1、2022-12-27福州大学数学与计算机学院1第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法分部分部积分法积分法几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、不定积分主要内容基本积分公式基本积分公式2022-12-27福州大学数学与计算机学院22 2、不定积分、不定积分 在区间在区间I内，函数内，函数)(xf的全体原函数称为的全体原函数称为)(xf在区间在区间I内的内的不定积分不定积分，记为，记为 xxfd)(CxFxxf )(d)(1 1、原函数、原函数2022-12-27福州大学数学与计算机学院3微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.不定积分的线性性质不定积分的线性性
2、质xxfxxfd)(d)(d CxFxxF)(d)(CxFxF)()(d2022-12-27福州大学数学与计算机学院43 3、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3(dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8(xdx2secCx tan xdx2sin)9(xdx2cscCx cot2022-12-27福州
3、大学数学与计算机学院5 dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdxtanseclnsec)18(Cxxxdxcotcsclncsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14(xdxch xdxCx ch)15(sh2022-12-27福州大学数学与计算机学院65 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法定理
4、定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.2022-12-27福州大学数学与计算机学院7;d)(.11xxxfnn;d)(.2xxxf;d)(ln.3xxxf;d)1(.42xxxf;dcos)(sin.5xxxf;d)(.6xaafxx常见类型常见类型:;dsec)(tan.72xxxf;d1)(arctan.82xxxf 2022-12-27福州大学数学与计算机
5、学院86 6、第二类换元法、第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)(t，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式2022-12-27福州大学数学与计算机学院9常用代换常用代换:.,)(.1Rbatx .sec,)(.tan,)(.sin,)(.2222222taxaxxftaxxaxftaxxaxf 令令令令令令如如三角函数代换三角函数代换.,)(.322ashtxxaxf 令令如如双曲函数
6、代换双曲函数代换.1.4tx 令令倒置代换倒置代换2022-12-27福州大学数学与计算机学院102022-12-27福州大学数学与计算机学院10三、分部积分法三、分部积分法公式公式.udvuvvdu 形如：形如：xxbxPndcos)(,d)(xexPxan,dsin)(xxbxPn取取 u=Pn(x),其余部分当作其余部分当作 dv=v dx()arctandnP xxx，形如形如:()lnd,nP xx x()arcsindnPxx x 取取 dv=Pn(x)dx,其余部分当作其余部分当作 u2022-12-27福州大学数学与计算机学院112022-12-27福州大学数学与计算机学院11
7、 xxbexadcos,dsin xxbexa形如形如:可把任一项取为可把任一项取为 u，其余部分当作其余部分当作 dv一般要连续分部两次再把所求的不定积分用解一般要连续分部两次再把所求的不定积分用解方程方法求得。方程方法求得。21sin,lnxxdxedxdxxx“积不出”的类型：2022-12-27福州大学数学与计算机学院129 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(真分式化为部分分式之和的真分式化为
8、部分分式之和的待定系数法待定系数法2022-12-27福州大学数学与计算机学院13四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln.1CaxAaxAdx ;)(1()(.21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2.342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp 2022-12-27福州大学数学与计算机学院14 dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(.42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式2022-12-27福州大学数学与计算机学院15（2）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型
9、：),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令2022-12-27福州大学数学与计算机学院16令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （3）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2022-12-27福州大学数学与计算机学院172.定积分
10、的几何意义定积分的几何意义二、定积分二、定积分1.定义定义3.定积分存在的充分必要条件2022-12-27福州大学数学与计算机学院182022-12-27福州大学数学与计算机学院192022-12-27福州大学数学与计算机学院20四、四、可积函数类可积函数类 注意注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。积。2022-12-27福州大学数学与计算机学院21上上可可积积，在在和和设设,)()(baxgxf则对任意给定的则对任意给定的在在函函数数常常数数)()(,2121xgkxfkkk 上上也也可可积积，具具有有,ba1212()()()()bbba
11、aak f xkg x dx kf xdx kg xdx1 1、线性性质线性性质五、定积分的性质五、定积分的性质2022-12-27福州大学数学与计算机学院22性质性质2 2（乘积可积性）（乘积可积性）上可积，上可积，都在都在和和设设,)()(baxgxf.,)()(上上也也可可积积在在则则baxgxf补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.cba,性质性质3(3(积分区间可加性积分区间可加性)设设f(xf(x)在在a,ba,b 可积，可积，acb,acb,则则f(xf(x)在在a,ca,c 及及c,bc,b 可积，反之亦然。且有下式成可积，反之亦然。且有下式
