1、正交阻尼矩阵的构成正交阻尼矩阵的构成 kbmac-比例阻尼比例阻尼(Rayleigh(Rayleigh阻尼阻尼) ) i 已知两个阻尼比已知两个阻尼比 j * iii T ii bKaMXcXC * 2 iiii MC )( 2 1 2 / 2 2 * * * i ii ii ii ii i ba MbKa M bKaM )( 2 1 2 j j j ba kbmac )( 2 1 2 j j j ba 例例. .求图示体系的正交阻尼矩阵求图示体系的正交阻尼矩阵 和阻尼比和阻尼比 . . c 3 m k m m k k 3 2 1 已知已知: : mkmkmk/802. 1;/247. 1;/
2、44. 0 321 05.0 21 解解: : )( 2 1 2 1 1 1 ba )( 2 1 2 2 2 2 ba kmbmka/0591.0/0328.0 0624.0)( 2 1 2 3 3 3 ba m m m m kk 110 121 012 mkkbmac 0919. 00591. 00 0591. 0151. 00591. 0 00591. 0151. 0 )sin()( iii tXty 4. 频率、振型的实用计算方法频率、振型的实用计算方法 4.1 4.1 能量法（瑞利法）能量法（瑞利法） 1 m N m )( 1 ty )( 2 ty )(tyN 能量法是计算体基本频率近
3、似值的一种常用方法。能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。 设体系按设体系按i i振型作自由振动。振型作自由振动。t时刻的位移为时刻的位移为 速度为速度为 )cos()( iiii tXty 动能为动能为 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 22 22 2 11 tymtymtymtT NNi )()( 2 1 tymty T )(cos 2 1 22 iiii T i tXmX 势能为势能为 )(sin 2 1 )( 2 iii T ii tXkXtU 1 m N m )( 1 ty )( 2 ty )(tyN 动能为动能为 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )(
4、22 22 2 11 tymtymtymtT NNi )()( 2 1 tymty T )(cos 2 1 22 iiii T i tXmX 势能为势能为 )(sin 2 1 )( 2 iii T ii tXkXtU 最大动能为最大动能为 2 max 2 1 ii T ii XmXT i T ii XkXU 2 1 max 最大势能为最大势能为 由能量守恒，有由能量守恒，有 maxmaxii UT i T i i T i i XmX XkX 2 1 m N m )( 1 ty )( 2 ty )(tyN 最大动能为最大动能为 2 max 2 1 ii T ii XmXT i T ii XkXU
5、 2 1 max 最大势能为最大势能为 由能量守恒，有由能量守恒，有 maxmaxii UT i T i i T i i XmX XkX 2 选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向 量代入上式求频率的近似值。量代入上式求频率的近似值。 通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求 基本频率的近似值。基本频率的近似值。 例例. .用能量法计算图示体系的基频用能量法计算图示体系的基频. . m k m m k k 3 2 1 解解: : m m m m kk 110 121 012 1.1.取自重引起的位移取自重引起的位
6、移 mg 1 y mg mg 2 y 3 y kmgy/3 1 kmgkmgyy/5/2 12 kmgkmgyy/6/ 13 6 5 3 1 X 11 11 2 1 XmX XkX T T mk m k /2.0 70 14 精确解精确解: : mk /198.0 2 1 mk /445.0 1 mk /447.0 1 2.2.取直线取直线 m k m m k k 3 2 1 mg 1 y mg mg 2 y 3 y 3 2 1 1 Xmk /214.0 2 1 3.3.取常数取常数 1 1 1 1 Xmk /333.0 2 1 6 5 3 1 X 11 11 2 1 XmX XkX T T
7、mk m k /2.0 70 14 精确解精确解: : mk /198.0 2 1 mk /445.0 1 mk /447.0 1 mk /463.0 1 mk /577.0 1 4.2 4.2 迭代法迭代法 XXA 对于给定的方阵对于给定的方阵 , ,满足上式的向量满足上式的向量 和数值和数值 称作称作 的特征的特征 向量和特征值向量和特征值. .合称为特征对合称为特征对. . A X A 有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。 XBXA -标准特征值问题标准特征值问题 -广义特征值问题广义特征值问题 柔度法建立的振型方程柔度法建立的
