1、5.2 相似矩阵相似矩阵 换的概念换的概念一、相似矩阵与相似变一、相似矩阵与相似变 换的性质换的性质二、相似矩阵与相似变二、相似矩阵与相似变 阵对角化阵对角化三、利用相似变换将方三、利用相似变换将方 四、小结、思考题四、小结、思考题 一、相似矩阵与相似变换的概念 . , ., , , 1 1 1 的相似变换矩阵变成被称为把 可逆矩阵进行相似变换称为对行运算 进对相似与或说矩阵的相似矩阵是则称 使若有可逆矩阵阶矩阵都是设定义 BA PAAPP ABAAB BAPP PnBA 1. 等价关系等价关系 2 2 1 1 1 21 1 PAPPAPPAAP , . 3为正整数为正整数相似相似与与则则相似
2、相似与与若若mBABA mm 二、相似矩阵与相似变换的性质 .本身相似本身相似与与AA .,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA . , 相似相似与与则则 相似相似与与相似相似与与若若 CA CBBA 反身性反身性 )1( )2( 对称性对称性 传递性传递性 )3( )( 1 AIIA ),( 1111 ABPPAPPB ）则（则（若若 .相似相似与与 TT BA 证明证明 相似相似与与BA PIPAPPIB 11 PIAP 1 PIAP 1 .IA BAPPP 1 ,使得使得可逆阵可逆阵 ., . 4 11 相似相似与与则则相似相似与与若可逆阵若可逆阵 BABA ., , 的特征值亦相同
3、的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同 的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若 BA BABAn. 5 则则相似于相似于若若推论推论,1BA );()()1(BtrAtr .)2(BA 说明说明中的两个结论只是中的两个结论只是及其推论及其推论性质性质15 .件件两个矩阵相似的必要条两个矩阵相似的必要条 . 10 11 , 10 01 BA例如，例如， 容易算出容易算出 的特征多项式均为的特征多项式均为与与BA 有有的可逆阵的可逆阵是一个单位阵，对任给是一个单位阵，对任给但但,PA IPPIPPAPP 111 2 )1( 推论推论2 若若 阶方阵阶方阵 与对角阵与对角阵 n n
4、 2 1 ., 21 个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nA n A 而现在而现在必是单位阵必是单位阵相似，则相似，则与与因此，若因此，若.BAB .不是单位阵不是单位阵B不为相似矩阵！不为相似矩阵！与与所以，所以，BA 利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式: , 1 P PBA 若若 PIPaPBPa PPBaPPBa nn nn 11 1 11 1 1 0 Ak 则则若有若有,)( 1 10n nn axaxax IAA aaAaAa nn nn 1 1 10 )( .)( 1 P BP . 1 PB P k 则则 1 1 1 10 )( PIaBaP nn nn B
5、aBa P PB 1 P PB 1 P PB 1 P PB 1 k个个 )1( )2( . 1 PPBA kk , 1 为对角矩阵为对角矩阵使使若可逆矩阵若可逆矩阵特别地特别地 AP P P , 1 P P A kk 则则.)()( 1 P PA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵 , , 2 1 k n k k k , )( )( )( )( 1 1 1 利用上利用上 述结论可以述结论可以 很方便地计很方便地计 算矩阵算矩阵A 的的 多项式多项式 . )(A 证明证明 , 1 为对角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP ., 21n pppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为将将
6、 三、利用相似变换将方阵对角化 . )( 1 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是 能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理 nA AAn 这就称为这就称为为对角阵为对角阵 使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对 , , 1 APP PAn .可对角化可对角化方阵方阵A n nn ppppppA 2 1 2121 ,即即 ., 2211nn ppp nn ApApAppppA, 2121 ., 2 , 1nipAp iii 于是有于是有 n ppp , 211 , 1 PAPAP P 得得由由 . , 的特征向量
7、的特征向量的对应于特征值的对应于特征值 就是就是的列向量的列向量而而的特征值的特征值是是可见可见 i ii A pPA ., 21 线性无关线性无关所以所以可逆可逆又由于又由于 n pppP 命题得证命题得证. . , , PAP Pnn nA 使使 阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得 并可对应地求并可对应地求个特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等， 则则 与对角阵相似与对角阵相似 推论推论1 nA A n 数等于几何重数，即对数等于几何重数，即对其每一特征值的代数重其每一特征值的代数
8、重 件是件是可对角化的充分必要条可对角化的充分必要条阶矩阵阶矩阵推论推论An 2 . m，有，有每个每个 也可描述为也可描述为推论推论2 . ,)( , , 2 线性无关的特征向量线性无关的特征向量 个个恰有恰有从而对应特征值从而对应特征值 的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根的特征方程的的特征方程的是是 若若可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是阶矩阵阶矩阵设设推论推论 rrnIAr IArA An 说明说明: 分条件；分条件；只是矩阵可对角化的充只是矩阵可对角化的充推论推论1)1( A A n n A 如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，
