1、4.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 的性质的性质一、齐次线性方程组解一、齐次线性方程组解 二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法 解的性质解的性质三、非齐次线性方程组三、非齐次线性方程组 四、小节、思考题四、小节、思考题 解向量的概念解向量的概念 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 若记若记 （1） 一、齐次线性方程组 解 的性质 0 Ax , aaa aaa aaa A mnmm n n 21 22221 11211 , 2 1 n x x x x 则上述方程
2、组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程 nn xxx, 2211 若若 为方程为方程 的的 0 Ax 解，则解，则 0 Ax)2( 0 0 0 0 1 21 11 1 n x 称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程 (2)的的解解 齐次线性方程组齐次线性方程组 解的性质解的性质 （1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax 21 x 0 Ax也是也是 的解的解. . 证明证明: : 0 2121 AAA 00 21 A,A .Axx的解的解也是也是故故0 21 0 Ax （2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为
3、实数，则 也是也是 的解的解 1 x0 Ax k 1 kx 0 Ax 证明证明: . 00 11 kAkkA 证毕证毕. . )(AN 为此引出为此引出的全部解表示出来的全部解表示出来能将能将 的一个基，就的一个基，就故而，只要找到解空间故而，只要找到解空间 .0 )( Ax AN 由以上两个性质可知，由以上两个性质可知， 的全体解向量的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组性方程组 的的解空间解空间一般记作一般记作 0 Ax 0 Ax 如果
4、如果解系解系 的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组 , 0 , 21 Ax t ; 0,)1( 21 的解的解的一组线性无关的一组线性无关是是 Ax t . ,0)2( 21 示示 线性表线性表的任一解都可由的任一解都可由 t Ax 基础解系基础解系的定义的定义 二、基础解系及其求法 才有基础解系！才有基础解系！组组注：只有齐次线性方程注：只有齐次线性方程0 Ax 的基础解系呢？的基础解系呢？那么怎样求那么怎样求0 Ax 的一个基。的一个基。间间显然，基础解系即解空显然，基础解系即解空)(AN .)(,)( )( 0 rnANr A r AN x A n nm nm 的维数为的维数
5、为解空间解空间时时秩秩 数矩阵的数矩阵的是一个向量空间，当系是一个向量空间，当系构成的集合构成的集合 的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组 定理定理1 1 ); 0,( ,)(1) 空间空间 维向量维向量为为向量向量此时解空间只含一个零此时解空间只含一个零础解系础解系 故没有基故没有基方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAr 线性方程组线性方程组 基础解系的求法基础解系的求法 0 Ax .,)( , , , ,)(2) 111 1 2 2 1 1 21 RkkkkxAN kk x rnnrAr rnrnrn rn rn rn rn kkk 解空间可表示为解空间可表示为为任意实
6、数为任意实数其中其中 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为此时此时基础解系基础解系 个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当 )(略定理的证明： (3)解空间的基不是唯一的但维数相等！解空间的基不是唯一的但维数相等！ 例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377 , 02352 , 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的基础解系与通解的基础解系与通解. 解解 , 0000 747510 737201 1377 2352 1111 A 对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩 阵，有阵，有 A . 7 4 7 5
7、 , 7 3 7 2 432 431 xxx xxx 便得便得 , 1 0 0 1 4 3 及及令令 x x , 74 73 75 72 2 1 及及对应有对应有 x x , 1 0 74 73 , 0 1 75 72 21 即得基础解系即得基础解系 ).,( , 1 0 74 73 0 1 75 72 2121 2211 4 3 2 1 Rcc cccc x x x x 并由此得到通解并由此得到通解 解毕解毕 例例2 2 解线性方程组解线性方程组 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 解解 76
8、513 12311 55312 34111 A对系数矩阵施对系数矩阵施 行初等行变换行初等行变换 )2( 12 r )1( 13 r )3( 14 r 00000 00000 13110 34111 , 3, 52 rnnrAr即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 且其基础解系中有三个线性无关的解向量且其基础解系中有三个线性无关的解向量. 26220 26220 13110 34111 00000 00000 13110 21201 5432 5431 131 212 xxxx xxxx 方程组为方程组为而行最简型矩阵对应的而行最简型矩阵对应的 则得通解为则得通解为若令若令, 352213
9、 cxcxcx 1 0 0 1 2 0 1 0 3 1 0 0 1 1 2 321 5 4 3 2 1 ccc x x x x x ),( 321 Rccc 所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为 , 0 0 1 1 2 1 故原方程组的通解又可写为故原方程组的通解又可写为 . 332211 cccx ., 321 为任意常数为任意常数其中其中ccc , 0 1 0 3 1 2 . 1 0 0 1 2 3 解毕解毕 .0 ,1)( 2121 的解的解为其对应的齐次方程为其对应的齐次方程 则则的解的解都是都是及及设设 Ax xbAxxx 证明：证明： . 0 21 bbA .