8、振型方程 XmX 2 令令 mD-动力矩阵动力矩阵 XDX 2 1 -标准特征值问题标准特征值问题 刚度法建立的振型方程刚度法建立的振型方程 XmXk 2 -广义特征值问题广义特征值问题 一一. . 迭代法求基频和基本振型迭代法求基频和基本振型 1.1.作法作法 假设振型假设振型 , , 0 X 计算计算 , , 1 X 0 1 XDX 若若 是真的振型是真的振型, ,则下式成立则下式成立 0 X 1 00 2 1 XXDX 即即 与与 成比例成比例. . 0 X 1 X 柔度法建立的振型方程柔度法建立的振型方程 XmX 2 令令 mD-动力矩阵动力矩阵 XDX 2 1 -标准特征值问题标准特
9、征值问题 若不成比例若不成比例, , 不是振型不是振型. . 0 X 迭代式为迭代式为 n n XDX 1 这时将这时将 归一化归一化, ,得得 ; ;在将在将 其作为新的假设振型继续计算其作为新的假设振型继续计算. . 1 X 1 X 一直算到一直算到 与与 成比例为止成比例为止. . n X 1n X 1 2 1 1 n nn XXDX n X 为基本振型为基本振型. . 这时下式成立这时下式成立 基本频率由下式计算基本频率由下式计算 1 2 1 n s n s X X 334.10 334. 8 667. 4 1 2 k m XDX 2.2.算例算例: : 用迭代法计算图示体系的基频和基
10、本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型. . 设设 m k m m k k 3 2 1 解解: : m m m m k 1 321 221 111 k m mD 321 221 111 1 1 1 0 X 6 5 3 0 1 k m XDX 2 667. 1 1 1 X归一化归一化 21. 2 78. 1 1 2 X归一化归一化 19.11 98. 8 99. 4 2 3 k m XDX 24. 2 8 . 1 1 3 X归一化归一化 2.2.算例算例: : 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型. . 设设 m k m m k k 3 2 1 解解: :
11、 m m m m k 1 321 221 111 k m mD 321 221 111 1 1 1 0 X 22.11 08. 9 04. 5 3 4 k m XDX 24. 2 8 . 1 1 4 X归一化归一化 334.10 334. 8 667. 4 1 2 k m XDX 21. 2 78. 1 1 2 X归一化归一化 19.11 98. 8 99. 4 2 3 k m XDX 24. 2 8 . 1 1 3 X归一化归一化 2.2.算例算例: : 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型. . 设设 m k m m k k 3 2 1 解解: : m
12、m m m k 1 321 221 111 k m mD 321 221 111 1 1 1 0 X 22.11 08. 9 04. 5 3 4 k m XDX 24. 2 8 . 1 1 4 X归一化归一化 基本振型为基本振型为 24. 2 8 . 1 1 1 X 基本频率为基本频率为 m k k m X X n s n s 198. 0 04. 5 1 1 2 1 精确值为精确值为 m k 198 . 0 2 1 247. 2 802. 1 1 1 X NN N aXaXaXXD 2 22 2 2 11 2 1 0 111 3.3.收敛的原因收敛的原因 NN aXaXaXX 2211 0
13、NN aXDaXDaXDXD 2211 0 iii XDXmX i 2 1 22 2 2 1 111 N 每迭代一次会使基本振型分量比重增加每迭代一次会使基本振型分量比重增加, ,而使其它振型分量所占比重减少而使其它振型分量所占比重减少, , 随着迭代次数逐渐增多随着迭代次数逐渐增多, ,除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略 去不计去不计, ,这时得到的即为基本振型这时得到的即为基本振型. . * 1 0 1 11 0 1 1 /MXmX XmX XmX a T T T 一一. . 迭代法求第二频率及振型迭代法求第二频率及振型 NN aXaXaX
14、X 2211 0 NN TTTT aXmXaXmXaXmXXmX 1221111 0 1 111 0 1 aXmXXmX TT 11 0 0 aXXX * 1 0 1 1 0 M XmX XX T 0 * 1 11 ) 1 (X M mXXI T 0 1 Xs * 1 111 1 M mXXIS T -滤型矩阵滤型矩阵 计算步骤计算步骤: : 11 0 0 aXXX * 1 0 1 1 0 M XmX XX T 0 * 1 11 ) 1 (X M mXXI T 0 1 Xs * 1 111 1 M mXXIS T -滤型矩阵滤型矩阵 1.1.求求 1 s 2.2.求求 12 sDD 3.3.迭代求解迭代求解 nn n XDXSDX 2221 1 2 迭代法的优点迭代法的优点: : 求其它高阶振型及频率与此类似求其它高阶振型及频率与此类似, ,不再赘述不再赘述. . 迭代法的缺点迭代法的缺点: :