9、从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能 对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化 )2( 201 335 212 IA 3 1 123 所以 的特征值为1.A 把1代入0,AIx解之得基础解系解之得基础解系 ,1, 1, 1 T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵. A，由于由于31 11 m 解解 解毕解毕 例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 201 335 212 A 163 053 064 A设设 A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角 ,P则求出可逆矩
10、阵则求出可逆矩阵化化 例例2 2 . 1 为对角阵为对角阵使使APP 解解 163 053 064 IA 21 2 . 2, 1 321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将01 21 xIA 063 063 063 21 21 21 xx xx xx 解之得基础解系解之得基础解系 , 0 1 2 1 1 0 0 2 21 2xx 即即 , 2312 cxcx 令令 解系解系 得方程组的基础得方程组的基础代入代入将将, 02 3 xIA 1 , 1 , 1 3 T ., 321 线性无关线性无关由于由于 110 101 102 , 321 P令令 . 200 0
11、10 001 1 APP则有则有 所以所以 可对角化可对角化. A 解毕解毕 注意注意: , , 213 P若令若令 1 1 1 0 1 2 1 0 0 . 1 APP则有则有 0 0 0 0 0 02 1 1 即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应要相互对应 P yxyxA与与可对角化，求可对角化，求设设 001 1 100 3例例 .应满足的关系式应满足的关系式 解解 2 )1( 01 1 10 0 yxIA由由 . 01 321 ，得得 ， 123)(1 1 IAr ，必有，必有的的由定理由定理推论推论2 , 000 00 101 10
12、1 0 101 yxyxIA而而 . yx 故必有故必有 解毕解毕 4例例相似，其中相似，其中与与已知矩阵已知矩阵BA , 00 010 002 a A, 320 20 002 bB ;,)2(,)1( 1 ABPPPba 使使求可逆阵求可逆阵的值；的值；求求 .)3( n B求求 解解特征值及特征值及由相似矩阵具有相同的由相似矩阵具有相同的)1( BA n i in 1 21 , )()(BtrAtr n i i 1 解之得解之得得得),43(22; 3212 baba . 3, 5 ba 解方程解方程，的特征值为的特征值为由由, 512)2( 321 B 0)( xIB i 为为得对应的特
13、征向量分别得对应的特征向量分别 , 0 0 1 1 , 1 1 0 2 , 1 1 0 3 ., 1 321 成立成立则则令令ABPPP ,)3( 1 PAPB因因,)( 11 PPAPAPB nnn 所以所以 21210 21210 001 , 110 110 001 1 PP可解得可解得由由 于是于是 2 15 2 15 0 2 15 2 15 0 002 1 nn nn n nn PPAB 解毕解毕 4例例 11 1 11 q qp p A设设相似，相似，与与 200 010 000 B .A试求矩阵试求矩阵 解解即即有有由相似矩阵的性质，知由相似矩阵的性质，知, 0 BA 32222
14、11 13(2)() 11 p pqpqpq q 0)( 11 1 11 2 pq q qp p A . qp IBIA 再由再由 23 200 010 00 23 22 22pq 由同次项系数相等.0qp 说明说明 元素时，建议先用性质元素时，建议先用性质 解矩阵中未知解矩阵中未知在利用相似矩阵性质求在利用相似矩阵性质求 );()()1(BtrAtr .)2(BA ,IBIA .可可比较两端同次项系数即比较两端同次项系数即 ；若只；若只有重根时，需回代检验有重根时，需回代检验 用用能得到一个方程时，再能得到一个方程时，再 解毕解毕 四、小结 相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有
15、很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质。的性质。 相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵 这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种 运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算角矩阵的运算 相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A 变成变成 ，而可逆矩阵，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的 相似变换矩阵相似变换矩阵 AP P 1 P 思考题 设设n阶方阵阶方阵A与与B有相同的特征值，则下列有相同的特征值，则下列 说法正确的是（说法正确的是（ ）？）？ 1、A与与B相似相似 2、存在一对角阵，使、存在一对角阵，使A、B都相似于它都相似于它 3、存在正交阵、存在正交阵Q，使，使 4、|A|=|B| BAQQT