12、成立立 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.2022-12-27福州大学数学与计算机学院23性质性质4(4(保号性保号性),ba0)(xf如果在区间如果在区间 上，上，0)(dxxfba)(ba 则有则有如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，性质性质5(5(保序性保序性)则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 设设M及及m分分别别是是函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6(积分估计积分估计)：则则 )(d)()(abMxxfabmba .2022-12-27福州大学数学与计算机学院24注意：反之不成立。例如注意：
13、反之不成立。例如若若f f(x x)在在 a a,b b 上上可可积积,则则|f f(x x)|在在 a a,b b 上上可可积积.xxfxxfbabad)(d)()(ba 性质性质7(7(绝对可积性绝对可积性)为无理数为无理数当当为有理数为有理数当当x 1x 1)(xf2022-12-27福州大学数学与计算机学院25则则m,M,m,M,使使得得dxxgdxxgxfbaba )()()(这这里里M M,m m分分别别表表示示f f(x x)在在 a a,b b 上上的的上上,下下确确界界.特特别别,若若f f(x x)在在 a a,b b 上上连连续续,则则存存在在 a a,b b，使使得得d
14、xxgfdxxgxfbaba )()()()(上上可可积积，都都在在和和设设,)()(baxgxf上上不不变变号号，在在,)(baxg（积分第一中值定理）（积分第一中值定理）性质性质8 82022-12-27福州大学数学与计算机学院26如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质性质9 9（定积分第一中值定理的推论）（定积分第一中值定理的推论）积分中值公式积分中值公式另一个特殊情况：另一个特殊情况：时，时，连续，而连续，而，在在当当1)()(xgbaxf第一积分中
15、值定理的结论就变成了第一积分中值定理的结论就变成了2022-12-27福州大学数学与计算机学院271、积分上限函数性质、积分上限函数性质六、微积分基本公式六、微积分基本公式定理定理1)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 上连续。上连续。在在则则上可积上可积在在若若,)()(,)()1(badttfxbaxfxa 上可导，且上可导，且在在则则上连续上连续在在若若,)()(,)()2(badttfxbaxfxa 2022-12-27福州大学数学与计算机学院28时，时，则则时，时，且且可导可导在区间在区间连续连续在在一般地，若一般地，若JxbaxxJxxxbaxf ,)(),(,J)()
16、,(,)()()()()()(dd)()(xxfxxfdttfxxx 2、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式dxxfba)(baxF)()()(aFbF 2022-12-27福州大学数学与计算机学院29定理定理（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单调调的的且且有有连连续续导导数数)(t ；（3 3）当）当t在区间在区间,(或或,)上变化时，上变化时，)(tx 的值在的值在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，七、定积分换元积分法七、定积分换元积分法dtttfdxxfba )()()(则有则有2022-12-27福州大学数学与计算机学院30 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间
17、 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.八、定积分的分部积分法2022-12-27福州大学数学与计算机学院31常用性质和公式：2022-12-27福州大学数学与计算机学院32 2200cossin3 xdxxdxInnn、nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数2022-12-27福州大学数学与计算机学院33九、定积分应用的常用公式九、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角
18、坐标情形直角坐标情形abab2022-12-27福州大学数学与计算机学院34如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数2022-12-27福州大学数学与计算机学院35 dA2)(21xo d)(r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形2022-12-27福州大学数学
19、与计算机学院36(2)体积体积xdxx xyodxxfVba2)(dyyVdc2)(xyo)(yx cd2022-12-27福州大学数学与计算机学院37xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA2022-12-27福州大学数学与计算机学院38(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在,上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为2022-12-27福州大学数学与计算机学院3
20、9C曲线弧为曲线弧为)()(rr 弧长弧长 drrs )()(22(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy ,0)(badxxfxfS)(1)(22侧侧2022-12-27福州大学数学与计算机学院40 质心质心(重心重心)1、平面曲线段的质心、平面曲线段的质心(重心重心)设有一平面曲线段设有一平面曲线段L L，其密度函数为其密度函数为 (x)，设设 (x)在在L上连续，则上连续，则由由),(yx得平面曲线段的重心得平面曲线段的重心 为为 .(),()LLxx dsxx ds().()LLyx dsyx ds2022-12-27福州大学数学与计算机学院41 设设
21、曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxxxd yd弧长微分弧长微分xysd)(1d2 弧长弧长.d)(12xysba 2 2、直角坐标情形、直角坐标情形2022-12-27福州大学数学与计算机学院42 平面曲线段的质心为平面曲线段的质心为:22()1(),()1()babaxxyxdxxxyxdx22()1(),()1()babayxyxdxxxyxdx2022-12-27福州大学数学与计算机学院433、参数方程情形、参数方程情形(),()(),(),xx ttyy tx ty t设曲线弧方程为密度为常数，且都在连续，则质心坐标为22221()()(),1()()().(sxx txtytdtsyy txtytdts为 弧 长）2022-12-27福州大学数学与计算机学院44