10、0 21 Axx满足方程满足方程即即 bAbA 21 , 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质 三、非齐次线性方程组 解的性质 bAx 解，且的是方程组设bAx2 t21 ,)( ，个常数和个常数和1 21 t ccci那么有那么有 bcccA tt )( 2211 证明：证明： b bccc AcAcAc AcAcAc cccA tt tt tt tt )( )( 1 2211 2211 2211 问： ）呢？（呢是其解吗？ 212121 2 1 2 ,)( 证明证明: AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕 .,0 ,3)( 的解的解仍是方程仍是方程
11、则则的解的解 是方程是方程的解的解是方程是方程设设 bAxxAx xbAxx 于是，稍加推理，即有于是，稍加推理，即有 的一个解之和的形式。的一个解之和的形式。 对应的齐次方程组对应的齐次方程组示成它的某一个解与其示成它的某一个解与其 的任一解可以表的任一解可以表）告诉我们，）告诉我们，性质（性质（ 0 3 Ax bAx 注：注： . 11 rnrn kkx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 的通解的通解 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 的通解为的通解为 bAx bAx 其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程 组组 的的通解通解， 为非齐次线性方程组为非齐次线性方程组 的任意一个（的
12、任意一个（特）解特）解. rnrn kk 11 0 AxbAx 定理：定理： 与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题 bAx ;, 21 线性表示线性表示能由向量组能由向量组向量向量 n b ;, 2121 等价等价与向量组与向量组向量组向量组b nn . , 2121 的秩相等的秩相等 与矩阵与矩阵矩阵矩阵bBA nn 线性方程组线性方程组 有解有解 bAx 线性方程组的解法线性方程组的解法 （1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则 （2 2）利用初等变换）利用初等变换 特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理
13、论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题用来证明很多命题 特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法的计算方法 例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132 , 13 , 0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解解 :施行初等行变换施行初等行变换对增广矩阵对增广矩阵A 213211 13111 01111 A , 00000
14、 212100 211011 )1( 12 r )1( 13 r 212100 14200 01111 1 x 3 x 并有并有故方程组有解故方程组有解可见可见, 2)()( ArAr .212 ,21 43 421 xx xxx , 0 42 xx 取取, 2 1 31 xx 则则即得方程组的一个特解即得方程组的一个特解 0 21 0 21 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程, 2 43 421 xx xxx , 1 0 0 1 4 2 及及 x x , 2 1 0 1 3 1 及及则则 x x 程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方 , 1
15、2 0 1 , 0 0 1 1 21 于是所求通解为于是所求通解为 ).,( , 0 21 0 21 1 2 0 1 0 0 1 1 2121 4 3 2 1 R cccc x x x x 解毕解毕 .123438 ,23622 , 2323 , 7 54321 5432 54321 54321 xxxxx xxxx xxxxx xxxxx 解解 例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解 1213438 2362120 231213 711111 A r 000000 000000 2362120 711111 .,知方程组有解知方程组有解由由ArAr , 3, 2 rnAr又又 所以方程
16、组有无穷多解所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组 000000 000000 223312110 29202101 2 23 3 2 1 2 9 2 2 1 5432 531 xxxx xxx 所以方程组的通解为所以方程组的通解为 即得即得令令, 352413 kxkxkx 35 24 13 3212 311 1 1 1 2 23 3 2 1 2 9 2 2 1 kx kx kx kkkx kkx . 0 0 0 223 29 1 0 0 3 2 0 1 0 1 0 0 0 1 21 21 321 kkkx ., 321 为任意常数为任意常数其中其中kkk 6例
17、例的两个不的两个不是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组，设设bAx 21 )( 0 21 21 的通解为的通解为是两个任意常数，则是两个任意常数，则、解系，解系， 的基础的基础组组为其对应齐次线性方程为其对应齐次线性方程，同解，同解， bAxtt Ax )( 2 )( 21211 21 ttA )( 2 )( 12211 21 ttB )( 2 )( 21211 21 ttC )( 2 )( 12211 21 ttD 答案：答案：B 齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法 00 00 10 01 1 111 rn ,rr rn , bb bb A 四、小结 （1）对系数矩阵）
18、对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为 行最简形：行最简形： A nrn ,rrrr nrn ,r xbxbx xbxbx Ax 11 11111 0由于由于 令令 ., x x x n r r 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 （2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一 个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAr rn , b b r 0 0 1 1 11 1 , b b r 0 1 0 2 12 2 . b b , rn ,r rn , rn 1 0 0 1 故故 , b b , b b , b b x x r
19、n ,r rn , rrr 1 2 12 1 111 得得 为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系. 有解有解0 Ax 个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有Arn .有无穷多解有无穷多解bAx ArAr .无解无解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 n r A r A n r A r A nAr)( 满足满足的三个解向量的三个解向量方程组方程组 如果非齐次线性如果非齐次线性且且矩阵矩阵是是设设 321 , . 1,3 bAx ArmA , 3 2 1 21 , 1 1 0 32 1 0 1 13 .的通解的通解求求bAx 思考题 , 1)(,3 ArmA矩阵矩阵是是解解 思考题解答 . 2130 无关的解向量无关的解向量 个线性个线性的基础解系中含有的基础解系中含有 Ax 则则令令, 133221 cba , 21 23 1 )( 2 1 1 bca , 23 23 0 )( 2 1 3 acb , 25 21 0 )( 2 1 2 cba , 2 1 1 21 2 3 1 31 .0的基础解系中的解向量的基础解系中的解向量为为 Ax 的通解为的通解为故故bAx , 21 23 1 2 3 1 2 1 1 21 3 2 1 kk x x x ., 21 为任意实数为任意实数其中其中 kk
