 1.1.计算方法计算方法 (1)(1)利用计算公式利用计算公式 11 11 2 1 mm k 11 ,WmgW st st g 2 (2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒 常数)()(tUtT )(cos 2 1 )( 2 1 )( 2222 tmAtymtT )(sin 2 1 )( 2 1 )( 22 11
8、 2 11 tAktyktU maxmax UT 三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算 1.1.计算方法计算方法 (1)(1)利用计算公式利用计算公式 11 11 2 1 mm k 11 ,WmgW st st g 2 (2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒 常数)()(tUtT )(cos 2 1 )( 2 1 )( 2222 tmAtymtT )(sin 2 1 )( 2 1 )( 22 11 2 11 tAktyktU maxmax UT (3)(3)利用振动规律利用振动规律 )sin()(tAty )sin()( 2 tAt y )sin()()( 2 tmAtymtI
9、 位移与惯性力同频同步位移与惯性力同频同步. . 2 11 mAAk 1 11 k m EI l )(ty 2 mA A 幅值方程幅值方程 m k11 2 三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算 2.2.算例算例 例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 3 11 7 121 ml EI m ) 22 1 2 1 3 2 2 1 ( 1 11 l l lllllll EI EI ml T 12 7 2 2 3 m EI l EI l =1 11 =1 l l/2 l 解解: : EI l 3 12 7 例二例二. .求图示体系的自振频率和周期求图示体
10、系的自振频率和周期. . 33 3 2 2 3 1 ml EI EI l m EI l 3 11 3 2 EI ml T 3 2 =1 解解: : 2 3 l EI m EI l l m/2 EI EI l l 例三例三. .质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. . 3 11 3 l EI kk解解: : EI k l 11 k 1 11 k k 3 3 l EI gWm/ g W l EI k 3 3 例四例四. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 2222 22 max 2 9 )2( 2 1 )( 2 1 )2( 2 1 mllm lmlmT
11、解解: : m k 9 5 m l m EI m l l l k k )(t 1.1.能量法能量法 2222 max 2 5 )2( 2 1 )( 2 1 kllklkU maxmax UT 2.2.列幅值方程列幅值方程 ml 2 2 ml 2 2ml 2 lk lk2 A 0 A M 0222222 222 lklllmlmllkllml 059 222 klml m k 9 5 2.2 2.2 简谐荷载作用下的受迫振动简谐荷载作用下的受迫振动( (不计阻尼不计阻尼) ) 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 tPtyktymsin)()( 11 二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微
12、分方程 受迫振动受迫振动-动荷载引起的振动动荷载引起的振动. . m EI l )(ty P(t)P(t) tPtPsin)( P P -荷载幅值荷载幅值 -荷载频率荷载频率 运动方程运动方程 )()()( * tytyty 或或 通解通解 其中其中 tctctysincos)( 21 设设 t m P tytysin)()( 2 tAtysin)( * 代入方程代入方程, ,可得可得 )( 22 m P A 通解为通解为 t m P tctcty sin )( sincos)( 22 21 二二. .纯受迫振动分析纯受迫振动分析 m EI l )(ty P(t)P(t) 设设 tAtysin
13、)( * 代入方程代入方程, ,可得可得 )( 22 m P A 通解为通解为 t m P tctcty sin )( sincos)( 22 21 tAtysin)( )( 22 m P A 2 22 1 1 m P st yA 11 2 P m P yst -荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 22 /1 1 -动力系数动力系数 -稳态振幅稳态振幅 | 1 1 1 1 -频比频比 2 1 1 二二. .纯受迫振动分析纯受迫振动分析 m EI l )(ty P(t)P(t) tAtysin)( )( 22 m P A 2 22 1 1 m P st yA 11
14、2 P m P yst -荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 22 /1 1 -动力系数动力系数 -稳态振幅稳态振幅 st yA | 1 1 1 1 2 1 1 11 2 P m P yst -荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 22 /1 1 -动力系数动力系数 -频比频比 -稳态振幅稳态振幅 01 1 -共振共振 0 10增函数增函数 1| 减函数减函数 0 )( 1 sin)( 22 tP m t m P ty 为避开共振为避开共振 一般应大于一般应大于1.251.25 或小于或小于0.75.0.75. 1.251.25 0.7
15、50.75 共振区 m k11 2 若要使振幅降低若要使振幅降低, ,应采取何种措施应采取何种措施? ? 通过改变频比可增加或减小振幅通过改变频比可增加或减小振幅. . 10增函数增函数 1| 减函数减函数 0 )( 1 sin)( 22 tP m t m P ty 01 1 -共振共振 0 为避开共振为避开共振 一般应大于一般应大于1.251.25 或小于或小于0.75.0.75. 10 应使频比减小应使频比减小. . 增加结构自频增加结构自频. . 增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量. . 1 应使频比增大应使频比增大. . 减小结构自频减小结构自频. . 减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量. . 作业作业: : 145145页页 6 6- -7(d)(e)7(d)(e) 6 6- -9 9 165165页页 7 7- -1(a)(c)(d)(e)1(a)(c)(d)(e)
